循環四辺形

ユークリッド幾何学では、環状四辺形または内接四辺形は、すべての頂点が1つの円上にある四辺形です。この円は外接円または外接円と呼ばれ、頂点は同円であるといわれます。円の中心と半径は、それぞれ外心と外接半径と呼ばれます。これらの四辺形は、同円四辺形や弦四辺形とも呼ばれ、後者は四辺形の辺が外接円の弦であるためです。通常、四辺形は凸であると想定されますが、交差する環状四辺形もあります。以下に示す式と特性は、凸の場合に有効です。

cyclic という単語は古代ギリシャ語の κύκλος ( kuklos ) に由来し、「円」または「車輪」を意味します。

すべての三角形には外接円がありますが、すべての四辺形に外接円があるわけではありません。円にならない四辺形の例としては、正方形でない菱形があります。以下のセクションの特徴付けでは、四辺形が外接円を持つために満たさなければならない必要条件と十分条件について説明します。

正方形、長方形、二等辺台形、または平行四辺形はすべて巡回形です。凧形が巡回形となるのは、 2 つの直角がある場合、つまり直角凧の場合のみです。二心四辺形は、接線でもある巡回四辺形であり、二心外四辺形は、接線でもある巡回四辺形です。調和四辺形は、向かい合う辺の長さの積が等しい巡回四辺形です。

凸四辺形が円環状であるためには、その辺に垂直な4つの二等分線が交わる必要がある。この共通点が外心である。^[1]

凸四辺形ABCDが円環状であるためには、その対角が補角となる必要がある。つまり^{[1] [2]}

${\displaystyle \alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi \ {\text{radians}}\ (=180^{\circ }).}$

直接定理はユークリッドの『原論』第3巻の命題22である。^[3]同様に、凸四辺形が巡回的であるためには、各外角が反対の内角と等しい必要がある。

1836年、ダンカン・グレゴリーはこの結果を次のように一般化しました。任意の凸環状2 n角形が与えられた場合、交互の内角の2つの和はそれぞれ( n -1)に等しくなります。^[4]この結果は次のようにさらに一般化できます。A1A2 ...A2n (n > 1)が頂点Ai->Ai+k (頂点AiはAi+kに結合されている)である任意の環状2 n角形である場合、交互の内角の2つの和はそれぞれmに等しくなります(ただし、 m = n — kであり、k = 1、2、3、... は全回転です)。^[5]${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \pi}$

各角度の立体投影（半角正接）をとると、これは次のように表現できる。

${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}}{1-\tan {\frac {\alpha }{2} }\tan {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\delta }{2}}}{1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\delta }{2}}}}=\infty .}$

これは^[6]

${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}=\tan {\frac {\beta }{2}}{\tan {\frac { \デルタ {2}}}=1}$

凸四辺形ABCDが巡回四辺形であるためには、ある辺と対角線の間の角度が、反対側の辺ともう一方の対角線の間の角度と等しいことが必要である。^[7]つまり、例えば、

${\displaystyle \angle ACB=\angle ADB.}$

凸四辺形ABCD が巡回四辺形となるための他の必要十分条件は、E を対角線の交点、F を辺ADとBCの延長線の交点、EF を直径とする円、PとQ を円によって形成される辺ABとCD上のパスカル点とすることです。 (1) ABCD が巡回四辺形となるのは、点PとQが円の中心Oと同一線上にある場合のみです。 (2) ABCDが巡回四辺形となるのは、点PとQ が辺ABと辺 CDの中点である場合のみです。^[2]${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega}$
${\displaystyle \omega}$

線分ACを含む直線と線分BDを含む直線がEで交差する場合、4つの点A、B、C、Dが同心円となるのは、^[8]

${\displaystyle \displaystyle AE\cdot EC=BE\cdot ED.}$

交点E は、円の内部または外部にある場合があります。前者の場合、環状四辺形はABCDで、後者の場合、環状四辺形はABDCです。交差が内部にある場合、等式は、E が1 つの対角線を分割する線分の長さの積が、他の対角線の積に等しいことを示します。これは、環状四辺形の対角線が外接円の弦であるため、 交差弦定理として知られています。

プトレマイオスの定理は、円周四辺形の2つの対角線eとfの長さの積が、対辺の積の合計に等しいことを表しています。^{[9] : p.25  [2]}

${\displaystyle \displaystyle ef=ac+bd,}$

ここで、a、b、c、dは順に辺の長さです。逆もまた真です。つまり、この式が凸四辺形で満たされる場合、巡回四辺形が形成されます。

凸四辺形ABCDにおいて、EFG をABCDの対角三角形、 をEFGの九点円とします。 ABCDが巡回的であるためには、 ABCDの二中線の交点が九点円に属する必要があります。^{[10] [11] [2]}${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega}$

辺がa、b、c、dの円周四辺形の面積Kは、 ブラフマグプタの公式^[9]によって与えられる^：p.24

${\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)}}\,}$

ここで、半周長sはs = ⁠1/2⁠ ( a + b + c + d )。これは、巡回四辺形の場合、対角が補角となるため、一般四辺形に対するブレットシュナイダーの公式の系です。また、 d = 0の場合、巡回四辺形は三角形になり、公式はヘロンの公式に簡略化されます。

巡回四辺形は、同じ辺の長さを持つすべての四辺形の中で面積が最大になります（順序に関係なく）。これはブレトシュナイダーの公式のもう一つの系です。これは微積分を使って証明することもできます。^[12]

4つの不等な長さは、それぞれが他の3つの長さの合計よりも小さく、3つの非合同な環状四辺形の各辺であり、^[13]ブラフマグプタの公式によれば、これらはすべて同じ面積を持ちます。具体的には、辺a、b、c、およびdについて、辺aは辺b、辺c、または辺dのいずれかと反対側にある可能性があります。

連続する辺がa、b、c、dで、辺aとdの間の角がA、辺aとbの間の角がBである円四辺形の面積は次のように表される^{[9] ：p.25}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}}$

または

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}}$

または^{[9] :p.26}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }}$

ここでθは対角線間の角度である。Aが直角でない場合、面積は次のように表すこともできる^{[9] ：p.26}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.}$

もう一つの公式は^{[14] :p.83}

${\displaystyle \displaystyle K=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }}$

ここでRは外接円の半径である。直接的な結果として、^[15]

${\displaystyle K\leq 2R^{2}}$

ここで、四辺形が正方形である場合にのみ等式が成立します。

頂点がA、B、C、Dで辺がa = AB、b = BC、c = CD、d = DAである円周四辺形において、対角線の長さp = ACとq = BDは辺の長さで次のように表される。^{[9] : p.25、   [16] [17] : p. 84}

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}}$そして${\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}}$

プトレマイオスの定理を示す

${\displaystyle pq=ac+bd.}$

プトレマイオスの第二定理によれば、^{[9] : p.25、   [16]}

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}}$

上記と同じ表記を使用します。

対角線の合計については不等式^{[18] : p.123, #2975}

${\displaystyle p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.}$

対角線の長さが等しい場合にのみ等式が成立し、これはAM-GM 不等式を使用して証明できます。

さらに、^{[18] : p.64、#1639}

${\displaystyle (p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.}$

凸四辺形は、2 本の対角線によって 4 つの三角形に分割されます。円周四辺形の場合、これらの 4 つの三角形の向かい合うペアは互いに 相似です。

ABCDがACとBDがEで交わる円周四辺形である場合、^[19]

${\displaystyle {\frac {AE}{CE}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.}$

環状四辺形を形成できる辺の集合は、3つの異なる順序で配置することができ、それぞれの順序は同じ外接円内に同じ面積の環状四辺形を形成できる（面積はブラフマグプタの面積公式によれば同じである）。これらの環状四辺形の2つは、対角線の長さが1つ共通している。^{[17] : p. 84}

連続する辺がa、b、c、d、半周が s、辺aとdの間の角度Aである円周四辺形の場合、Aの三角関数は^[20]で与えられる。

${\displaystyle \cos A={\frac {a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}}{2(ad+bc)}},}$

${\displaystyle \sin A={\frac {2{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{(ad+bc)}},}$

${\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}.}$

対角線aとcの間の角度θは^[9]を満たす^：p.26

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}}.}$

対辺aとcの延長線が角度φで交差する場合、

${\displaystyle \cos {\frac {\varphi }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}}}$

ここでsは半周長である。^{[9] : p.31}

辺と の間の角度を、と の間の角度を、と の間の角度を とすると、次のようになります。 ^[21]${\displaystyle B}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle C}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle D}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(C-D)}}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {a-c}{b-d}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(D-C)}}\cot {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{aligned}}}$

連続する辺a、b、c、dと半周長 sを持つ環状四辺形の外接半径（外接円の半径）は^{[16] [22]}で与えられる。

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}.}$

これは 15 世紀にインドの数学者 Vatasseri Parameshvaraによって導き出されました。(半径は、どの辺の長さを交換しても不変であることに注意してください。)

ブラフマグプタの公式を用いると、パラメーシュヴァラの公式は次のように言い換えられる。

${\displaystyle 4KR={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}}$

ここで、K は円周四辺形の面積です。

環状四辺形の一辺に垂直で、反対側の辺の中点を通る4本の線分は互いに平行である。^{[23] : p.131,   [24]}これらの線分は、中点高度^[25]と呼ばれる。これは中点高度の略語である。それらの共通点は反心と呼ばれる。それは「頂点の重心」における外心の反射であるという性質を持つ。したがって、環状四辺形においては、外心、「頂点の重心」、および反心は同一直線上にある。^[24]

円周四辺形の対角線がPで交差し、対角線の中点がMとNである場合、四辺形の反心は三角形MNPの垂心です。

円周四辺形の反心はその頂点の ポンスレ点です。

• 円周四辺形ABCDにおいて、三角形DAB、ABC、BCD、CDAの内心 M ₁、M ₂、M ₃、M ₄（右図参照）は長方形の頂点となる。これは日本の定理として知られる定理の一つである。同じ４つの三角形の垂心はABCDと合同な四辺形の頂点であり、その４つの三角形の重心は別の円周四辺形の頂点となる。^[7]
• 外心Oを持つ円周四辺形ABCDにおいて、対角線ACとBD が交差する点をPとします。すると、角APB は角AOBと角 CODの算術平均になります。これは、円周角の定理と外角の定理から直接導かれます。
• 等差数列でも等辺数列でも、面積が有理数で辺の長さが不等な円周四辺形は存在しない。^[26]

• 巡回四辺形の辺の長さが等差数列を形成する場合、その四辺形は元二心四辺形でもあります。
• 円周四辺形の反対側の辺を延長してEとFで交わらせると、EとFの角度の内角二等分線は垂直になる。^[13]

ブラフマグプタ四辺形^[27]は、辺、対角線、面積が整数の円周四辺形である。辺がa、b、c、d、対角線がe、f、面積がK、円周半径がRであるすべてのブラフマグプタ四辺形は、有理パラメータt、u、vを含む次の式から分母を消去することで得られる。

${\displaystyle a=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]}$

${\displaystyle b=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)}$

${\displaystyle c=t(1+u^{2})(1+v^{2})}$

${\displaystyle d=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)}$

${\displaystyle e=u(1+t^{2})(1+v^{2})}$

${\displaystyle f=v(1+t^{2})(1+u^{2})}$

${\displaystyle K=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2})]}$

${\displaystyle 4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).}$

直交対角線（直交する対角線を持つ）でもある環状四辺形の場合、対角線の交点が一方の対角線を長さp ₁とp ₂の線分に分割し、もう一方の対角線を長さq ₁とq ₂の線分に分割するとします。すると^[28]（最初の等式はアルキメデスの補題の命題11です）

${\displaystyle D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}}$

ここで、Dは外接円の直径です。これは、対角線が円の直交弦であるためです。これらの式は、外接半径Rが次のように表せること を意味しています。

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}}$

あるいは、四辺形の辺に関して言えば、^[23]

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.}$

また、^[23]

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.}$

したがって、オイラーの四辺形定理によれば、円周半径は対角線pとq 、および対角線の中点間の 距離xで次のように表すことができます。

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}.}$

プトレマイオスの定理と直角四辺形の面積の公式を組み合わせると、4辺に関する円周直角四辺形の面積 Kの公式が直接得られる。結果は^{[29] ：p.222 である。}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).}$

• 周期的な直交対角四辺形において、反心は対角線が交差する点と一致する。^[23]
• ブラフマグプタの定理は、正対角線でもある環状四辺形の場合、対角線の交点を通る任意の辺からの垂線は、反対側の辺を二等分することを述べています。^[23]
• 円周四辺形が直交対角線でもある場合、外心からどの辺までの距離も反対側の辺の長さの半分に等しい。^[23]
• 環状直角四辺形において、対角線の中点間の距離は、外心と対角線が交差する点との間の距離に等しい。^[23]

球面幾何学では、4つの交差する大円から形成される球面四辺形が巡回的であるためには、対角の合計が等しいこと、すなわち、四辺形の連続する角α、β、γ、δに対してα + γ = β + δが成立することが必要である。^[30]この定理の1つの方向は、1782年にアンダース・ヨハン・レクセルによって証明された。 ^[31]レクセルは、球面の小円に内接する球面四辺形では対角の合計が等しく、外接する四辺形では対辺の合計が等しいことを示した。これらの定理のうち最初のものは平面定理の球面版であり、2番目の定理はその双対、すなわち大円とその極を入れ替えたものである。^[32] Kiper et al. ^[33]は定理の逆を証明した。球面四辺形の反対側の辺の和が等しい場合、この四辺形には内接円が存在する。

• バタフライ定理
• ブラフマグプタ三角形
• 循環多角形
• ポイントの力
• プトレマイオスの弦表
• ロビンズ・ペンタゴン

• D. フレヴェル: パスカル点の四辺形が円周四辺形に内接する

• 円周四辺形の面積の公式の導出
• 結び目を切ったときの円周四辺形の内心
• 結び目を切ったときの循環四辺形の 4 つの平行線
• Weisstein、Eric W.「循環四辺形」。MathWorld。