コボルディズム

数学において、コボルディズムとは、同一次元のコンパクト多様体のクラスにおける基本的な 同値関係であり、多様体の境界（フランス語のbord、コボルディズムの語源）の概念を用いて定義される。同一次元の2つの多様体は、それらの非交和が1次元高いコンパクト多様体の境界となる場合に、コボルダントである。

コンパクトの境界${\displaystyle (n+1)}$次元多様体${\displaystyle W}$は${\displaystyle n}$次元多様体${\displaystyle \partial W}$つまり、閉じた多様体、すなわち境界が空である多様体です。一般に、閉じた多様体は境界である必要はありません。コボルディズム理論は、すべての閉じた多様体と境界を持つ多様体の違いを研究するものです。この理論は元々、ルネ・トムによって滑らかな多様体（つまり微分可能な多様体）のために開発されましたが、現在では区分的線形多様体や位相多様体のためのバージョンも存在します 。

多様体間のコボルディズム${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$コンパクトな多様体です${\displaystyle W}$その境界は、${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$、${\displaystyle \partial W=M\sqcup N}$。

コボルディズムは、それが生成する同値関係と、それ自体が対象として研究されています。コボルディズムは、多様体の微分同相写像や同相写像よりもはるかに粗い同値関係であり、研究や計算がはるかに容易です。4 次元以上の多様体を微分同相写像や同相写像まで分類することは不可能です。なぜなら、群に関する語の問題は解決できないからです。しかし、コボルディズムまで多様体を分類することは可能です。コボルディズムは、幾何トポロジーと代数トポロジーにおける中心的な研究対象です。幾何トポロジーでは、コボルディズムはモース理論と密接に関連しており、h-コボルディズムは高次元多様体の研究、すなわち手術理論において基礎的なものです。代数トポロジーでは、コボルディズム理論は基本的な異常コホモロジー理論であり、コボルディズムの圏は位相的量子場理論の領域です。

一般に、X、Yが境界を持つ多様体である場合、積多様体の境界は∂( X × Y ) = (∂ X × Y ) ∪ ( X × ∂ Y )であることを思い出してください。

さて、次元n = p + qの多様体Mと埋め込みが与えられた場合${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\subset M,} は n次元多様体を定義する

${\displaystyle N:=(M-\operatorname {int~im} \varphi )\cup _{\varphi |_{\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {S} ^{q-1}}}\left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\right)}$

手術によって、内部を切除することによって得られる$\displaystyle \mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}}$そして接着する$\displaystyle \mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}}$境界線に沿って

${\displaystyle \partial \left(\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\right)=\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {S} ^{q-1}=\partial \left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\right).}$

手術の痕跡

${\displaystyle W:=(M\times I)\cup _{\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\times \{1\}}\left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {D} ^{q}\right)}$

基本的なコボルディズム ( W ; M , N )を定義します。Mは、 Nから手術によって得られることに注意してください。$\displaystyle \mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\subset N.}$これは手術を元に戻すことだ。

マーストン・モース、ルネ・トム、ジョン・ミルナーの研究によれば、すべてのコボルディズムは基本的なコボルディズムの結合である。

例

上記の定義によれば、円に対する手術は、$\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{1}}$そして接着する$\displaystyle \mathbb {D} ^{1}\times \mathbb {S} ^{0}.}$図1の図は、この操作の結果が(i)${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$再び、または（ii）2つのコピー${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$

2球面の手術では、どちらかを切り取ることから始められるので、より多くの可能性があります。${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}}$または${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}.}$

1. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}}$2球から円柱を取り除くと、2つの円盤が残ります。${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}}$つまり、2枚の円盤から構成されるということであり、その結果として、互いに分離した2つの球面が得られることは明らかである。（図2a）

2. 

   ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}}$2枚のディスクを切り出した${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2},}$シリンダーを接着剤で元に戻します${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}.}$2つの境界円上で接着マップの向きが同じか反対かによって、2つの結果が考えられます。向きが同じ場合（図2b）、結果として得られる多様体はトーラスになります。${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}$しかし、それらが異なる場合、クラインの壺が得られます（図2c）。

f を( n + 1) 次元多様体上のモース関数とし、c をその逆像にちょうど 1 つの臨界点を持つ臨界値とする。この臨界点のインデックスがp + 1 の場合、レベルセットN := f ⁻¹ ( c − ε) は、 p手術によってM := f ⁻¹ ( c − ε)から得られる。逆像W := f ⁻¹ ([ c − ε, c + ε]) は、この手術のトレースと同一視できるコボルディズム ( W ; M , N ) を定義する。               

幾何学、そしてモース理論とハンドル本体との関連性

コボルディズム ( W ; M , N ) が与えられたとき、 f ⁻¹ (0) = M、f ⁻¹ (1) = Nとなる滑らかな関数f  : W → [0, 1] が存在する。一般の位置により、 fはモース関数であり、すべての臨界点がWの内部で発生すると仮定できる。この設定では、 fはコボルディズム上のモース関数と呼ばれる。コボルディズム ( W ; M , N ) は、 fの各臨界点に対応する一連の手術のトレースの和集合である。多様体Wは、 fの各臨界点に対応するハンドルをM × [0, 1]に取り付けることによって得られる。

モース/スメールの定理によれば、コボルディズム上のモース関数f ′のフローラインは、三つ組( W ; M , N )のハンドル表現を生み出す。逆に、コボルディズムのハンドル分解が与えられた場合、それは適切なモース関数から得られる。適切に正規化された設定では、このプロセスにより、ハンドル分解とコボルディズム上のモース関数との間に対応関係が成立する。

コボルディズムは、1895年にアンリ・ポアンカレが多様体のみを用いてホモロジーを定義しようとした（失敗に終わった）試みに端を発している（Dieudonné 1989 、p. 289 ）。ポアンカレはホモロジーとコボルディズムを同時に定義したが、これらは一般に同じものではない。ボルディズムとホモロジーの関係については、コボルディズムを特別なコホモロジー理論として参照されたい。

ボルディズムは、レフ・ポントリャーギンが多様体に関する幾何学的研究の中で明示的に導入した概念である。レネ・トムが、トム複体構成を通して、コボルディズム群がホモトピー理論によって計算できることを示したことで、ボルディズムは注目を集めるようになった。コボルディズム理論は、 K理論と並んで、特異コホモロジー理論の構成要素となった。歴史的に見ると、1950年代から1960年代初頭にかけてのトポロジーの発展、特にヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理や、アティヤ・シンガー指数定理の最初の証明において、コボルディズムは重要な役割を果たした。

1980年代には、コンパクト多様体を対象とし、それらの間のコボルディズムを射とする圏が、量子トポロジーの重要な部分である位相的量子場理論のアティヤ・セガル公理において基本的な役割を果たしました。

コボルディズムは、コボルディズム類とは別に、それ自体が研究対象です。コボルディズムは、対象が閉多様体であり、射がコボルディズムである圏を形成します。大まかに言えば、合成はコボルディズムを端から端まで貼り合わせることによって与えられます。( W ; M , N ) と ( W ′ ; N , P ) の合成は、最初の右端を2番目の左端に貼り合わせることによって定義され、( W ′ ∪ _N W ; M , P ) が得られます。コボルディズムは一種のコスパーンです。^{[ 3 ]} M → W ← N。この圏はダガーコンパクト圏です。

位相的量子場理論とは、コボルディズムの圏からベクトル空間の圏へのモノイド関手のことである。すなわち、それは、互いに素な多様体の和集合上での値が、構成する各多様体上での値のテンソル積に等しい関手である。

低次元の場合、境界問題（ボーダーズム）は比較的自明ですが、コボーダーズム（コボーダーズム）のカテゴリーはそうではありません。例えば、円を囲む円盤は零項演算に対応し、円柱は一項演算に対応し、ズボンは二項演算に対応します。

閉じた向き付けされていないn次元多様体のコボルディズムクラスの集合は、通常、次のように表される。${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{n}}$（より体系的な方法ではなく）${\displaystyle \Omega _{n}^{\text{O}}}$）は、互いに素な和集合を演算とするア​​ーベル群です。より具体的には、[ M ]と[ N ]がそれぞれ多様体MとNのコボルディズム類を表す場合、次のように定義します。${\displaystyle [M]+[N]=[M\sqcup N]}$これは、${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{n}}$アーベル群に組み替える。この群の単位元はクラスである。${\displaystyle [\emptyset ]}$境界であるすべての閉じたn次元多様体から構成される。さらに、${\displaystyle [M]+[M]=[\emptyset ]}$すべてのMに対して${\displaystyle M\sqcup M=\partial (M\times [0,1])}$。 したがって、${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{n}}$はベクトル空間である${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$2 つの要素を持つ体。多様体のデカルト積は乗算を定義します。${\displaystyle [M][N]=[M\times N],}$それで

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{*}=\bigoplus _{n\geqslant 0}{\mathfrak {N}}_{n}}$

これは次数付き代数であり、次数は次元によって与えられます。

コボルディズムクラス${\displaystyle [M]\in {\mathfrak {N}}_{n}}$閉じた向き付けされていないn次元多様体Mの は、接束の安定同型類に依存するMのStiefel–Whitney特性数によって決定されます。したがって、 M が安定的に自明な接束を持つ場合、${\displaystyle [M]=0\in {\mathfrak {N}}_{n}}$1954年、ルネ・トムは

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{*}=\mathbb {F} _{2}\left[x_{i}|i\geqslant 1,i\neq 2^{j}-1\right]}$

生成元が1つの多項式代数${\displaystyle x_{i}}$各次元において${\displaystyle i\neq 2^{j}-1}$したがって、向き付けされていない2つの閉じたn次元多様体M、Nはコボルダントであり、${\displaystyle [M]=[N]\in {\mathfrak {N}}_{n},}$各コレクションについて${\displaystyle \left(i_{1},\cdots ,i_{k}\right)}$k個の整数の組${\displaystyle i\geqslant 1,i\neq 2^{j}-1}$そのため${\displaystyle i_{1}+\cdots +i_{k}=n}$スティフェル・ホイットニー数は等しい

${\displaystyle \left\langle w_{i_{1}}(M)\cdots w_{i_{k}}(M),[M]\right\rangle =\left\langle w_{i_{1}}(N)\cdots w_{i_{k}}(N),[N]\right\rangle \in \mathbb {F} _{2}}$

と${\displaystyle w_{i}(M)\in H^{i}\left(M;\mathbb {F} _{2}\right)}$i番目のスティフェル・ホイットニークラスと${\displaystyle [M]\in H_{n}\left(M;\mathbb {F} _{2}\right)}$の${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$-係数基本クラス。

たとえiであっても選択することは可能です${\displaystyle x_{i}=\left[\mathbb {P} ^{i}(\mathbb {R} )\right]}$i次元実射影空間のコボルディズム類。

低次元の無方向コボルディズム群は

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{0}&=\mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{1}&=0,\\{\mathfrak {N}}_{2}&=\mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{3}&=0,\\{\mathfrak {N}}_{4}&=\mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{5}&=\mathbb {Z} /2.\end{aligned}}}$

これは例えば、すべての3次元閉多様体が（境界を持つ）4次元多様体の境界であることを示している。

オイラー標数${\displaystyle \chi (M)\in \mathbb {Z} }$向き付けされていない多様体Mの法 2 は、向き付けされていないコボルディズム不変量である。これは次の式によって示される。

${\displaystyle \chi _{\partial W}=\left(1-(-1)^{\dim W}\right)\chi _{W}}$

境界を持つ任意のコンパクト多様体に対して${\displaystyle W}$。

したがって、${\displaystyle \chi$ :{\mathfrak {N}}_{i}\to \mathbb {Z} /2} は明確に定義された群準同型です。例えば、任意の に対して${\displaystyle i_{1},\cdots ,i_{k}\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \chi \left(\mathbb {P} ^{2i_{1}}(\mathbb {R} )\times \cdots \times \mathbb {P} ^{2i_{k}}(\mathbb {R} )\right)=1.}$

特に、このような実射影空間の積はヌルコボルダントではない。mod 2 オイラー特性マップ${\displaystyle \chi$ :{\mathfrak {N}}_{2i}\to \mathbb {Z} /2} はすべての に対して全射である${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$そして、群同型写像${\displaystyle i=1.}$

さらに、${\displaystyle \chi (M\times N)=\chi (M)\chi (N)}$これらの群準同型写像は、次数付き代数の準同型写像に組み立てられる。

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathfrak {N}}\to \mathbb {F} _{2}[x]\\[][M]\mapsto \chi (M)x^{\dim(M)}\end{cases}}}$

コボルディズムは、特に向きなどの追加構造を持つ多様体に対しても定義できます。これは、 X構造（またはG構造）の概念を用いて一般的に形式化されます。^{[ 4 ]}簡単に言うと、Mを十分高次元のユークリッド空間に埋め込んだときの法線束νは、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k}}$これは、 Mからグラスマン多様体への写像を生み出し、それは直交群ν: M → Gr ( n , n + k ) → BO ( k )の分類空間の部分空間である。空間と写像の集合X _k → X _{k +1}と写像X _k → BO ( k ) (包含BO ( k ) → BO ( k +1 と互換性あり) が与えられた場合、X構造は ν を写像に持ち上げたものである。  ${\displaystyle {\tilde {\nu }}:M\to X_{k}}$X構造を持つ多様体とコボルディズムのみを考慮すると、より一般的なコボルディズムの概念が生まれます。特に、X _kはBG ( k )で与えられ、ここでG ( k ) → O ( k ) はある群準同型です。これはG 構造と呼ばれます。例としては、無向コボルディズムを返す直交群G = Oのほか、向き付きコボルディズムを生み出す部分群SO( k )、スピン群、ユニタリ群U ( k ) 、フレーム付きコボルディズムを生み出す自明群などがあります。

結果として得られるコボルディズム群は、向き付けされていない場合と同様に定義される。それらは次のように表される。${\displaystyle \Omega _{*}^{G}}$。

すべてのベクトル束理論（実数、複素数など）には、K理論と呼ばれる特別なコホモロジー理論が存在する。同様に、すべてのコボルディズム理論ΩG^には、ホモロジー（「ボルディズム」）群を持つ特別なコホモロジー理論が存在する。${\displaystyle \Omega _{n}^{G}(X)}$およびコホモロジー（「コボルディズム」）群${\displaystyle \Omega _{G}^{n}(X)}$任意の空間Xに対して。一般化ホモロジー群${\displaystyle \Omega _{*}^{G}(X)}$Xにおいて共変であり、一般化コホモロジー群は${\displaystyle \Omega _{G}^{*}(X)}$Xにおいて反変である。上記で定義したコボルディズム群は、この観点から見ると、点のホモロジー群である。${\displaystyle \Omega _{n}^{G}=\Omega _{n}^{G}({\text{pt}})}$。 それから${\displaystyle \Omega _{n}^{G}(X)}$は、閉じたn次元多様体M (G 構造を持つ) と写像f : M → X を持つペア ( M , f )の境界クラスのグループです。このようなペア ( M , f ) 、 ( N , g ) は、写像h : W → Xを持つG-コボルディズム ( W ; M , N ) が存在し、それがM上ではfに、N上ではgに制限される場合に境界付きです。  

n次元多様体Mは基本ホモロジー類[ M ] ∈ H _n ( M )を持ちます(係数は${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$一般的に、そして${\displaystyle \mathbb {Z} }$（方向付けされたケースでは）自然変換を定義する

${\displaystyle {\begin{cases}\Omega _{n}^{G}(X)\to H_{n}(X)\\(M,f)\mapsto f_{*}[M]\end{cases}}}$

これは一般的に同型写像とは程遠いものである。

空間のボルディズム理論とコボルディズム理論は、次元公理を除いてアイレンベルク・スティーンロッド公理を満たす。これは、群が${\displaystyle \Omega _{G}^{n}(X)}$ 点のコボルディズム理論と空間Xのホモロジーが分かれば、効率的に計算できるが、アティヤー・ヒルツェブルフのスペクトル系列は計算の出発点となる。計算が容易になるのは、特定のコボルディズム理論が通常のホモロジー理論の積に帰着する場合のみであり、その場合、ボルディズム群は通常のホモロジー群となる。

${\displaystyle \Omega _{n}^{G}(X)=\sum _{p+q=n}H_{p}(X;\Omega _{q}^{G}({\text{pt}})).}$

これは、向き付けのないコボルディズムの場合に当てはまります。他のコボルディズム理論は、このように通常のホモロジーに還元されません。特に、枠付きコボルディズム、向き付けコボルディズム、複素コボルディズムなどがそうです。最後の理論は、代数トポロジー学者によって計算ツールとしてよく使用されます（例えば、球面のホモトピー群の場合）。^{[ 5 ]}

コボルディズム理論は、トムスペクトルMGによって表されます。群Gが与えられた場合、トムスペクトルは、分類空間BG _n上の標準ベクトル束のトム空間MG _nから構成されます。類似した群であっても、トムスペクトルは大きく異なる場合があることに注意してください。MSOとMOは大きく異なり、これは方向付けられたコボルディズムと方向付けられていないコボルディズムの違いを反映しています。

スペクトルの観点から見ると、無方向コボルディズムはアイレンバーグ・マクレーンスペクトルの積である– MO = H ( π _∗ ( MO )) – ですが、方向付きコボルディズムはアイレンバーグ・マクレーンスペクトルの積であり、2 ではありますが奇素数ではそうではありません。方向付きコボルディズムスペクトルMSO はMOよりもかなり複雑です。

1959年、CTC Wallは、2つの多様体がコボルダントであるのは、それらのポントリャーギン数とスティフェル数が等しい場合のみであることを証明した。^{[ 6 ]}

• コボルディズム仮説
• コボルディズム・リング
• h-コボルディズム
• リンクの一致
• コホモロジー理論の一覧
• シンプレクティック充填
• ボーダーイズムのタイムライン

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