スパン（圏論）

圏論において、スパン、ルーフ、または対応とは、圏の2つの対象間の関係 という概念の一般化である。圏がすべての引き戻しを持ち（かつ少数の他の条件を満たす）場合、スパンは分数の圏における射とみなすことができる。

スパンという概念は、米田信夫 （1954年）とジャン・ベナブー（1967年）によるものである。

スパンは、タイプの図です。${\displaystyle \Lambda =(-1\leftarrow 0\rightarrow +1),}$すなわち、次の形式の図${\displaystyle Y\leftarrow X\rightarrow Z}$。

つまり、Λ を (-1 ← 0 → +1) の圏とする。このとき、圏Cにおけるスパンは関手S  :  Λ  → Cである。これは、スパンがCの3 つの対象X、Y 、 Zと射f : X → Yおよびg : X → Zから構成されることを意味する。つまり、共通の定義域を持つ 2 つの写像である。         

スパンの余極限はプッシュアウトです。

• Rが集合XとYの間の関係（つまりX × Yの部分集合）である場合、 X ← R → Yはスパンであり、マップは射影マップである。${\displaystyle X\times Y{\overset {\pi _{X}}{\to }}X}$そして${\displaystyle X\times Y{\overset {\pi _{Y}}{\to }}Y}$。
• 任意のオブジェクトは自明なスパンA ← A → Aを生成する。ここで、写像は恒等写像である。
• より一般的には、${\displaystyle \phi \colon A\to B}$ある圏における射とする。自明なスパンA ← A → Bが存在し、左写像はA 上の恒等写像であり、右写像は与えられた写像φである。
• Mがモデル圏であり、Wが弱同値の集合である場合、次の形式のスパンが${\displaystyle X\leftarrow Y\rightarrow Z,}$左射がWに属する場合、は一般化射（すなわち、「弱同値関係を反転させる」射）とみなすことができる。ただし、これはモデル圏を扱う際に通常用いられる観点ではないことに注意されたい。

圏CにおけるコスパKは、関手 K : Λ ^op → Cであり、同等に、Λ からCへの反変関手である。すなわち、型 の図式である。    ${\displaystyle \Lambda ^{\text{op}}=(-1\rightarrow 0\leftarrow +1),}$すなわち、次の形式の図${\displaystyle Y\rightarrow X\leftarrow Z}$。

したがって、これはCの3 つのオブジェクトX、Y 、 Zと射f : Y → Xおよびg : Z → Xから構成され、共通の終域を持つ 2 つのマップとなります。        

コスパンの極限はプルバックである。

コスパンの一例として、 2 つの多様体MとNの間のコボルディズムWが挙げられます。ここで、2 つの写像はWへの包含写像です。コボルディズムはコスパンですが、コボルディズムの圏は「コスパン圏」ではありません。つまり、「境界に包含写像を持つ多様体の圏」におけるすべてのコスパンの圏ではなく、その部分圏です。なぜなら、MとN がWの境界の分割を形成するという要件は、大域的な制約だからです。

有限次元コボルディズムの圏nCobはダガーコンパクト圏である。より一般的には、有限極限を持つ任意の圏C上のスパンの圏Span ( C ) もダガーコンパクトである。

• 二項関係
• 引き戻し（圏論）
• プッシュアウト（圏論）
• コボルディズム