正規不変量

数学において、法線マップはウィリアム・ブラウダーによる幾何学的位相幾何学の概念であり、手術理論において基本的な重要性を持つ。ポアンカレ複体X (より幾何学的にはポアンカレ空間) が与えられた場合、 X上の法線マップは、大まかに言えば、空間に、閉多様体のホモトピー理論的グローバル構造の一部を付与する。特に、X は、安定な法線バンドルとトム崩壊マップの優れた候補を持ち、これは、基本類に一致し、法線バンドル情報を保存する多様体MからXへのマップが存在することと同等である。 Xの次元が5 の場合、 XへのCTC ウォールが実際に閉多様体とホモトピー等価であることによる代数的位相幾何学手術の障害のみがある。法線マップは、セルゲイ・ノビコフによって開拓されたホモトピー型内の多様体構造の一意性の研究にも適用される。 ${\displaystyle \geq }$

X上の正規写像のコボルディズム類は正規不変量と呼ばれます。多様体のカテゴリ (微分可能、区分線形、または位相的) に応じて、同様に定義されるが同等ではない、正規写像と正規不変量の概念が存在します。

法線マップに対して手術、つまり領域多様体に対する手術を行い、マップを保存することが可能です。法線マップに対する手術により、相対ホモトピー群の要素を、自明な法線バンドルによる埋め込みとして表現することで、体系的に削除することができます。

法線マップには、多様体の法線バンドルを使用するか接線バンドルを使用するかに応じて、同等の定義が 2 つあります。したがって、定義を切り替えることができ、非常に便利です。

1.形式次元 のポアンカレ複体X（すなわち、その細胞鎖複体がポアンカレ双対性を満たすCW複体）が与えられたとき、 X上の正規写像は以下で構成される。 ${\displaystyle n}$

• ある閉じたn次元多様体Mからの写像、${\displaystyle f\colon M\to X}$
• X上のバンドル、およびの安定正規バンドルからへの安定写像、および${\displaystyle \xi}$ ${\displaystyle \nu_{M}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \xi}$
• 通常、法線マップは次数 1であると考えられます。つまり、 の基本クラスはの基本クラスにマップされる必要があります。${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{*}([M])=[X]\in H_{n}(X)}$

2.形式次元 のポアンカレ複体（すなわち、その細胞鎖複体がポアンカレ双対性を満たすCW複体）が与えられたとき、 （接束に関して） 上の法線写像は次式で構成される。${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$

• ある閉じた- 次元多様体からの写像、${\displaystyle f\colon M\to X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$
• 上のバンドル、およびの安定接バンドルから への安定写像、および${\displaystyle \xi}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{M}\oplus \varepsilon ^{k}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \xi}$
• 上記と同様に、の基本クラスがの基本クラスにマッピングされる必要があります。${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{*}([M])=[X]\in H_{n}(X)}$

2 つの法線マップは、それらの間に法線境界が存在する場合、同等です。

次の質問を考えてみましょう。

形式次元nのポアンカレ複体X は、閉じたn多様体とホモトピー同値ですか?

この問題に対する素朴な手術アプローチは、ある多様体からへの何らかの写像から始めて、それに手術を施してホモトピー同値性を作るというものです。次の点に注意してください。開始マップは任意に選択され、手術によって常にコボルダント マップが生成されることから、この手順は (最悪の場合) マップ のすべてのコボルディズム クラスに対して実行する必要があります。この種のコボルディズム理論は、係数がThomによって計算されたホモロジー理論です。したがって、そのようなマップ のコボルディズム クラスは、少なくとも理論的にはすべての空間 に対して計算可能です。 ${\displaystyle M\to X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M\to X}$${\displaystyle X}$

しかし、手術によってマップからホモトピー同値を作成できるかどうかを判断するのは非常に難しいことがわかりました。一方、マップに法線マップの追加構造が付属している場合は、同じ質問がはるかに簡単になります。したがって、私たちの質問に対する古典的な手術アプローチでは、法線マップ（存在すると仮定）から始めて、それに手術を実行します。これにはいくつかの利点があります。 ${\displaystyle f\colon M\to X}$

• 写像が 1 次であるということは、 のホモロジー が のホモロジーといわゆる手術核の直和として分割されることを意味します。つまり、 です。(ここでは、 が基本群の同型を誘導し、 の局所係数を持つホモロジーを使用すると仮定します。)${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{*}(M)=ker(f_{*}\colon H_{*}(M)\to H_{*}(X))}$${\displaystyle H_{*}(M)=K_{*}(M)\oplus H_{*}(X)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Z[\pi _{1}(X)]}$

ホワイトヘッドの定理によれば、手術核がゼロの場合に限り、 マップはホモトピー同値になります。${\displaystyle f}$

• バンドル データは次のことを意味します。 要素( の相対ホモトピー グループ)が、ヌル ホモトピー を持つ埋め込み(またはより一般的には浸漬) によって表せるとします。 この場合、その埋め込み (または浸漬) の正規バンドルが安定して自明であることによってそれを表せます。 この観察は重要です。なぜなら、手術は自明な正規バンドルを持つ埋め込みに対してのみ可能であるためです。 たとえば、が の次元の半分未満である場合、ホイットニーの定理により、すべてのマップは埋め込みにホモトピックです。 一方、 に対して であるため、そのような埋め込みのすべての安定して自明な正規バンドルは自動的に自明です。したがって、正規マップに対する手術は、常に中間の次元未満で実行できます。 これは任意のマップには当てはまりません。${\displaystyle \alpha \in \pi _{p+1}(f)}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi :S^{p}\to M}$${\displaystyle f\circ \phi :S^{p}\to X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S^{p}\to X}$${\displaystyle \pi _{p}(BO,BO_{k})=0}$${\displaystyle k>p}$

この新しいアプローチでは、正規不変量である正規マップのボルディズム クラスを分類する必要があることに注意してください。マップのコボルディズム クラスとは対照的に、正規不変量はコホモロジー理論です。その係数は、位相多様体の場合に既知です。滑らかな多様体の場合、理論の係数ははるかに複雑です。

セットを研究することが重要な理由は 2 つあります。外科理論の主な目標は次の質問に答えることであることを思い出してください。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$

1. 有限のポアンカレ複体が与えられたとき、と同等の -多様体ホモトピーは存在するか? ${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$

2. 2 つのホモトピー同値 が与えられたとき、となるような微分同相写像はどこにありますか? ${\displaystyle f_{i}\colon M_{i}\rightarrow X}$${\displaystyle i=0,1}$${\displaystyle h\colon M_{0}\rightarrow M_{1}}$${\displaystyle f_{1}\circ h\simeq f_{0}}$

これらの質問に対する答えが肯定的である場合、次の2つの質問に対する答えが肯定的であることが必須条件であることに注意してください。

1. 有限のポアンカレ複体が与えられたとき、次数 1 の正規写像は存在するか? ${\displaystyle X}$${\displaystyle (f,b)\colon M\rightarrow X}$

2. 2 つのホモトピー同値 が与えられたとき、およびとなるような正規コボルディズムはどこにありますか? ${\displaystyle f_{i}\colon M_{i}\rightarrow X}$${\displaystyle i=0,1}$${\displaystyle (F,B)\colon (W,M_{0},M_{1})\to (X\times I,X\times 0,X\times 1)}$${\displaystyle \partial _{0}F=f_{0}}$${\displaystyle \partial _{1}F=f_{1}}$

これはもちろんほとんど自明な観察ですが、質問 1.' に答える有効な理論があり、また質問 1.' の答えが「はい」である場合に質問 1. に答える有効な理論もあることが判明したため重要です。質問 2. と 2.' についても同様です。質問を次のように表現できることにも注意してください。

1. ' ですか? ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)\neq \emptyset }$

2. 'はですか? ${\displaystyle f_{0}=f_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$

したがって、研究は、手術理論の主な目標である手術構造セットを理解するための最初のステップです。重要なのは、以下で説明するように、代数的位相幾何学の観点から見ると、はるかにアクセスしやすいという ことです。${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$

1. X を有限のn次元ポアンカレ複体とします。正規バンドルでの定義を使用すると便利です。(滑らかな) 多様体は一意の接バンドルと一意の安定正規バンドルを持つことを思い出してください。しかし、有限のポアンカレ複体はそのような一意のバンドルを持っていません。それでも、代替物、つまりある意味で一意の球状ファイバ、いわゆるスピヴァック正規ファイバを持っています。これは、が多様体とホモトピー同値である場合、その多様体の正規バンドルの引き戻しに関連付けられた球状ファイバは、スピヴァック正規ファイバと同型であるという特性があります。したがって、である場合、スピヴァック正規ファイバにはバンドル縮小があります。ポントリャギン-トム構成により、逆も真です。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)\neq \emptyset }$

これはホモトピー理論の観点から定式化できます。安定な球状ファイバの分類空間、 安定なベクトル束の分類空間、および包含によって誘導され、ベクトル束の関連する球状ファイバを取ることに対応するマップを思い出してください。実際、ファイバ列 があります。Spivak 正規ファイバはマップ によって分類されます。がリフト を持つ場合のみ、ベクトル束縮小を持ちます。これは、合成がヌルホモトピックであることを要求するのと同じです。 ${\displaystyle BG}$${\displaystyle BO}$${\displaystyle J\colon BO\rightarrow BG}$${\displaystyle O\hookrightarrow G}$${\displaystyle BO\rightarrow BG\rightarrow B(G/O)}$${\displaystyle \nu _{X}\colon X\rightarrow BG}$${\displaystyle \nu _{X}}$${\displaystyle {\tilde {\nu }}_{X}\colon X\rightarrow BO}$${\displaystyle X\rightarrow BG\rightarrow B(G/O)}$

のホモトピー群は特定の低次元で知られており、自明ではないため、上記の条件が一部の では満たされない可能性があることを示唆していることに注意してください。実際にそのような有限のポアンカレ複体が存在し、最初の例はGitlerとStasheffによって得られました^[要出典]。これにより、多様体とホモトピー同値ではないポアンカレ複体の例が得られました。 ${\displaystyle B(G/O)}$${\displaystyle X}$

2.' 上記の考察を相対化すると、（不自然な）一対一の関係が得られる。

${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)\cong [X,G/O].}$

上記の全単射は、空間がループ空間であり、実際には無限ループ空間であるため、アーベル群の構造を与える。したがって、通常の不変量は、その無限ループ空間によって定義される異常コホモロジー理論のゼロ次コホモロジー群である。同様の考え方は多様体の他のカテゴリにも適用され、全単射が存在することに注意する。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$${\displaystyle G/O}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)\cong [X,G/O]}$、および、および${\displaystyle {\mathcal {N}}^{PL}(X)\cong [X,G/PL]}$${\displaystyle {\mathcal {N}}^{TOP}(X)\cong [X,G/TOP].}$

スペースは

${\displaystyle G/O}$、そして${\displaystyle G/PL}$${\displaystyle G/TOP}$

は相互にホモトピー同値ではないので、3つの異なるコホモロジー理論が得られます。

サリバンは、およびの場合を分析しました。彼は、これらの空間が代替の無限ループ空間構造を持ち、それが次の観点から実際により優れていることを示しました。正規不変量から L 群への手術障害マップがあることを思い出してください。正規不変量上の上記のグループ構造では、このマップは準同型ではありません。しかし、サリバンの定理からのグループ構造を使用すると、カテゴリ、および 内の準同型になります。彼の定理は、これらの新しいグループ構造を、特異コホモロジーと実 K 理論というよく知られたコホモロジー理論に結び付けます。 ${\displaystyle G/PL}$${\displaystyle G/TOP}$${\displaystyle CAT=PL}$${\displaystyle TOP}$

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