C*代数

数学、特に関数解析において、C ^∗代数（発音は「C-スター」）は、随伴の性質を満たす反転を伴うバナッハ代数です。特殊な例として、複素ヒルベルト空間上の連続線型作用素の複素代数Aがあり、さらに次の2 つの性質があります。

• A は演算子のノルム位相における位相的に閉じた集合です。
• A は演算子の随伴を取る操作に関して閉じています。

非ヒルベルト C* 代数のもう一つの重要なクラスには、無限遠で消滅するX上の複素数値連続関数の代数が含まれます。ここで、 Xは局所的にコンパクトなハウスドルフ空間です。 ${\displaystyle C_{0}(X)}$

C*-代数は、最初は主に量子力学で物理的観測量の代数をモデル化するために使用するために考えられました。この研究の流れは、ヴェルナー・ハイゼンベルクの行列力学から始まり、 1933年頃にパスクアル・ジョルダンによってより数学的に発展した形で始まりました。その後、ジョン・フォン・ノイマンはこれらの代数の一般的な枠組みを確立しようと試み、その結果、作用素環に関する一連の論文が発表されました。これらの論文では、現在フォン・ノイマン代数として知られているC*-代数の特別なクラスが検討されました。

1943 年頃、イスラエル・ゲルファンドとマーク・ナイマークの研究により、ヒルベルト空間上の演算子を参照しない C* 代数の抽象的な特徴付けが実現しました。

C*-代数は現在、局所コンパクト群のユニタリ表現の理論における重要なツールであり、量子力学の代数的定式化にも使用されています。もう一つの活発な研究分野は、可分単純核C*-代数の分類を取得するプログラム、または分類が可能な範囲を決定するプログラムです。

まず、1943 年の Gelfand と Naimark の論文で示された C* 代数の抽象的な特徴から始めます。

AC*-代数Aは、複素数体 上のバナッハ代数であり、 次の特性を持つ への写像を伴います。 ${\textstyle x\mapsto x^{*}}$${\textstyle x\in A}$

• これは、Aの任意のxに対して反転です。

${\displaystyle x^{**}=(x^{*})^{*}=x}$

• A内のすべてのx、yについて:

${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$

${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$

• あらゆる複素数とAのあらゆるxに対して:${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$

${\displaystyle (\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}.}$

• A内のすべてのxについて:

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|\|x^{*}\|.}$

注意:最初の 4 つの恒等式は、Aが*-代数であることを示しています。最後の恒等式はC* 恒等式と呼ばれ、次と同等です。

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2},}$

これは B*-恒等式と呼ばれることもあります。C*-代数と B*-代数の名前の由来については、以下の歴史のセクションを参照してください。

C*恒等式は非常に強い要件です。例えば、スペクトル半径の公式と組み合わせると、C*ノルムが代数構造によって一意に決定されることを意味します。

${\displaystyle \|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1{\text{ is not invertible}}\}.}$

C*-代数AとBの間の有界線型写像π : A  → Bは、次のとき*-準同型と呼ばれる。

• Aのxとyについて

${\displaystyle \pi (xy)=\pi (x)\pi (y)\,}$

• Aのxについて

${\displaystyle \pi (x^{*})=\pi (x)^{*}\,}$

C*-代数の場合、C*-代数間の任意の *-準同型πは収縮的、つまりノルム ≤ 1 で有界です。さらに、C*-代数間の入射的 *-準同型は等長的です。これらは C*-恒等式の結果です。

全単射 *-準同型πはC*-同型と呼ばれ、その場合AとB は同型であると言われます。

B*-代数という用語は、次の条件を満たす バナッハ*-代数を記述するためにCE Rickartによって1946 年に導入されました。

• ${\displaystyle \lVert xx^{*}\rVert =\lVert x\rVert ^{2}}$与えられたB*-代数内のすべてのxに対して。(B*-条件)

この条件は、自動的に *-反転が等長であること、つまり を意味します。したがって、であり、したがって、B*-代数は C*-代数でもあります。逆に、C*-条件は B*-条件を意味します。これは自明ではなく、条件 を使用せずに証明できます。^[1]これらの理由から、B*-代数という用語は現在の用語ではほとんど使用されておらず、「C*-代数」という用語に置き換えられています。 ${\displaystyle \lVert x\rVert =\lVert x^{*}\rVert }$${\displaystyle \lVert xx^{*}\rVert =\lVert x\rVert \lVert x^{*}\rVert }$${\displaystyle \lVert x\rVert =\lVert x^{*}\rVert }$

C*-代数という用語は、 1947年にIE Segalによって導入され、 B ( H )のノルム閉部分代数、つまり、あるヒルベルト空間H上の有界作用素の空間を説明するために導入されました。「C」は「閉じた」の略です。^{[2] [3]} Segalは論文でC*-代数を「ヒルベルト空間上の有界作用素の一様に閉じた自己随伴代数」と定義しています。^[4]

C*-代数には、技術的に便利な多数の特性があります。これらの特性のいくつかは、連続関数計算を使用するか、可換 C*-代数への還元によって確立できます。後者の場合、これらの構造がゲルファント同型によって完全に決定されるという事実を使用できます。

自己随伴元は、形式 の元である。形式 のC* 代数Aの元の集合は、閉じた凸錐 を形成する。この錐は、形式 の元と同一である。この錐の元は非負（または、の元に対する用語の使用と矛盾するが、正 と呼ばれることもある） と呼ばれる。${\displaystyle x=x^{*}}$${\displaystyle x^{*}x}$${\displaystyle xx^{*}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

C*-代数Aの自己随伴元の集合は、自然に半順序 ベクトル空間の構造を持ちます。順序は通常 と表記されます。この順序では、自己随伴元がを満たすのは、のスペクトル が非負である場合、および に対して である場合に限ります。Aの2 つの自己随伴元と がを満たすのは、 の場合です。 ${\displaystyle \geq }$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x=s^{*}s}$${\displaystyle s\in A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\geq y}$${\displaystyle x-y\geq 0}$

この部分的に順序付けられた部分空間により、C*-代数上の正の線形関数の定義が可能になります。これは、C*-代数の状態を定義するために使用され、 GNS 構成を使用してC*-代数のスペクトルを構築するために使用できます。

任意のC*-代数Aは近似的な 恒等元を持つ。実際、Aの自己随伴元の有向族{ e _λ } _{λ∈Iが存在し、}

${\displaystyle xe_{\lambda }\rightarrow x}$

${\displaystyle 0\leq e_{\lambda }\leq e_{\mu }\leq 1\quad {\mbox{ whenever }}\lambda \leq \mu .}$

Aが分離可能な場合、A は連続近似単位元を持ちます。より一般的には、A が連続近似単位元を持つのは、A が厳密に正の元、つまりhAhがAに稠密であるような正の元h を含む場合のみです。

近似恒等式を使用すると、自然ノルムを持つ、 閉じた適切な両側イデアルによる C*-代数の代数商がC*-代数であることを示すことができます。

同様に、C*-代数の閉じた二辺イデアルは、それ自体が C*-代数です。

C上のn × n行列の代数 M( n , C ) は、行列をユークリッド空間C ⁿ上の作用素とみなし、行列上の作用素ノルム||·|| を使用すると、C*-代数になります。反転は共役転置によって与えられます。より一般的には、行列代数の有限直和を考えることができます。実際、ベクトル空間として有限次元であるすべての C*-代数は、同型性を除いてこの形式です。自己随伴要件は、有限次元 C*-代数が半単純 であることを意味し、この事実から、次のArtin–Wedderburn型の定理を導き出すことができます。

定理。 有限次元C*-代数Aは有限直和に 正準同型である。

${\displaystyle A=\bigoplus _{e\in \min A}Ae}$

ここで、min A はAの最小の非ゼロ自己随伴中心射影の集合です。

各 C*-代数Aeは、完全な行列代数 M(dim( e ), C ) と同型です (非標準的な方法で)。 {dim( e )} _eによって与えられる min Aでインデックス付けされた有限族は、Aの次元ベクトルと呼ばれます。このベクトルは、有限次元 C*-代数の同型類を一意に決定します。K理論の言語では、このベクトルはAのK ₀群の正の錐です。

† -代数（または、より明確には、†-閉代数）は、有限次元C*-代数に対して物理学で時折使用される名前です^{[5] 。}短剣の†が名前に使用されているのは、物理学者が通常この記号をエルミート随伴を表すために使用し、無限次元に関連する微妙な点を気にしないことが多いためです。（数学者は通常、アスタリスク*を使用してエルミート随伴を表します。）†-代数は量子力学、特に量子情報科学で重要な役割を果たします。

有限次元 C*-代数の直接的な一般化は、近似的に有限次元 C*-代数である。

C*-代数の原型的な例は、複素ヒルベルト空間 H 上で定義された有界（連続と同等）線型作用素の代数 B(H) である。ここで x* は、作用素 x : H → H の随伴作用素を表す。実際、すべての C*-代数 A は、適切なヒルベルト空間Hに対して、B ( H )のノルム 閉随伴閉部分代数に* -同型である。これがゲルファント・ナイマルクの定理の内容である。

H を可分な無限次元ヒルベルト空間とする。H上のコンパクト作用素の代数K ( H ) はB ( H )のノルム閉じた部分代数である。また、反転に関しても閉じているため、C*-代数である。

コンパクト演算子の具体的な C*-代数は、有限次元 C*-代数に対するウェダーバーンの定理に似た特徴付けが可能である。

定理。AがK ( H )のC*部分代数ならば、ヒルベルト空間{ H _i } _{i ∈ I}が存在し、

${\displaystyle A\cong \bigoplus _{i\in I}K(H_{i}),}$

ここで(C*-)直和は、|| T _i || → 0となる直積Π K ( H _i )の元( T _i )から構成される。

K ( H ) には単位元はありませんが、 K ( H )の近似単位元を作成できます。具体的には、H は平方和可能列l ²の空間に同型です。つまり、 H = l ²と仮定できます。各自然数nに対して、 H _{n を}インデックスk ≥ nに対して消えるl ²の列の部分空間とし、e n を H n への直交射影とします。_列{ _e n } n_はK ₍ H )の近似 単位元です。

K ( H ) はB ( H )の両側閉イデアルです。可分ヒルベルト空間では、これは唯一のイデアルです。B ( H ) をK ( H )で割った商はカルキン代数です。

X を局所コンパクトハウスドルフ空間とする。X上の複素数値連続関数の空間で、無限大で消滅する(局所コンパクト性の記事で定義) ものは、点ごとの乗算と加算の下で可換 C*-代数を形成する。反転は点ごとの共役である。 が乗法単位元を持つのは、がコンパクトである場合に限ります。任意の C*-代数と同様に、は近似恒等式を持つ。 の場合、これは即時である。 のコンパクト部分集合の有向集合を考え、各コンパクト に対して が上で恒等的に 1 であるコンパクト台の関数であるとする。そのような関数は、局所コンパクト ハウスドルフ空間に適用されるTietze 拡張定理によって存在する。そのような関数の任意のシーケンスは、近似恒等式である。 ${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \{f_{K}\}}$

ゲルファンド表現は、すべての可換 C*-代数は代数 （は弱*位相を備えた指標の空間）に *-同型であることを述べています。さらに、 が C*-代数としてに同型である場合、と は同相であることがわかります。この特徴付けは、非可換位相および非可換幾何学プログラム の動機の 1 つです。${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle C_{0}(Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

近似恒等写像を持つバナッハ *-代数Aが与えられたとき、一意の (C*-同型を除いて) C*-代数E ( A )と、普遍的な、つまり他のすべての連続 *-写像π ': A → Bが π を介して一意に因数分解される、 AからE ( A )への* -写像 πが存在する。代数E ( A ) はバナッハ *-代数AのC*-包絡代数と呼ばれる。

特に重要なのは、局所コンパクト群 Gの C*-代数です。これは、 Gの群代数の包絡 C*-代数として定義されます。Gの C*-代数は、 Gが非可換である場合に、Gの一般的な調和解析 のコンテキストを提供します。特に、局所コンパクト群の双対は、群 C*-代数の原始イデアル空間として定義されます。C *-代数のスペクトルを参照してください。

フォン・ノイマン代数は、1960 年代以前は W* 代数として知られていましたが、C* 代数の特殊な種類です。これらは、ノルム位相よりも弱い 弱作用素位相で閉じていることが要求されます。

シャーマン-武田定理は、任意の C*-代数には普遍包絡 W*-代数があり、W*-代数への任意の準同型はそれを因数分解できることを意味します。

AC*-代数Aが I 型であるためには、 Aのすべての非退化表現 π に対して、フォン・ノイマン代数 π( A )″ (つまり、π( A ) の双交換子) が I 型フォン・ノイマン代数である必要があります。実際、因子表現、つまり π( A )″ が因子である表現 π のみを考えれば十分です。

局所コンパクト群は、その群の C*-代数がタイプ I である 場合に限り、タイプ I であると言われます。

しかし、C*-代数が非タイプ I 表現を持つ場合、James Glimmの結果により、タイプ II とタイプ III の表現も持つことになります。したがって、C*-代数と局所コンパクト群の場合、タイプ I と非タイプ I の特性について話すことだけが意味があります。

量子力学では、通常、単位元を持つ C* 代数Aで物理システムを記述します。 Aの自己随伴元( x* = xとなる元x ) は、システムの観測可能量、つまり測定可能な量と考えられます。 システムの状態は、 A上の正関数(すべてのu ∈ Aに対してφ( u*u ) ≥ 0となるC線型写像 φ : A → C ) として定義され、 φ(1) = 1 となります。システムが状態 φ にある場合、観測可能量xの期待値はφ( x ) です。

この C*-代数アプローチは、ミンコフスキー時空のすべての開集合が C*-代数に関連付けられている 局所量子場理論のハーグ-カストラー公理化で使用されます。

• バナッハ代数
• バナッハ*-代数
• *-代数
• ヒルベルト C* モジュール
• 演算子K理論
• 演算子システム、*-閉じている C*-代数の単位部分空間。
• ゲルファント - ナイマルク - セガルの建設
• ジョルダン作用素代数

• アーヴェソン, W. (1976)、C*-代数への招待、Springer-Verlag、ISBN 0-387-90176-0基本的な関数解析の知識を持つ人でも理解しやすい、このテーマの優れた入門書です。
• Connes、Alain (1994)、非可換幾何学、ISBN 0-12-185860-Xこの本は、多くの裏付けとなる直感を提供し、新たな研究資料の源として広く認められていますが、難しいものです。
• Dixmier、Jacques (1969)、Les C*-algèbres et leurs représentations、Gauthier-Villars、ISBN 0-7204-0762-1これはやや古い参考書ですが、今でも質の高い技術解説書として評価されています。英語版は North Holland press から入手できます。
• ロバート・S・ドーラン; Belfi、Victor A. (1986)、C*-代数の特徴付け: ゲルファント・ナイマルクの定理、CRC Press、ISBN 978-0-8247-7569-8。
• エムチ、G. (1972)、統計力学と量子場理論における代数的手法、Wiley-Interscience、ISBN 0-471-23900-3物理学の広範な背景を提供する数学的に厳密な参考文献。
• AI Shtern (2001) [1994]、「C*-代数」、数学百科事典、EMS Press
• 酒井 誠(1971) C*-代数とW*-代数、Springer、ISBN 3-540-63633-1。
• シーガル、アーヴィング（1947）、「作用素代数の既約表現」、アメリカ数学会報、53（2）：73–88、doi：10.1090 / S0002-9904-1947-08742-5。