遺伝的 C* 部分代数

数学において、 C* -代数の遺伝的C* -部分代数は、より大きなC*-代数の構造と密接に関連した構造を持つC*-部分代数の特別な種類である。A のC*-部分代数Bが遺伝的C*-部分代数であるとは、0 ≤ a ≤ bとなるすべてのa ∈ Aおよびb ∈ Bに対してa ∈ Bが成り立つことを意味する。^[1]

• ほぼ有限次元のC*-代数の遺伝的C*-部分代数も AF です。これは遺伝的ではない部分代数には当てはまりません。たとえば、すべてのアーベルC*-代数は AF C*-代数に埋め込むことができます。
• AC*-部分代数は、いかなる適切な（両側の）閉イデアルにも含まれていない場合、完全であると呼ばれます。2つのC*-代数AとBは、 A  ⊗  K  ≅  B  ⊗  K（Kは可分無限次元ヒルベルト空間上のコンパクト演算子のC*-代数）の場合、安定同型と呼ばれます。C*-代数は、その完全遺伝C*-部分代数と安定同型です。^[2]したがって、2つのC*-代数は、安定同型の完全遺伝C*-部分代数を含む場合、安定同型です。
• また、遺伝的 C*-部分代数とは、任意の既約表現の制限も既約である C*-部分代数です。

閉じた左イデアルとAの遺伝的 C*-部分代数の間には全単射の対応がある。L ⊂ Aが閉じた左イデアルならば、L * は *-演算によるLの像を表すものとする。集合L * は右イデアルであり、L * ∩ Lは C*-部分代数である。実際、L * ∩ Lは遺伝的であり、写像L ↦ L * ∩ Lは全単射である。この対応から、すべての閉じたイデアルは遺伝的 C*-部分代数であることがわかる。別の系として、単純 C*-代数の遺伝的 C*-部分代数も単純である。

p がAの射影（またはAの乗数代数の射影）である場合、pAp はAのコーナーとして知られる遺伝 C*-部分代数です。より一般的には、正のa  ∈  Aが与えられた場合、集合aAaの閉包はa を含む最小の遺伝 C*-部分代数であり、Her( a ) と表記されます。Aが分離可能である場合、すべての遺伝 C*-部分代数はこの形式を持ちます。

これらの遺伝的 C*-部分代数は、Cuntz 部分同値性の概念にいくらかの洞察をもたらすことができます。特に、aとb がC*-代数Aの正の要素である場合、b  ∈ Her( a )です。したがって、Her( a ) = Her( b ) の場合、 a  ~  b です。 ${\displaystyle a\precsim b}$

Aが単位元で正元aが可逆な場合、 Her( a ) = A です。これは、非単位元の場合について次の概念を示唆しています。a ∈ A は、 Her( a ) = Aの場合に厳密に正であると言われています。たとえば、ヒルベルト空間Hに作用するコンパクト演算子の C*-代数K ( H )では、コンパクト演算子が厳密に正であるための必要条件は、その値域がHで稠密である場合です。可換 C*-代数が厳密に正元を含む場合と、代数のスペクトルがσ-コンパクトである場合とで同じです。より一般的には、 C*-代数が厳密に正元を含む場合と、代数が順次近似単位元を持つ場合とで同じです。