局所コンパクト群の群環

関数解析および関連する数学分野において、群環とは、局所コンパクト群に作用素環（より一般的にはバナッハ環）を割り当てるための様々な構成の総称であり 、その代数の表現は群の表現と関連付けられる。このように、群環は離散群に関連付けられた群環に類似している。

Gが局所コンパクトハウスドルフ群である場合、G は本質的に一意な左不変な可算加法ボレル測度μを持ち、これをハール測度と呼びます。ハール測度を用いると、コンパクト台を持つG上の複素数値連続関数の空間C _c ( G ) 上で畳み込み演算を定義できます。C c ₍ G ) には様々なノルムを与えることができ、その完備化は群環になります。

畳み込み演算を定義するために、fとgをC _c ( G )の 2 つの関数とする。Gのtに対して、次のように定義する。

${\displaystyle [f*g](t)=\int _{G}f(s)g\left(s^{-1}t\right)\,d\mu (s).}$

事実${\displaystyle f*g}$連続であることは、優収束定理からすぐにわかる。また

${\displaystyle \operatorname {Support} (f*g)\subseteq \operatorname {Support} (f)\cdot \operatorname {Support} (g)}$

ここで、ドットはGにおける積を表します。C _c ( G ) には、次のように定義される自然な対合もあります。

${\displaystyle f^{*}(s)={\overline {f(s^{-1})}}\,\Delta (s^{-1})}$

ここで Δ はG上のモジュラー関数である。この対合により、それは*-代数となる。

定理。ノルムは次のようになる。

${\displaystyle \|f\|_{1}:=\int _{G}|f(s)|\,d\mu (s),}$

C _c ( G ) は近似的な恒等式を持つ対合的なノルム代数となる。

近似恒等式は、コンパクト集合からなる恒等式の近傍に基づいてインデックス付けすることができる。実際、Vが恒等式のコンパクト近傍である場合、f _{V を}V内でサポートされる非負の連続関数とし、

${\displaystyle \int _{V}f_{V}(g)\,d\mu (g)=1.}$

このとき、{ f _V } _Vは近似単位元である。群代数が近似単位元ではなく単位元を持つのは、群の位相が離散位相である場合のみである。

離散群の場合、C _c ( G ) は複素群環C [ G ] と同じものであることに注意してください。

群代数の重要性は、以下に示すように、Gのユニタリ表現理論を捉えている点にある。

定理。Gを局所コンパクト群とする。Uがヒルベルト空間H上のGの強連続ユニタリ表現であるならば、

${\displaystyle \pi _{U}(f)=\int _{G}f(g)U(g)\,d\mu (g)}$

は、ノルム代数C _c ( G )の非退化有界 *-表現である。

${\displaystyle U\mapsto \pi _{U}}$

は、 G の強連続ユニタリ表現の集合とC _c ( G )の非退化有界 *-表現の集合との間の全単射である。この全単射は、ユニタリ同値性と強包含性を満たす。特に、π _{U が}既約であるのは、U が既約である場合に限る。

ヒルベルト空間_Hπ上のC _c ( G )の表現πの非退化 とは、

${\displaystyle \left\{\pi (f)\xi :f\in \operatorname {C} _{c}(G),\xi \in H_{\pi }\right\}}$

Hπ_が密集している。

測度論の標準的な定理として、 L ¹ ( G ) ノルムにおけるC _c ( G )の完備化は、ハール測度に関して積分可能な関数の同値類の空間L ¹ ( G )と同型である。ここで、通常どおり、2 つの関数は、ハール測度がゼロの集合でのみ異なる場合に限り、同値であるとみなされる。

定理。L 1 ( G ) は、上記で定義された畳み込み積と対合、および L 1 ノルムを持つバナッハ *-代数である^{。L 1} ( G ⁾は、 有界な近似^単位元も持つ。

C [ G ] を離散群Gの群環とする 。

局所コンパクト群Gに対して、 Gの群C*-代数C* ( G ) は、 L ¹ ( G ) の C*-包絡代数、すなわち最大の C*-ノルムに関するC _c ( G )の完備化として定義される。

${\displaystyle \|f\|_{C^{*}}:=\sup _{\pi }\|\pi (f)\|,}$

ここで、π はヒルベルト空間上のC _c ( G )のすべての非退化 *-表現の範囲をとる。Gが離散的である場合、三角不等式から、そのような任意のπに対して、次の式が成り立つ。

${\displaystyle \|\pi (f)\|\leq \|f\|_{1},}$

したがって、規範は明確に定義されている。

定義から、G が離散群である場合、C* ( G ) は次の普遍的な性質を持つことがわかる。C [ G ] から何らかのB ( H ) (あるヒルベルト空間H上の有界作用素の C*-代数) への任意の *-準同型写像は、包含写像を介して分解される。

${\displaystyle \mathbf {C} [G]\hookrightarrow C_{\max }^{*}(G).}$

Gの群フォンノイマン環W* ( G )はC* ( G )の包絡フォンノイマン環である。

離散群Gに対して、 G が正規直交基底となるヒルベルト空間ℓ ² ( G )を考えることができる。Gは基底ベクトルを置換することによってℓ ² ( G ) に作用するため、複素群環C [ G ] をℓ ² ( G ) 上の有界作用素の代数の部分代数と同一視することができる。この部分代数の弱閉包NGはフォン・ノイマン代数である。

NGの中心は、共役類が有限であるGの要素によって記述できる。特に、Gの単位元がその性質を持つ唯一の群要素である場合（つまり、Gが無限共役類の性質を持つ場合）、 NGの中心は単位元の複素数の倍数のみで構成される。

NG が超有限型 II ₁因子と同型であるのは、Gが可算かつ可換であり、無限共役類の性質を持つ場合に限る。

• グラフ代数
• 発生代数
• 局所コンパクト群のヘッケ代数
• パス代数
• 群状代数
• ステレオタイプ代数
• ステレオタイプ群代数
• ホップ代数

• ラング、S. (2002).代数学. 大学院数学テキスト. スプリンガー. ISBN 978-1-4613-0041-0。
• Vinberg, E. (2003年4月10日).代数学入門. 大学院数学研究. 第 56巻. アメリカ数学会. doi : 10.1090/gsm/056 . ISBN 978-0-8218-3413-8。
• ディクスミエ、ジャック（1982）。C *-代数。ノースホランド。ISBN 978-0-444-86391-1。
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