ジョルダン作用素代数

数学において、ジョルダン作用素代数は、バナッハ空間と両立する構造を持つ実または複素ジョルダン代数である。係数が実数のとき、代数はジョルダン・バナッハ代数と呼ばれる。理論はJB 代数のサブクラスについてのみ広範囲に展開されてきた。これらの代数の公理は、Alfsen、Shultz、Størmer (1978) によって考案された。作用素ジョルダン積と作用素ノルムを持つ実または複素ヒルベルト空間上の自己随伴作用素の部分代数として具体的に実現できるものは、JC 代数と呼ばれる。1976 年にIrving Kaplanskyによって初めて示唆された複素ジョルダン作用素代数の公理は、反転を必要とし、JB* 代数またはジョルダン C* 代数と呼ばれる。フォン・ノイマン代数を、基礎となるバナッハ空間が別のバナッハ空間の双対であるC* 代数として抽象的に特徴付けるのと類推して、 JBW 代数の対応する定義が存在する。演算子ジョルダン積を持つ自己随伴演算子の超弱閉ジョルダン代数を使用して実現できるものは、 JW 代数と呼ばれる。自明な中心を持つ JBW 代数、いわゆるJBW 因子は、フォン・ノイマン因子によって分類される。例外的な 27 次元アルバート代数とスピン因子は別として、他のすべての JBW 因子は、フォン・ノイマン因子の自己随伴部分か、周期 2 *-反自己同型の下でのその不動点代数のいずれかに同型である。ジョルダン作用素代数は量子力学と複素幾何学に適用されており、ジョルダン代数を使用したKoecher の有界対称領域の記述は無限次元に拡張されている。

JC代数は、実または複素ヒルベルト空間上の自己随伴作用素の空間の実部分空間であり、作用素ジョルダン積a ∘ b = ⁠に関して閉じている。1/2⁠ ( ab + ba ) であり、演算子ノルムで閉じています。

JC代数は、複素ヒルベルト空間上の作用素の空間のノルム閉自己随伴部分空間であり、作用素ジョルダン積a ∘ b = ⁠に関して閉じている。1/2⁠ ( ab + ba ) であり、演算子ノルムで閉じています。

ジョルダン作用素代数は、複素ヒルベルト空間上の作用素の空間のノルム閉部分空間であり、ジョルダン積a ∘ b = ⁠に関して閉じている。1/2⁠ ( ab + ba ) であり、演算子ノルムで閉じている。^[1]

ジョーダン・バナッハ代数は、ノルムによってバナッハ空間となり、|| a ∘ b || ≤ || a ||⋅|| b || を満たす実ジョーダン代数です。

JB代数は、次の式を満たすジョーダン・バナッハ代数である。

${\displaystyle \displaystyle {\|a^{2}\|=\|a\|^{2},\,\,\,\|a^{2}\|\leq \|a^{2}+b^{2}\|.}}$

JB *代数またはジョルダンC*代数は、反転a↦a *とノルムを持つ複素ジョルダン代数であり、バナッハ空間となり、

• || a ∘ b || ≤ || a ||⋅|| b ||
• || * || = || ||は||
• ||{ a , a *, a }|| = || a || ³ここで、ジョルダン三重積は { a , b , c } = ( a ∘ b ) ∘ c + ( c ∘ b ) ∘ a − ( a ∘ c ) ∘ bで定義されます。

JW 代数は、弱作用素位相で閉じている複素ヒルベルト空間上の自己随伴作用素のジョルダン代数のジョルダン部分代数です。

JBW代数は、実バナッハ空間として、その前双対と呼ばれるバナッハ空間の双対である JB 代数です。^[2]前双対の線型関数の連続性の性質に関して、同等のより技術的な定義があり、正規関数と呼ばれます。これは通常、定義と、その結果として導かれる双対バナッハ空間としての抽象的な特徴付けとしてとらえられます。^[3]

• JB 代数 (以下で定義) 上の順序構造では、ノルムで制限された任意の増加演算子ネットには、最小の上限があるはずです。
• 正規関数は、増加する有界演算子ネット上で連続する関数です。正の正規関数は、正の演算子上で非負の関数です。
• すべての非ゼロ演算子に対して、その演算子上でゼロにならない正の正規関数が存在します。

• 単位 JB 代数が結合的である場合、その自然反転を伴う複素化は可換 C* 代数です。したがって、代数の指標の空間であるコンパクト ハウスドルフ空間Xに対して C( X )と同型です。
• スペクトル定理。aがJB 代数内の単一の演算子である場合、1 とaによって生成される閉じた部分代数は結合的である。これは、 a − λ1 が逆でない実数 λ の集合であるaのスペクトル上の連続した実数値関数と同一視できる。
• 単位 JB 代数の正の元は、[0,∞) に含まれるスペクトルを持つ元です。スペクトル定理により、それらは正方形の空間と一致し、閉じた凸錐を形成します。b ≥ 0 の場合、{ a , b , a } ≥ 0 です。
• JB代数は形式的に実ジョルダン代数である。項の二乗和がゼロであれば、各項はゼロである。有限次元では、JB代数はユークリッドジョルダン代数と同型である。^[4]
• JB 代数上のスペクトル半径は、JB 代数の公理も満たす同等のノルムを定義します。
• 単位 JB 代数上の状態は、f (1) = 1 かつfが正の錐上で非負であるような有界線形関数fです。状態空間は、弱*位相で閉じた凸集合です。極点は純粋状態と呼ばれます。aが与えられた場合、 | f ( a )| = || a || となる純粋状態fが存在します。
• ゲルファント・ナイマーク・シーガル構成: JB代数が、何らかの結合単位*-代数の係数を持つ自己随伴n行n列行列に同型である場合、それはJC代数と等長的に同型である。JC代数は、 Tが代数の演算子の積であるときはいつでも、( T + T *)/2が代数内に存在する^{という追加条件を満たす。 [5]}
• JB 代数は、JC 代数への非ゼロのジョルダン準同型を持たない場合、純粋に例外的です。純粋に例外的な JB 代数の準同型像として発生する唯一の単純な代数は、八元数上の 3 x 3 の自己随伴行列であるアルバート代数です。
• すべての JB 代数には、純粋に例外的な一意に決定された閉じたイデアルがあり、そのイデアルによる商は JC 代数になります。
• シルショフ・コーン定理。2つの要素によって生成されるJB代数はJC代数である。^[6]

JB* 代数の定義は、1976 年にアーヴィング カプランスキーがエディンバラでの講義で提案しました。JB* 代数の実部は常に JB 代数です。ライト (1977) は逆に、すべての JB 代数の複素化は JB* 代数であることを証明しました。JB* 代数は、無限次元の有界対称領域を研究するためのフレームワークとして広く使用されています。これは、マックス ケッチャーがユークリッド ジョルダン代数の複素化を使用して開発した有限次元の理論を一般化したものです。^[7]

• カプランスキー密度定理は、ヒルベルト空間上の自己随伴作用素の実単位ジョルダン代数に対して成り立ち、その代数は作用素ジョルダン積を持つ。特に、ジョルダン代数が弱作用素位相で閉じている場合と超弱作用素位相で閉じている場合とで同じである。2つの位相はジョルダン代数上で一致する。^[8]
• JBW代数の場合、正の正規関数の空間は、二次表現Q ( a ) b = { a , b , a }の下で不変です。fが正であれば、f∘Q ( a )も正です。
• JW代数M上の弱い位相は、半ノルム| f ( a )|によって定義されます。ここで、fは通常の状態です。強い位相は、半ノルム| f ( a ² )| ^1/2によって定義されます。二次表現とジョルダン積演算子L ( a ) b = a ∘ bは、弱い位相と強い位相の両方に対してM上の連続演算子です。
• JBW代数Mのべき等なpは射影と呼ばれます。pが射影である場合、 Q ( p ) Mは単位元pを持つJBW代数です。
• a がJBW 代数の任意の要素である場合、それが生成する最小の弱閉単位部分代数は結合的であり、したがって可換フォンノイマン代数の自己随伴部分である。特に、a は直交射影の線形結合によってノルムで近似できる。
• JBW 代数における射影は格子演算の下で閉じています。したがって、族p _{αに対して、} p ≥ p _αとなる最小の射影pと、 q ≤ p _αとなる最大の射影qが存在します。
• JBW 代数Mの中心は、Mのaに対してL ( z ) がL ( a )と可換となるようなすべてのzから構成されます。これは結合代数であり、アーベル フォン ノイマン代数の実部です。JBW 代数の中心がスカラー演算子から構成される場合、その代数は因子と呼ばれます。
• Aが JB 代数である場合、その 2 番目の双対A ** は JBW 代数です。通常の状態はA * の状態であり、 A上の状態と同一視できます。さらに、A ** はAによって生成される JBW 代数です。
• JB 代数は、実バナッハ空間としてバナッハ空間の双対である場合に限り、JBW 代数です。このバナッハ空間、つまりその前双対は、正の正規関数の差として定義される正規関数の空間です。これらは、弱い位相または強い位相に対して連続な関数です。結果として、弱い位相と強い位相は JBW 代数上で一致します。
• JBW 代数では、ジョルダン部分代数によって生成される JBW 代数はその弱閉包と一致します。さらに、カプランスキー密度定理の拡張が成り立ちます。つまり、部分代数の単位球は、それが生成する JBW 代数の単位球において弱稠密です。
• 富田・竹崎理論は、ハーゲルップとハンチェ＝オルセン（1984）によって、忠実な、つまり非ゼロの正の作用素に対して消えないJBW代数の通常状態に拡張された。この理論は、フォン・ノイマン代数の元の理論から演繹することができる。^[9]

M をJBW 因子とする。Mの内部自己同型は、 pが射影である周期 2 自己同型Q (1 – 2 p )によって生成されるものである。2 つの射影は、一方を他方に運ぶ内部自己同型がある場合に同等である。因子に 2 つの射影がある場合、そのうちの 1 つは常に他方の部分射影と同等である。それぞれが他方の部分射影と同等である場合、それらは同等である。

JBW 係数は、次のように相互に排他的な 3 つのタイプに分類できます。

• 最小射影がある場合、それはタイプ I です。 1 が1 ≤ n ≤ ∞に対してn 個の直交最小射影の和として表せる場合、それはタイプ I _nです。
• 極小射影は存在しないが、いくつかの固定された射影eの部分射影がモジュラー格子を形成する場合、つまり、p ≤ q は任意の射影r ≤ eに対して( p ∨ r ) ∧ q = p ∨ ( r ∧ q ) を意味する場合、タイプ II です。 e を1 とすることができる場合、タイプ II ₁です。それ以外の場合はタイプ II _≈です。
• 射影がモジュラー格子を形成しない場合はタイプIIIである。この場合、すべての非ゼロ射影は同等である。^[10]

富田・竹崎理論では、タイプIIIの場合を、 λ = 0のときのルベーグ空間上のエルゴードフロー（「重みの流れ」）という追加の不変量を伴うタイプIII _λ（0 ≤ λ ≤ 1）にさらに分類することができます。^[11]

• _{タイプI 1}のJBW因子は実数です。
• _{タイプI 2}のJBW因子はスピン因子です。Hを1より大きい次元の実ヒルベルト空間とします。内積( u⊕λ , v⊕μ )=( u , v )+λμ、積(u⊕λ)∘(v⊕μ)=(μu + λv ) ⊕[( u , v )+λμ]となるようにM = H⊕Rと設定します。演算子ノルム|| L ( a )||により、MはJBW因子であり、JW因子でもあります。
• _{タイプ I 3}の JBW 因子は、実数、複素数、四元数、または八元数の要素を持つ自己随伴 3 行 3 列の行列です。
• 4 ≤ n < ∞ の I _n型の JBW 因子は、実数、複素数、または四元数を要素とする自己随伴n行n列の行列です。
• _{タイプ I ∞}の JBW 因子は、無限次元の実数、複素数、または 4 元数ヒルベルト空間上の自己随伴作用素である。4 元数空間は、x _{i が}Hに含まれ、 Σ | x _i | ^{2 < ∞ であるすべてのシーケンス}x = ( x _i )として定義される。H値の内積は、 ( x , y ) = Σ ( y _i )* x _iで与えられる。基礎となる実内積は、 ( x , y ) _R = Re ( x , y ) で与えられる。したがって、タイプ I _∞の 4 元数 JBW 因子は、この実内積空間上の、 Hによる右乗算の作用と可換なすべての自己随伴作用素のジョルダン代数である。^[12]

_{タイプ I 2}およびタイプ I ₃以外の JBW 因子はすべて JW 因子です。つまり、弱作用素位相で閉じたヒルベルト空間上の自己随伴作用素のジョルダン代数として実現できます。タイプ I ₂またはタイプ I ₃以外のすべての JBW 因子は、フォン ノイマン代数の周期 2 *-反自己同型の不動点代数の自己随伴部分に同型です。特に、各 JBW 因子は、同じタイプのフォン ノイマン因子の自己随伴部分、または同じタイプのフォン ノイマン因子の周期 2 *-反自己同型の不動点代数の自己随伴部分に同型です。^[13]超有限因子、すなわちコンヌとハーゲルプによって完全に分類されたフォン・ノイマン因子のクラスに対して、周期2の*-反自己同型は因子の自己同型群における共役性まで分類されている。^[14]

• ジョーダン代数
• ユークリッドジョルダン代数

• アルフセン、EM;シュルツ、FW。 Størmer, E. (1978)、「A Gelfand-Neumark theorem for Jordan algebras」、Advances in Mathematics、28 : 11–56、doi : 10.1016/0001-8708(78)90044-0、hdl : 10852/43986
• ブレッチャー、デイビッド P. Wang, Zhenhua (2018)、「Jordan 作用素代数: 基本理論」、Mathematische Nachrichten、291 (11–12): 1629–1654、arXiv : 1705.00245、doi :10.1002/mana.201700178、S2CID  119166047
• ディクスミア、J. (1981)、フォン・ノイマン代数、アムステルダム-ニューヨーク：ノースホランド出版、ISBN 0-444-86308-7( Dixmier, J. (1957)、Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann、Gauthier-Villars の翻訳、フォン・ノイマン代数に関する最初の本。
• エフロス、EG; Størmer, E. (1967)、「自己随伴演算子のジョーダン代数」、Trans。アメール。数学。社会、127 (2): 313–316、土井: 10.1090/s0002-9947-1967-0206733-x、hdl : 10852/44991
• ファラウト、ジャック、コラーニ、アダム（1994）、対称円錐の解析、オックスフォード数学モノグラフ、クラレンドン・プレス、オックスフォード大学出版局、ニューヨーク、ISBN 0-19-853477-9、MR  1446489
• ジョルダーノ、ティエリー。Jones、Vaughan (1980)、「Antiautomorphismes involutifs du acteur hyperfini de type II ₁」、CR Acad.科学。パリ: A29–A31、Zbl  0428.46047
• Giordano, T. (1983a)、「Antiautomorphismes involutifs des fateurs de von Neumann injectifs. I」、J. Operator Theory、10 : 251–287
• Giordano, T. (1983b)、「Antiautomorphismes involutifs des fateurs de von Neumann injectifs. II」、J. Funct.アナル。、51 (3): 326–360、土井: 10.1016/0022-1236(83)90017-4
• Hanche-Olsen, H. (1983)、「JC 代数の構造とテンソル積について」、Can. J. Math.、35 (6): 1059–1074、doi :10.4153/cjm-1983-059-8、hdl : 10852/45065、S2CID  122028832
• ハーガーラップ、米国; Hanche-Olsen, H. (1984)、「ヨルダン代数のための富田-竹崎理論」、J. 作用素理論、11 : 343-364、Zbl  0567.46037
• ハンチェ・オルセン、H. Størmer, E. (1984)、Jordan 作用素代数、Monographs and Studies in Mathematics、vol. 21、ピットマン、ISBN 0273086197
• Størmer、Erling (1980)、「超有限因子における実際の構造」、Duke Math。 J.、47 : 145–153、土井:10.1215/S0012-7094-80-04711-0、Zbl  0462.46044
• アップマイヤー、H. (1985)、「対称バナッハ多様体とジョルダンC∗-代数」、ノースホランド数学研究、第104巻、ISBN 0444876510
• アップマイヤー、H. (1987)、「解析、作用素理論、量子力学におけるジョーダン代数」、CBMS 数学地域会議シリーズ、第 67 巻、アメリカ数学会、ISBN 082180717X
• ライト、JDM (1977)、「Jordan C∗-algebras」、ミシガン数学。 J.、24 : 291–302、土井: 10.1307/mmj/1029001946、Zbl  0384.46040