近似的に有限次元のC*-代数

任意の有限次元C*-環Aは、同型を除いて、以下の形式をとる。

${\displaystyle \oplus _{k}M_{n_{k}},}$

ここで、M _{i は}i × i行列の完全な行列代数を表す。

ユニタリ同値を除いて、ユニタリ*-準同型 Φ  : M _i → M _jは必然的に次の形式になります。

${\displaystyle \Phi (a)=a\otimes I_{r},}$

ここでr · i = jである。数rは Φ の重複度と呼ばれる。一般に、有限次元 C*- 代数間の単位的準同型は

${\displaystyle \Phi$ :\oplus _{1}^{s}M_{n_{k}}\rightarrow \oplus _{1}^{t}M_{m_{l}}}

は、ユニタリ同値を除いて、すべてのlに対してを満たす部分重複度( r _{l k} )のt × s行列によって指定される。

${\displaystyle \sum _{k}r_{lk}n_{k}=m_{l}.\;}$

非単位的な場合、等号は ≤ に置き換えられます。グラフ的には、Φ、等価的に ( r _{l k} ) は、ブラッテリ図で表すことができます。ブラッテリ図は、各n _kとm _lに対応するノードを持つ有向グラフであり、 n _kからm _lへの矢印の数は部分重複度r _lkです。

有限次元C*-環の同型類を対象とし、ユニタリ同値性を法とする*-準同型を射とする圏を考えます。上記の議論から、対象はNの要素を持つベクトルと見なすことができ、射は部分多重度行列となります。

AC*-代数がAFであるとは、それが有限次元C*-代数の列の直極限である場合をいう。

${\displaystyle A=\varinjlim \cdots \rightarrow A_{i}\,{\stackrel {\alpha _{i}}{\rightarrow }}A_{i+1}\rightarrow \cdots ,}$

ここで、各A _iは有限次元 C*-代数であり、連結写像α _iは *-準同型写像である。各α _iは単位元を持つと仮定する。AF 代数を指定する帰納的システムは一意ではない。常に部分列にドロップすることができる。連結写像を省略すると、A は次のように書くこともできる。

${\displaystyle A={\overline {\cup _{n}A_{n}}}.}$

Aのブラッテリ図は、{ α _i }のブラッテリ図によって自明な方法で形成されます。例えば、適切な下向きの矢印でノードが接続されたパスカル三角形は、AF 代数のブラッテリ図です。CAR代数のブラッテリ図は右に示されています。ノード間の 2 つの矢印は、各接続写像が多重度 2 の埋め込みであることを意味します。

${\displaystyle 1\rightrightarrows 2\rightrightarrows 4\rightrightarrows 8\rightrightarrows \dots }$

(CAR代数のブラッテリ図)

AF代数A = (∪ _n A _n ) ^{−の場合、} AのイデアルJ は∪ _n ( J ∩ A _n ) ⁻の形をとります。特に、J自体が AF代数です。A のブラッテリ図とノードのサブセットSが与えられた場合、 Sによって生成されるサブ図は、Aのイデアルを指定する帰納的システムを与えます。実際、すべてのイデアルはこのようにして生じます。

帰納的シーケンスに行列単位が存在するため、AF代数は次のような局所的な特徴を持ちます。C*-代数AがAFであるのは、 Aが分離可能であり、 Aの任意の有限部分集合が何らかの有限次元C*-部分代数に「ほぼ含まれる」場合のみです。

_{∪ n} A _nの射影は実際にはAの近似単位を形成します。

有限次元C*-代数を別の有限次元C*-代数で拡張すると、再び有限次元になることは明らかである。より一般的には、AF代数を別のAF代数で拡張すると、再びAFになる。^{[ 1 ]}

K理論群K₀はC*-環の不変量である_。これは位相的K理論に由来し、ある種の「次元関数」の像として機能する。AF環Aに対して、K₀ ( A )_は次のように定義できる。Mn(A)を、成分がAの要素であるn×n行列のC*-環とする。Mn(A)は、_Mn + 1 ₍ A )に標準的に、すなわち「_左上隅」_に埋め込むことができる。代数的直接極限を考える。

${\displaystyle M_{\infty }(A)=\varinjlim \cdots \rightarrow M_{n}(A)\rightarrow M_{n+1}(A)\rightarrow \cdots .}$

この代数における射影（自己共役冪等元）をP ( A ) で表す。2 つの要素pとqは、 M _∞ ( A )のある部分等長変換vに対してp = vv*かつq = v*vであるとき、マレー・フォン・ノイマン同値であるといい、 p ~ qと表記する。~ は同値関係であることは明らかである。同値関係の集合P ( A )/~ に対して、二項演算 + を次のように定義する。

${\displaystyle [p]+[q]=[p\oplus q]}$

ここで、⊕ はpとqに対応する 2 つの有限次元行列の直交直和を表します。pとqの代わりに任意の大きな次元の行列を選択しても、結果は同じになります。これにより、P ( A )/~は相殺特性を持つ半群になります。この半群をK ₀ ( A ) ⁺と表記します。グロタンディーク群の構成を実行すると、アーベル群K ₀ ( A ) が得られます。

K ₀ ( A ) は自然な順序構造を持ちます。p が q の部分射影と Murray-von Neumann 同値である場合、[ p ] ≤ [ q ] と言います。これにより、K 0 ( A )は_正の錐がK 0 ₍ A ) +^である順序群になります。

例えば、有限次元のC*-代数の場合

${\displaystyle A=\oplus _{k=1}^{m}M_{n_{k}},}$

1つは

${\displaystyle (K_{0}(A),K_{0}(A)^{+})=(\mathbb {Z} ^{m},\mathbb {Z} _{+}^{m}).}$

写像A ↦ K ₀ ( A ) の 2 つの重要な特徴は次のとおりです。

1. K ₀は（共変）関手である。AF 代数間の *-準同型 α  : A → Bは、群準同型α _*  : K ₀ ( A ) → K ₀ ( B ) を誘導する。特に、AとBがともに有限次元の場合、α _{* は}αの部分重複度行列と同一視できる。
2. K _{0 は}直接極限を尊重します。A = ∪ _n α _n ( A _n ) ⁻の場合、K ₀ ( A ) は直接極限 ∪ _n α _{n *} ( K ₀ ( A _n )) です。

M _∞ ( M _∞ ( A )) はM _∞ ( A )と同型である ため、K _{0 は}安定同型まで AF 代数を区別することしかできません_。たとえば、M ₂とM ₄は同型ではありませんが安定同型です。K ₀ ( M ₂ ) = K 0 ( M ₄ ) = Z です。

同型クラスを検出するには、より細かい不変量が必要です。AF代数Aに対して、 K ₀ ( A )のスケールをΓ( A )と定義します。これは、 Aにおける射影によって要素が表現される部分集合です。

${\displaystyle \Gamma (A)=\{[p]\,|\,p^{*}=p^{2}=p\in A\}.}$

Aが単位元 1 _Aと単位的である場合、K ₀要素 [1 _A ] は Γ( A )の最大要素であり、実際には、

${\displaystyle \Gamma (A)=\{x\in K_{0}(A)\,|\,0\leq x\leq [1_{A}]\}.}$

3つ組 ( K ₀ , K ₀ ⁺ , Γ( A )) はAの次元群と呼ばれます。A = M _sの場合、その次元群は ( Z , Z ⁺ , {1, 2,..., s })です。

次元群間の群準同型写像は、スケールを保存する場合に縮小写像と呼ばれる。2つの次元群は、それらの間に縮小群同型写像が存在する場合に同型であると言われる。

次元群はK ₀の基本的な特性を保持しています。

1. AF代数間の*-準同型写像 α  : A → Bは、実際には次元群上に縮小群準同型写像α _{*を誘導します。A}とBが両方とも有限次元で、それぞれの部分多重度行列ψに対応する場合、 α _* = ψとなるような、ユニタリ同値を除いて一意の*-準同型写像α  : A → Bが存在します。
2. A = ∪ _n α _n ( A _n ) ⁻の場合、 Aの次元群はA _nの次元群の直接極限です。

エリオットの定理によれば、次元群はAF代数の完全不変量であり、2つのAF代数AとBが同型であるのは、それらの次元群が同型である場合に限る。

エリオットの定理の証明を概略的に説明するには、2つの予備的な事実が必要である。1つ目は、有限次元C*-環に関する上記の議論を要約したものである。

補題 2 つの有限次元 C*-代数AとBおよび縮小準同型ψ : K ₀ ( A ) → K ₀ ( B ) に対して、 φ _* = ψとなるような*-準同型φ : A → B が存在し、φはユニタリ同値を除いて一意である。

_{この補題は、}Bが AFの場合にも拡張できる。K 0のレベルにおける写像ψ は、代数のレベルで、帰納的システムの有限段階に「戻される」ことができる。

補題A を有限次元とし、 B をAF、B = (∪ _n B _n ) ⁻とする。β _{m を}B _mからBへの標準準同型とする。このとき、任意の縮小準同型ψ : K ₀ ( A ) → K ₀ ( B ) に対して、 β _m* φ _* = ψとなるような*-準同型φ : A → B _mが存在し、φ はBにおけるユニタリ同値を除いて一意である。

補題の証明は、K ₀ ( A ) が有限生成であること、そしてK _{0 が}直接極限を尊重することから、K ₀ ( B ) = ∪ _n β _n* K ₀ ( B _n ) という単純な観察に基づいています。

定理（エリオット） 2つのAF代数AとBが同型であるのは、それらの次元群（K ₀ ( A ), K ₀ ⁺ ( A ), Γ( A )）と（K ₀ ( B ), K ₀ ⁺ ( B ), Γ( B )）が同型である場合に限る。

証明の核心は、エリオットの絡み合い論証として知られるようになった。次元群間の同型写像が与えられた場合、第2補題を適用することにより、 AとBの直接系間の可換三角形の図式が構成される。

右側の可換図式に対応する、定理の非自明な部分の証明の概略を示す。

Φ: ( K ₀ ( A ), K ₀ ⁺ ( A ), Γ( A )) → ( K ₀ ( B ), K ₀ ⁺ ( B ), Γ( B )) を次元群同型とする。

1. 写像 Φ α _1*  : K ₀ ( A ₁ ) → K ₀ ( B )の合成を考えます。前の補題により、右側の最初の図が可換となるようなB ₁と *-準同型φ ₁ : A ₁ → B _{1が存在します。}
2. β _1* Φ ⁻¹に同じ議論を適用すると、2 番目の図が何らかのA ₂に対して可換であることが示されます。
3. 図1と図2を比較すると、図3が得られる。
4. 直接極限の性質を利用し、必要に応じてA _{2 をさらに下に移動させると、} K ₀のレベルで可換三角形である図 4 が得られます。
5. 有限次元代数においては、2つの*-準同型写像がK ₀上に同じ写像を誘導するのは、それらがユニタリ同値である場合に限る。したがって、必要に応じてψ ₁とユニタリ共役を合成することで、代数のレベルで可換三角形が得られる。
6. 帰納法により、最後の図に示すように、可換三角形の図が得られます。写像φ : A → Bは数列 { φ _n } の直極限です。ψ : B → Aは数列 { ψ _n } の直極限です。φとψは互いに逆元であることは明らかです。したがって、AとBは同型です。

さらに、 K ₀のレベルでは、隣接する図式は各kに対して可換である。写像の直接極限の一意性により、φ _* = Φ となる。

AF代数の次元群はリース群である。エフロス・ハンデルマン・シェンの定理によれば、その逆も成り立つ。与えられたスケールを持つすべてのリース群は、何らかのAF代数の次元群として現れる。これにより、AF代数に対する分類関手K₀の値域が特定され_、分類が完了する。

リース・グループ

半順序を持つ群Gを順序群と呼ぶ。0 以上の要素の集合G ^{+ を}Gの正錐と呼ぶ。k · g ∈ G ^+ならばg ∈ G ⁺ であるとき、 Gは非穿孔群であると言う。

次の性質はリース分解性質と呼ばれます。x、y i ≥ 0 かつ x ≤ Σ y i ならば、x ₌ Σ x iかつ_各iに対してx _i ≤ y iと_なるような_x i ≥ 0が_存在します。

リース群（G、G ⁺）は、穴が開いておらず、リース分解特性を持つ順序群です。

Aが有限次元の場合、( K ₀ , K ₀ ⁺ ) はリース群であり、Z ^kは要素ごとの順序が与えられていることは明らかです。リース群の 2 つの性質は、直接極限上の順序構造が帰納系から得られると仮定すると、直接極限によって保存されます。したがって、( K ₀ , K ₀ ⁺ ) は AF 代数Aのリース群です。

エフロス・ハンデルマン・シェンの定理への重要なステップは、すべてのリース群が、それぞれが標準的な順序構造を持つZ ^kの直接極限であるという事実です。これは、文献でシェンの基準と呼ばれることもある、次の技術的な補題に基づいています。

補題( G , G ⁺ ) をリース群とし、ϕ : ( Z ^k , Z ^k ₊ ) → ( G , G ^{+ ) を正準同型とする。このとき、隣の図に示すように、ker(} σ ) = ker( ϕ )となる写像σとψが存在する。

系すべてのリース群 ( G , G ⁺ ) は直接極限として表現できる

${\displaystyle (G,G^{+})=\varinjlim (\mathbb {Z} ^{n_{k}},\mathbb {Z} _{+}^{n_{k}}),}$

右辺の有向系におけるすべての連結準同型写像は正である。