ボロメオリング

ボロメオリング
L6a4
交差点番号	6
双曲体積	7.327724753
スティックNo.	9
コンウェイ記法	.1
A-B表記	63 2
シスルウェイト	L6a4
他の
交互、双曲線

数学において、ボロミアン環^[a]は、3次元空間にある3つの単純な閉曲線であり、位相的につながっていて互いに分離することはできませんが、3つのうち1つを切断または除去すると、2つの結び目がなくリンクされていないループに分解されます。最も一般的には、これらの環は平面上にベン図のパターンで3つの円として描かれ、交差する点で交互に上下に交差します。他の曲線の3つ組は、この図に描かれた曲線と位相的に同等である限り、ボロミアン環を形成すると言われています。

ボロミアンリングは、円形のリングを紋章の要素として使用したイタリアのボロメオ家にちなんで名付けられましたが、ボロミアンリングに基づいたデザインは、ノルウェー人や日本を含む多くの文化で使用されてきました。キリスト教の象徴では三位一体の印として、現代の商業ではバランタインビールのロゴとして使用されており、別名バランタインリングと呼ばれています。ボロミアンリングの物理的な例は、連結したDNAや他の分子から作られており、エフィモフ状態とボロミアン核に類似物があり、どちらも3つの成分が互いに結合しているが、そのうちの2つは結合していない。

幾何学的には、ボロミアン環は連結した楕円、または（正二十面体の頂点を使用して）連結した黄金長方形によって実現できます。3次元空間で円を使用してボロミアン環を実現することは不可能ですが、空間内の任意の非円形の単純閉曲線のコピーによって実現できると推測されています。結び目理論では、ボロミアン環が連結されていることは、フォックスのn色を数えることによって証明できます。連結としては、ブルニアン、交代、代数、双曲型です。算術位相幾何学では、素数の特定の3つ組がボロミアン環と類似の連結特性を持っています。

ボロミアン環を定義する数学の出版物では、リンク図、つまり平面上の曲線の描画で、各交差点でどの曲線または曲線の一部が上または下を通過するかを示すためにマークが付けられている。このような描画は、平面を空間に埋め込み、その上に描かれた曲線を図で示されているように各交差点で埋め込まれた平面の上または下に変形することにより、3 次元空間内の曲線のシステムに変換できます。ボロミアン環の一般的な図は、正三角形の頂点を中心とする3 つの等しい円で構成され、それらの内部が共通の交点を持つほど十分に接近しています (ベン図や、ルーローの三角形を定義するために使用される 3 つの円など)。各円の周りを順番に見ると、交差は上下に交互になります。 ^{[2] [3] [4]} 3つの円の上下関係を記述する別の同等の方法は、各円が2番目の円との交差点の両方で上を通過し、3番目の円との交差点の両方で下を通過することです。^[5] 2つのリンクは、一方が他方に向かう空間の連続的な変形（周囲の同位体）がある場合に同等であると言われ、ボロミアンリングは、この意味でこのリンクの標準図と同等なリンクを指す場合があります。^[4]

『結び目アトラス』では、ボロミアン環は「L6a4」というコードで表記されている。この表記は、6つの交差と交互の図式を持つリンクであり、モーウェン・シスルスウェイトが最大13の交差を持つすべての素数リンクのリストで特定した5つの交互6交差リンクのうちの4番目であることを意味する。 ^{[6]デール・ロルフセンの1976年の著書『}結び目とリンク』の結び目とリンクの表では、1920年代のアレクサンダーとブリッグスによる以前のリストを拡張し、ボロミアン環にアレクサンダー・ブリッグス表記「6³
₂"、これはリストされる3つの6交差3成分リンクのうちの2番目であることを意味します。^{[6] [7]ボロミアン環の}コンウェイ表記法「.1」は、このリンクの標準的なリンク図の省略形です。^[8]

「ボロミアン・リング」という名前は、北イタリアの貴族ボロメオ家の紋章に、3つの連結した円の形をしたこのリングが使われていたことに由来する。[9] [10] この連結自体はもっと古く、7世紀に遡る北欧の石像に、 3つの連結^した正三角形で辺が平行なヴァルクヌートの形で現れている。[ 11 ]日本の大神神社も、ボロミアン・リングのモチーフで飾られており、そのモチーフは従来の円形である。[2] インドの6世紀の^マルンディーシュワ^ラ寺院の石柱には、3つの正三角形が互いに回転して、正エニアグラムを形成している。ボロミアン・リングと同様に、この3つの三角形は連結されており、ペアで連結されているわけではないが、^[12]この交差パターンは、ボロミアン・リングとは異なる連結を表している。^[13]

ボロミアン環は、統一の強さを示すために様々な文脈で使われてきた。^[14]特に、このデザインを三位一体の象徴として使う人もいる。^[3]三位一体の統一とラベル付けされたボロミアン環を描いた13世紀のフランスの写本は1940年代の火災で失われたが、1843年にアドルフ・ナポレオン・ディドロンによって本に再現された。ディドロンらは、ダンテの『天国篇』第33歌で三位一体が3つの等しい円として描かれているのは、同様のイメージに触発されたのではないかと推測しているが、ダンテはこれらの円の幾何学的配置については詳しく述べていない。^{[15] [16]}精神分析医ジャック・ラカンは 、人間の主観性の位相幾何学のモデルとしてボロミアン環にインスピレーションを見出し、各環はラカンの現実の基本的な要素（「現実」、「想像」、「象徴」）を表している。^[17]

このリングはバランタインビールのロゴとして使われており、現在もバランタインブランドのビールで使われており、現在のブランド所有者であるパブストブリューイングカンパニーが販売している。^{[18] [19]}このため、「バランタインリング」と呼ばれることもある。^{[3] [18]}

ボロミアン環を扱った最初の結び目理論の著作は、ピーター・テイトが1876年にまとめた結び目とリンクのカタログである。^[3]娯楽数学では、ボロミアン環はマーティン・ガードナーによって普及した。ガードナーは、1961年9月のサイエンティフィック・アメリカン誌のコラム「数学ゲーム」でボロミアン環のザイフェルト面を取り上げている。^[19] 2006年、国際数学連合は、スペインのマドリードで開催された第25回国際数学者会議で、ボロミアン環に基づいた新しいロゴを使用することを決定した。 ^[2]

中世およびルネサンス期のヨーロッパでは、多くの視覚的記号が、ボロメオ環が（従来の2次元の描写で）絡み合って表示されるのと同じように、3つの要素が絡み合って構成されているが、個々の要素は閉じたループではない。そのようなシンボルの例には、スノルデレフの石の角^[20]やポワティエのディアナの三日月^[3]がある。

いくつかの結び目理論のリンクには複数のボロミアン環構成が含まれています。このタイプの5つのループのリンクの1つは、プリンキピア・ディスコルディアの描写に基づいて、ディスコルディアニズムのシンボルとして使用されます。^[21]

結び目理論では、ボロミアン環はブルニアンリンクの簡単な例である。ブルニアンリンクは分離できないが、構成要素の1つが取り除かれるとすぐに、結び目のない別々のループに分解される。ブルニアンリンクは無数に存在し、3曲線ブルニアンリンクも無数に存在するが、その中でボロミアン環が最も単純である。^{[13] [22]}

ボロミアン環が連結されていることを確認する方法はいくつかあります。1 つは、フォックスのn色付けを使用することです。これは、連結図の弧をn を法とする整数で色付けし、各交差点で、下交差の 2 つの色の平均 ( nを法とする) が上交差の弧の色と同じになるようにし、少なくとも 2 つの色を使用するようにします。これらの条件を満たす色の数は、連結に選択した図とは無関係な結び目不変量です。3 つのコンポーネントを持つ単純な連結には、各コンポーネントに独立して色を選択し、1 色のみを使用する色付けを破棄することで、標準図から取得される色付けがあります。一方、ボロミアン環の標準図では、同じ弧のペアが 2 つの下交差で交わるため、それらを横切る弧は互いに同じ色になります。このことから、交差条件を満たす色付けのみが、複数の色を使用する条件に違反していることがわかります。自明なリンクには多くの有効な彩色があり、ボロミアン環にはそれがないので、それらは同値ではない。^{[4] [23]}${\displaystyle n^{3}-n}$${\displaystyle n}$

ボロミアン環は交代リンクであり、その従来のリンク図では、曲線に沿って順番に各曲線の上と下を交互に通過する交差がある。また、ボロミアン環は代数リンクであり、コンウェイ球面によって2-タングルに分解できるリンクである。ボロミアン環は、交代的かつ代数的な図を持たない最も単純な交代代数リンクである。^[24]テイト予想から、ボロミアン環の交差数（リンク図の中で最も交差が少ない）は、交代図の交差数である6であることが分かる。 ^[4]

ボロミアン環は典型的には、その環が図面の平面内の円に投影されるように描かれるが、三次元の円形ボロミアン環は不可能なオブジェクトである。すなわち、三次元空間内の円からボロミアン環を形成することは不可能である。^[4]より一般的には、マイケル・H・フリードマンとリチャード・スコラ（1987）は、四次元双曲幾何学を用いて、ブルニアン・リンクが正確に円形になることはないことを証明した。 ^{[25]従来のボロミアン配置の三つの環については、}リンク図を考えればこれがわかる。二つの円が二つの交差点で接していると仮定すると、それらは平面か球面のいずれかにある。どちらの場合でも、三番目の円はこの平面または球面を四回通過しなければならないが、その中に入ることは不可能である。^[26]ヘルゲ・トヴェルベリによる円形実現の不可能性に関するもう一つの議論では、反転幾何学を用いて任意の3つの円のうちの1つが直線になるように変換し、他の2つの円がその直線とリンクしてボロミアン環を形成しないと主張しやすくしている。^[27]

しかし、ボロミアン リングは楕円を使って実現できます。^{[2]これらは、}任意の小さな 偏心を持つことができます。つまり、その形状がどれだけ円形に近いかに関係なく、完全な円形でない限り、適切に配置すればボロミアン リンクを形成できます。ボロミアン リングを 3 つの互いに垂直な黄金長方形で実現することは、正二十面体の3 つの反対側の辺のペアを接続することによって実現できます。 ^[2]ユークリッド空間内の3 つの結び目のない多角形は、適切なスケーリング変換の後、組み合わせてボロミアン リングを形成できます。3 つの多角形がすべて平面である場合、スケーリングは必要ありません。^[28]特に、ボロミアン リングは 3 つの三角形で実現できるため、各ループの最小辺数であるボロミアン リングのスティック数は9 です。 ^[29]

より一般的には、マシュー・クックは、空間内の結び目のない単純な閉曲線 3 つ (すべて円ではない) は、スケーリングなしで組み合わせてボロミアン環を形成できると予想しました。ジェイソン・カンタレッラが反例の可能性を示した後、ヒュー・ネルソン・ハワードは、すべて円ではない任意の 3 つの平面曲線に適用できるようにこの予想を弱めました。一方、3 つのリンクを持つブルニアンリンクは無限にありますが、ボロミアン環は 3 つの凸曲線から形成できる唯一のものです。^[28]

結び目理論では、結び目またはリンクのロープの長さは、それを実現できる半径 1 の柔軟なロープの最短の長さです。数学的には、そのような実現は、半径 1 の管状近傍が自己交差を回避する滑らかな曲線で記述できます。ボロミアン環のロープの長さの最小値は証明されていませんが、達成された最小値は 2 葉の平面曲線の 3 つのコピーによって実現されています。^{[2] [30]}これは、半径 2 の円弧4 つで構成された、以前の最小ロープの長さの候補に似ていますが、 ^[31]その形状からわずかに変更されており、楕円積分で定義された 42 個の滑らかな部分で構成されているため、区分円形の実現よりも 1 パーセント未満短くなっています。ロープの長さを最小化すると推測されるこの実現は、国際数学連合のロゴに使用されました。その長さは ですが、長さの最も証明された下限は です。^{[2] [30]}${\displaystyle \approx 58.006}$${\displaystyle 12\pi \approx 37.699}$

ロープの長さの離散類似体、整数格子の辺のみを使った最短表現では、ボロミアン環の最小の長さはちょうど である。これは、黄金比の長方形による表現が正二十面体に内接するのと同じように、ジェッセン二十面体に内接する3つの整数長方形を使った表現の長さである。^[32]${\displaystyle 36}$${\displaystyle 2\times 4}$

ボロミアン環は双曲的リンクである。ボロミアン環を囲む空間（リンク補集合）は有限体積の完全な双曲計量を許容する。双曲的リンクは現在では豊富であると考えられているが、ボロミアン環は1970年代に双曲的であることが証明された最も初期の例の1つであり、 ^{[33] [34]}このリンク補集合は1991年にジオメトリセンターによって制作されたビデオ「Not Knot」の中心的な例であった。^[35]

双曲多様体は標準的な方法で双曲多面体の接着に分解することができ（エプスタイン・ペナー分解）、ボロミアン補集合の場合、この分解は2つの理想的な 正八面体で構成されます。^{[34] [36]}ボロミアン補集合の体積は、ロバチェフスキー関数、カタラン定数です。^[36]ボロミアン環の補集合は、すべての閉じた3次元多様体がこの空間上の分岐被覆であるという意味で普遍的です。^[37]${\displaystyle 16\Lambda (\pi /4)=8G\approx 7.32772\dots }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle G}$

算術位相幾何学では、結び目と素数の間には、素数間のつながりを考える類似点がある。素数の三つ組(13、61、937)は、2 を法としてつながっている (レデイ記号は -1) が、2 を法として互いにつながっていない (ルジャンドル記号はすべて 1)。そのため、これらの素数は「2 を法とする真ボロミアン三つ組」^[38]または「2 を法とするボロミアン素数」^{[39]と呼ばれている。}

モンキーズフィストノットは、ほとんどの場合3層ではあるが、本質的にはボロミアンリングの3次元表現である。^[41]彫刻家のジョン・ロビンソンは、金属板で作られた3つの正三角形を連結してボロミアンリングを形成し、ヴァルクヌートの3次元バージョンに似た芸術作品を制作した。^{[13] [29]}折りたたみ式の木製三脚の一般的なデザインは、1本の木材から彫られた3つのピースで構成され、各ピースは2本の木材（三脚の脚と上側）で構成され、ピースの中央の細長い穴を囲む2つの木材セグメントで接続されています。3つのピースのうちのもう1つがこれらの穴のそれぞれを通り、3つのピースをボロミアンリングパターンで連結します。この形状の三脚は、インドまたはアフリカの手工芸品に由来すると言われています。^{[42] [43]}

化学において、分子ボロミアン環は、機械的に連結された分子構造であるボロミアン環の分子版である。1997年、ニューヨーク大学の生物学者チェンデ・マオと同僚らは、 DNAから環のセットを構築することに成功した。^[44] 2003年、カリフォルニア大学ロサンゼルス校の化学者 フレイザー・ストッダートと同僚らは、配位化学を利用して、18の成分から1つのステップで環のセットを構築した。^[40] ボロミアン環構造は、チオラート配位子の表面層で保護された貴金属クラスターを記述するために使用されている。^{[45]ボロミアンネットワークのライブラリは、}ジュゼッペ・レスナティと同僚らによって、ハロゲン結合駆動型自己組織化を介して設計合成された。^[46] 3つの不等環からなる分子ボロミアン環にアクセスするために、ジェイ・S・シーゲルと同僚らは段階的な合成を提案した。^[47]

物理学では、ボロミアンリングの量子力学的類似物はハロー状態またはエフィモフ状態と呼ばれ、対になって結合していない3つの結合粒子で構成されています。このような状態の存在は、物理学者ヴィタリー・エフィモフによって1970年に予測され、2006年以降に行われた複数の実験で確認されました。^{[48] [49]}この現象は、対になると不安定になる3つの粒子群からなる安定した原子核であるボロミアン核と密接に関連しています。 ^[50]量子情報理論におけるボロミアンリングの別の類似物は、グリーンバーガー・ホーン・ツァイリンガー状態における3つの量子ビットのエンタングルメントです。^[14]

ウィキメディア・コモンズには、ボロミアン・リングに関連するメディアがあります。

• ラム、エブリン（2016 年 9 月 30 日）、「私のお気に入りの空間のいくつか：ボロメオ環」、ルーツ オブ ユニティ、サイエンティフィック アメリカン
• ボロメオのオリンピックリング（ブレイディ・ハラン、2012年）、ボロメオのリボン（時枝正、2016年）、ネオンノットとボロメオのビールリング（クリフォード・ストール、2018年）、Numberphile
• ボロミアン環、国際数学連合