双曲体積

数学の結び目理論の分野では、双曲的リンクの双曲的体積は、リンクの補集合の完全な双曲的計量に対する体積である。体積は必然的に有限の実数であり、リンクの位相不変量である。 ^{[1]リンク不変量として、これは}ウィリアム・サーストンの幾何化予想に関連して初めて研究された。^[2]

結び目とリンクの不変量

双曲的リンクとは、 3次元球面上のリンクであり、その補集合（3次元球面からリンクを取り除いた空間）に一定の負の曲率の完全リーマン計量を与えることができ、双曲的3次元多様体の構造、つまり自由かつ不連続に作用する群による双曲的空間の商を与える。リンクの成分は3次元多様体の尖端になり、多様体自体は有限の体積を持つ。モストウの剛性により、リンクの補集合が双曲的構造を持つ場合、この構造は一意に決定され、構造の幾何学的不変量はリンクの位相的不変量でもある。特に、補集合の双曲的体積は結び目不変量である。これをすべての結び目またはリンクに対して明確に定義するために、非双曲的結び目またはリンクの双曲的体積はゼロと定義されることが多い。

与えられた体積に対して、双曲的結び目の数は有限個しかありません。^[2]双曲的結び目の変異体は同じ体積を持ちます。^[3]そのため、等しい体積の例をでっち上げることは可能です。実際、等しい体積を持つ異なる結び目の任意の大きな有限集合が存在します。^{[2]実際には、双曲的体積は結び目を区別するのに非常に効果的であることが証明されており、}結び目の表作成における大規模な取り組みの一部で利用されています。ジェフリー・ウィークスのコンピュータプログラムSnapPeaは、リンクの双曲的体積を計算するために使用される普遍的なツールです。^[1]

任意の多様体

より一般的には、双曲的体積は任意の3次元双曲多様体に対して定義できます。ウィークス多様体は、任意の閉多様体（リンク補多様体とは異なり、尖点を持たない多様体）の中で最小の体積を持ちます。その体積は約0.9427です。^[5]

サーストンとヨルゲンセンは、3次元多様体の双曲体積である実数の集合は整列しており、その順序型は $ω ω$ であることを証明した。^[6]この体積集合の最小の極限点は、 8の字結び目の結び目の補集合で与えられ、^{[7]極限点の最小の極限点は、}ホワイトヘッドリンクの補集合で与えられる。^[8]

参考文献

^ ab アダムス、コリン; ヒルデブランド、マーティン;ウィークス、ジェフリー(1991)、「結び目とリンクの双曲的不変量」、アメリカ数学会誌、326 (1): 1–56、doi : 10.2307/2001854、MR 0994161。
^ abc Wielenberg, Norbert J. (1981)、「基本多面体を共有する双曲型 3 次元多様体」、リーマン面と関連トピック: 1978 年ストーニーブルック会議議事録 (ニューヨーク州立大学、ストーニーブルック、NY、1978 年)、Ann. of Math. Stud.、vol. 97、プリンストン、NJ: プリンストン大学出版局、pp. 505–513、MR 0624835。
^ルベルマン、ダニエル (1987)、「 S ³における結び目の変異と体積」、Inventiones Mathematicae、90 (1): 189–215、Bibcode :1987InMat..90..189R、doi :10.1007/BF01389038、MR 0906585。
^ ab William Thurston (2002年3月)、「7. 体積の計算」、The Geometry and Topology of Three-Manifolds、p. 165、 2020年7月27日のオリジナル(PDF)からアーカイブ、 2020年10月19日取得
^ ガバイ、デイビッド; マイヤーホフ、ロバート; ミリー、ピーター (2009)、「最小体積尖頭双曲型 3 次元多様体」、アメリカ数学会誌、22 (4): 1157–1215、arXiv : 0705.4325、Bibcode :2009JAMS...22.1157G、doi :10.1090/S0894-0347-09-00639-0、MR 2525782。
^ ノイマン、ウォルター D.; ザギエ、ドン (1985)、「双曲型 3 次元多様体の体積」、トポロジー、24 (3): 307–332、doi : 10.1016/0040-9383(85)90004-7、MR 0815482。
^ 曹, チュン; マイヤーホフ, G. ロバート (2001)、「最小体積の有向尖頭双曲型 3 次元多様体」、Inventions Mathematicae、146 (3): 451–478、doi :10.1007/s002220100167、MR 1869847
^ Agol, Ian (2010)、「最小体積有向双曲型2尖端3多様体」、アメリカ数学会紀要、138 (10): 3723–3732、arXiv : 0804.0043、doi : 10.1090/S0002-9939-10-10364-5、MR 2661571

外部リンク

「双曲体積」、結び目アトラス。

[ahw-1] アダムス、コリン; ヒルデブランド、マーティン;ウィークス、ジェフリー(1991)、「結び目とリンクの双曲的不変量」、アメリカ数学会誌、326 (1): 1–56、doi : 10.2307/2001854、MR 0994161。

[w-2] Wielenberg, Norbert J. (1981)、「基本多面体を共有する双曲型 3 次元多様体」、リーマン面と関連トピック: 1978 年ストーニーブルック会議議事録 (ニューヨーク州立大学、ストーニーブルック、NY、1978 年)、Ann. of Math. Stud.、vol. 97、プリンストン、NJ: プリンストン大学出版局、pp. 505–513、MR 0624835。

[3] ^ルベルマン、ダニエル (1987)、「 S ³における結び目の変異と体積」、Inventiones Mathematicae、90 (1): 189–215、Bibcode :1987InMat..90..189R、doi :10.1007/BF01389038、MR 0906585。

[Thurston-4] William Thurston (2002年3月)、「7. 体積の計算」、The Geometry and Topology of Three-Manifolds、p. 165、 2020年7月27日のオリジナル(PDF)からアーカイブ、 2020年10月19日取得

[5] ガバイ、デイビッド; マイヤーホフ、ロバート; ミリー、ピーター (2009)、「最小体積尖頭双曲型 3 次元多様体」、アメリカ数学会誌、22 (4): 1157–1215、arXiv : 0705.4325、Bibcode :2009JAMS...22.1157G、doi :10.1090/S0894-0347-09-00639-0、MR 2525782。

[6] ノイマン、ウォルター D.; ザギエ、ドン (1985)、「双曲型 3 次元多様体の体積」、トポロジー、24 (3): 307–332、doi : 10.1016/0040-9383(85)90004-7、MR 0815482。

[7] 曹, チュン; マイヤーホフ, G. ロバート (2001)、「最小体積の有向尖頭双曲型 3 次元多様体」、Inventions Mathematicae、146 (3): 451–478、doi :10.1007/s002220100167、MR 1869847

[8] Agol, Ian (2010)、「最小体積有向双曲型2尖端3多様体」、アメリカ数学会紀要、138 (10): 3723–3732、arXiv : 0804.0043、doi : 10.1090/S0002-9939-10-10364-5、MR 2661571