枝分かれした被覆

数学において、分岐被覆とは、小さな集合を除いて 被覆写像とほぼ等しい写像である。

位相幾何学では、分岐集合と呼ばれる、どこにも稠密でない集合を除くあらゆる場所を覆う写像である写像は、分岐被覆と呼ばれます。例としては、円のくさびから単一の円への写像が挙げられます。この場合、写像は各円上の同相写像となります。

代数幾何学において、分岐被覆という用語は、代数多様体から別の代数多様体への射を 記述するために使用されます。2つの次元は同じで、の典型的なファイバーは次元 0 です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle f}$

その場合、に稠密なの開集合（ザリスキ位相の場合）が存在し、から への （つまり からへの）制限は非分岐 となる。^{[説明が必要]}文脈に応じて、これを複素数上の強位相の局所同相写像、または一般のエタール射（平坦性と分離性に関するやや強い仮説の下で）と見なすことができる。したがって、一般的には、このような射は位相的な意味での被覆空間に似ている。たとえば、と が両方ともコンパクトなリーマン面である場合、 が正則かつ定数でないことだけが必要であり、の点の有限集合が存在し、その外側では正直な被覆が見つかる。 ${\displaystyle W'}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle f}$${\displaystyle W'}$${\displaystyle V'=f^{-1}(W')}$${\displaystyle W'}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle f}$${\displaystyle P}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle V'\to W'}$。

上の例外的な点の集合は分岐軌跡と呼ばれます（つまり、これは最大の開集合 の補集合です）。一般にモノドロミーは被覆のシートに作用する 基本群に従って発生します（この位相的な描像は、一般の基本体の場合にも正確に表すことができます）。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle W'}$${\displaystyle W'}$

分岐被覆はクンマー拡大、すなわち関数体の代数拡大として簡単に構成できます。超楕円曲線は典型的な例です。

分岐していない被覆は、空の分岐部位の発生です。

曲線の射影は分岐被覆の多くの例を提供する。例えば、Cを次の式の 楕円曲線とする。

${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-2)=0.}$

Cのx軸への射影は 分岐被覆であり、分岐軌跡は次のように表される。

${\displaystyle x(x-1)(x-2)=0.}$

これは、 xのこれら 3 つの値に対してファイバーが二重点であるのに対し、 xの他の値に対してはファイバーが 2 つの異なる点 (代数的に閉じた体上) で構成されるためです。${\displaystyle y^{2}=0,}$

この射影は関数体の2次の代数的拡張を誘導する。また、基礎となる可換環の分数体を取ると、射影が得られる。

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\to \mathbb {C} (x)[y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))}$

したがって、この射影は次数 2 の分岐被覆です。これを均質化して、射影直線に対応する射影楕円曲線の次数 2 の分岐被覆を構築できます。

前の例は、次のようにして任意の代数平面曲線に一般化できます。 C を方程式f ( x , y ) = 0で定義される平面曲線とします。ここで、 fは2 つの不定元における分離可能かつ既約な多項式 です。 n がyにおけるfの次数である場合、ファイバーは、有限個のx値を除いて、 n 個の異なる点で構成されます。したがって、この射影は次数nの分岐被覆です。

xの例外的な値は、 fにおけるの係数の根と、 yに関するfの判別式の根です。 ${\displaystyle y^{n}}$

判別式の根r上には、少なくとも分岐点が 1 つあり、これは臨界点または特異点のいずれかです。rがfにおけるの係数の根でもある場合、この分岐点は「無限大」にあります。 ${\displaystyle y^{n}}$

fにおけるの係数の根s上では、曲線C は無限の枝を持ち、 sにおけるファイバーはn点未満になります。ただし、Cとx軸の射影完備化に射影を拡張し、s が判別式の根でない場合は、射影はsの近傍を覆うものになります。 ${\displaystyle y^{n}}$

この射影がn次の分岐被覆であるという事実は、関数体を考慮することによってもわかる。実際、この射影はn次の体拡大に対応する。

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\to \mathbb {C} (x)[y]/f(x,y).}$

分岐度を変えた直線の分岐被覆も一般化できる。次の形の多項式を考える。

${\displaystyle f(x,y)=g(x)}$

異なる点を選択すると、 の消失軌跡によって与えられる繊維は変化します。 の因数分解における線形項の 1 つの重複度が 1 増加する点では、分岐が存在します。 ${\displaystyle x=\alpha }$${\displaystyle f(\alpha ,y)-g(\alpha )}$${\displaystyle f(\alpha ,y)-g(\alpha )}$

曲線の射影は、スキームの分岐被覆の多くの例を提供する。例えば、アフィン楕円曲線から直線への射影は、

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [x,y]}/{(y^{2}-x(x-1)(x-2)}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x])}$

は、分岐軌跡が次のように与えられる分岐被覆である。

${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [x]}/{(x(x-1)(x-2))}\right)}$

これは、ファイバーのどのポイントでもスキームが ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [y]}/{(y^{2})}\right)}$

また、基礎となる可換環の分数体を取ると、体準同型が得られる。

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\to {\mathbb {C} (x)[y]}/{(y^{2}-x(x-1)(x-2))},}$

これは2 次代数拡張です。したがって、楕円曲線のアフィン直線への 2 次分岐被覆が得られました。これを均質化して、射影楕円曲線の への射影を構築できます。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

超楕円曲線は、上式で定義されるアフィンスキームを次の形式の多項式で 考えることにより、アフィン直線の上記の次数被覆の一般化を提供する。${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle y^{2}-\prod (x-a_{i})}$どこへ${\displaystyle a_{i}\neq a_{j}}$${\displaystyle i\neq j}$

前述の例を一般化するには、射影をとる。

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f(y)-g(x))}}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x])}$

ここで、重複根は存在しない。この場合、分岐軌跡は次のように与えられる。 ${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{(f(x))}}\right)}$

ここで繊維は次のように与えられる。

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [y]}{(f(y))}}\right)}$

すると、分数体の誘導射が得られる。

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\to {\frac {\mathbb {C} (x)[y]}{(f(y)-g(x))}}}$

ターゲットの -module 同型性 は${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\oplus \mathbb {C} (x)\cdot y\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} (x)\cdot y^{{\text{deg}}(f(y))}}$

したがって、カバーは 度です。 ${\displaystyle {\text{deg}}(f)}$

超楕円曲線は超楕円曲線の一般化であり、前述の例のファミリーの特殊化である。なぜなら、それらは次の形式の多項式からの アフィンスキームによって与えられるからである。${\displaystyle X/\mathbb {C} }$

${\displaystyle y^{k}-f(x)}$ここで、 と には重複根はありません。${\displaystyle k>2}$${\displaystyle f(x)}$

もう一つの有用な例は、射影空間の分岐被覆である。同次多項式が与えられたとき、分岐軌跡を持つ 分岐被覆を構成することができる。${\displaystyle f\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{f(x)}}\right)}$

射影スキームの射影を考慮することによって

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}][y]}{y^{{\text{deg}}(f)}-f(x)}}\right)\to \mathbb {P} ^{n}}$

繰り返しますが、これは程度のカバーになります。 ${\displaystyle {\text{deg}}(f)}$

分岐被覆には変換の対称群が伴います。対称群は分岐軌跡の点に安定点を持つため、分岐被覆を使用してオービフォールドやドリーニュ・マンフォードスタックの例を構築できます。 ${\displaystyle C\to X}$${\displaystyle G}$

• エタール射影
• オービフォールド
• スタック（数学）

• ディムカ、アレクサンドル（1992）、特異点と超曲面の位相、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-97709-6
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157、OCLC  13348052
• オッサーマン、ブライアン、リーマン球面の分岐被覆(PDF)