ザイフェルト面

数学において、ザイフェルト面（ドイツの 数学者 ヘルベルト・ザイフェルト^{[1] [2]}にちなんで名付けられた）は、与えられた結び目またはリンクを境界とする有向面である。

このような面は、関連する結び目やリンクの特性を調べるために使用できます。たとえば、多くの結び目の不変量は、ザイフェルト面を使用すると最も簡単に計算できます。ザイフェルト面はそれ自体も興味深いものであり、多くの研究対象となっています。

具体的には、L をユークリッド 3 次元空間(または3 次元球面) 内の有向 結び目またはリンクとします。ザイフェルト面は、Lを境界とする 3 次元空間に埋め込まれたコンパクトで連結された有向面Sであり、 L上の向きはSから誘導された向きとまったく同じです。

3 次元ユークリッド空間内の空でない境界を持つコンパクトで連結された有向面は、その境界リンクに関連付けられた Seifert 面であることに注意してください。 1 つの結び目またはリンクには、多くの異なる非同等 Seifert 面が存在する可能性があります。 Seifert 面は有向である必要があります。 有向でも有向可能でもない結び目に面を関連付けることもできます。

標準的なメビウスの帯は、境界に非 結び目を持ちますが、向き付けることができないため、非結び目のザイフェルト面ではありません。

三つ葉結び目の通常の最小交差投影の「チェッカーボード」色付けは、3つの半ねじれを持つメビウスの帯を与える。前の例と同様に、これは向き付けが不可能なため、ザイフェルト面ではない。この図にザイフェルトのアルゴリズムを適用すると、予想どおりザイフェルト面が得られる。この場合、種数g = 1の穴あきトーラスであり、ザイフェルト行列は

${\displaystyle V={\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}.}$

これは、どんなリンクにも必ずザイフェルト面が付随するという定理である。この定理は、 1930年にフランクルとポンチャギンによって初めて発表された。 ^{[3] 1934年にヘルベルト・}ザイフェルトによって別の証明が発表され、現在ザイフェルトアルゴリズムと呼ばれているものに基づいている。このアルゴリズムは、問題の結び目またはリンクの投影が与えられると、 ザイフェルト面を生成する。${\displaystyle S}$

リンクがm個の成分（結び目の場合はm = 1 ）を持ち、ダイアグラムがd個の交差点を持ち、その交差点を解決すると（結び目の向きは維持しながら）f個の円が得られると仮定する。すると、 d個のバンドを付加することでf個の互いに素な円から曲面が構成される。ホモロジー群は2 g個の生成元上の自由アーベル群であり、 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H_{1}(S)}$

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(2+dfm)}$

は の種数である。上の交差形式Qは歪対称であり、のg個のコピー の直和に等しい2 gサイクルの基底が存在する。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H_{1}(S)}$${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{2g}}$${\displaystyle Q=(Q(a_{i},a_{j}))}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$

2 g × 2 g整数ザイフェルト行列

${\displaystyle V=(v(i,j))}$

は、ユークリッド 3 次元空間(または3 次元球面)におけるa _iの連結数と、の正の方向へのa _jの「押し出し」を持ちます。より正確には、ザイフェルト面は双襟状であり、つまり の埋め込みをの埋め込みに拡張できることを思い出すと、の内部でホモロジー生成子となる代表ループが与えられている場合、正の押し出しは で、負の押し出しは です。^[4]${\displaystyle v(i,j)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S\times [-1,1]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x\times \{1\}}$${\displaystyle x\times \{-1\}}$

これにより、

${\displaystyle VV^{*}=Q,}$

ここで、V ^∗ = ( v ( j , i )) は転置行列です。2 g × 2 gの整数行列はすべて、種数g のザイフェルト面を持つ結び目のザイフェルト行列として生じます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle VV^{*}=Q}$

アレクサンダー多項式は、不定値における最大 2 g次までの多項式であるザイフェルト行列から計算されます。 アレクサンダー多項式は、ザイフェルト面の選択とは無関係であり、結び目またはリンクの不変量です。 ${\displaystyle A(t)=\det \left(V-tV^{*}\right),}$${\displaystyle t.}$${\displaystyle S,}$

結び目のシグネチャは対称ザイフェルト行列のシグネチャです 。これもまた結び目またはリンクの不変量です。 ${\displaystyle V+V^{\mathrm {T} }.}$

ザイフェルト面は全く一意ではない。種数gおよびザイフェルト行列Vのザイフェルト面Sは、位相手術によって修正することができ、その結果、種数g + 1およびザイフェルト行列V のザイフェルト面S ′が得られる。

${\displaystyle V'=V\oplus {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

結び目Kの種数は、 Kに対するザイフェルト面の最小種数gによって定義される結び目不変量です。

例えば：

• 定義上、円板の境界であるアンクノットは、種数が 0 です。さらに、アンクノットは、種数が 0 である唯一の結び目です。
• 三つ葉結び目は、8の字結び目と同様に、属数が 1 です。
• ( p ,  q )-トーラス結び目の種数は( p − 1)( q − 1)/2である。
• 結び目のアレクサンダー多項式の次数は、その種数の 2 倍の下限です。

種数の基本的な性質は、結び目の和に関して加法性があることです。

${\displaystyle g(K_{1}\mathbin {\#} K_{2})=g(K_{1})+g(K_{2})}$

一般に、結び目の種数を計算するのは難しく、ザイファートアルゴリズムは通常、最小種数のザイファート面を生成しません。このため、他の関連する不変量が役立つ場合があります。結び目の標準種数 は、ザイファートアルゴリズムで構築できるすべてのザイファート面の中で最小の種数であり、自由種数は、 の補集合がハンドルボディであるすべてのザイファート面の中で最小の種数です。（ザイファートアルゴリズムによって生成されたザイファート面の補集合は常にハンドルボディです。）どの結び目でも不等式が成り立つことは明らかであるため、特にこれらの不変量は種数に上限を置きます。^[5]${\displaystyle g_{c}}$ ${\displaystyle g_{f}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle g\leq g_{f}\leq g_{c}}$

結び目属はイアン・アゴル、ジョエル・ハス、ウィリアム・サーストンの研究によりNP完全であることが証明された。^[6]

4次元球体では位相的にも滑らかにも同位体にならない同じ種族のザイフェルト面が存在することが示されている。 ^{[7] [8]}

• クロスキャップ番号
• 結び目の Arf 不変量
• 村杉和
• スライス属

• Jack van Wijkの SeifertView プログラムは、Seifert アルゴリズムを使用して構築された結び目の Seifert 面を視覚化します。