結び目の補完

数学では、慣性結び目Kの結び目補集合は、結び目が存在しない空間です。結び目が3 次元球面に埋め込まれている場合、その補集合は 3 次元球面から結び目の近くの空間を除いたものです。これを正確にするために、K が3 次元多様体M (ほとんどの場合、Mは 3 次元球面)の結び目であるとします。 N をKの管状近傍とします。したがって、Nは固体トーラスです。結び目補集合はNの補集合です。

${\displaystyle X_{K}=M-{\mbox{interior}}(N).}$

結び目補集合X _{K は}コンパクトな 3 次元多様体です。X _Kの境界と近傍Nの境界は 2 次元トーラスに同相です。周囲多様体M は3 次元球面であると理解されることもあります。用法を判断するには文脈が必要です。リンク補集合にも同様の定義があります。

結び目群などの多くの結び目不変量は、実際には結び目の補集合の不変量です。周囲空間が三次元球面である場合、情報は失われません。ゴードン・リュッケの定理によれば、結び目はその補集合によって決まります。つまり、KとK ′ が同相補集合を持つ 2 つの結び目である場合、一方の結び目を他方の結び目に取る三次元球面の同相写像が存在します。

結び目の補集合はハーケン多様体である。^{[1]より一般的には、}結び目の補集合はハーケン多様体である。

• ノット属
• ザイフェルト面

• C. Gordon と J. Luecke、「結び目はその補数によって決定される」、J. Amer. Math. Soc.、2 (1989)、371–415。