キツネのぬり絵

数学の結び目理論の分野において、フォックスのn色付けは、結び目群またはリンクの群（リンク群と混同しないこと）の、nが奇数の位数の二面体群への表現を、リンク図の弧を色付けすることによって指定する方法である（表現自体もフォックスのn色付けと呼ばれることが多い）。ラルフ・フォックスは、 1956 年にハーバーフォード大学の学部生に結び目理論を説明していたとき、「この主題を誰もが理解できるようにするために」この方法（および三色可能性の特殊なケース）を発見した。フォックスのn色付けは、共役カンドルの例である。

L をリンクとし、 をその補集合 の基本群とする。を2n位の二面体群上に表現することを、Lのフォックスn色付け (または単にn色付け)と呼ぶ。このような表現を許すリンクL はn色付け可能であると言われ、Lのn色付けと呼ばれる。このようなリンク群の表現は、1929 年のReidemeister以来、被覆空間の文脈で考えられてきた。[実際には、Reidemeister は 1926 年に Hamburger Abhandlungen 5 の「結び目と群」の 18 ページでこれをすべて完全に説明した。「フォックス色付け」という名前は、ずっと後になってから、おそらくドイツ語が読めなかった数学者によって付けられた。] フォックスが好んで使った、いわゆる「フォックス 3 色付け」の用語は「プロパティ L」であった。彼の著書「結び目理論入門」(1963) の 92 ページの演習 6 を参照。 ${\displaystyle \pi}$ ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle D_{2n}}$${\displaystyle \rho}$

リンクのグループは、 のベースポイントからリンクの管状近傍の境界へ、管状近傍の子午線の周りを通り、ベースポイントに戻るパスによって生成されます。表現の射影性により、これらの生成元は、通常のn角形の反射にマップされる必要があります。このような反射は、二面体群の要素に対応します。ここで、tは反射で、s はn角形の生成 ( ) 回転です。上記のリンクのグループの生成元は、リンク図の弧と全単射に対応しており、生成元が にマップされる場合は、対応する弧に色を付けます。これは、リンク図の Fox n色付けと呼ばれ、次の特性を満たします。 ${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle ts^{i}}$${\displaystyle 2\pi /n}$${\displaystyle ts^{i}\in D_{2p}}$${\displaystyle i\in \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

• 少なくとも 2 つの色が使用されます ( の全射性により)。${\displaystyle \rho}$
• 交差点の周囲では、交差下アークの色の平均が交差上アークの色と等しくなります (リンクのグループを表しているため)。${\displaystyle \rho}$

n色のリンクは、 によって与えられるモノドロミーを持つ L 上に分岐した 3 次元球面の (不規則な) 二面体被覆を取ることによって、3 次元多様体 M を生成します。モンテシノスとヒルデンの定理により 、結び目KとKの三色化に対して、この方法で任意の閉じた有向 3 次元多様体を得ることができます。これは、 nが 3 より大きい 場合は当てはまりません。${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \rho}$

リンクLの異なる Fox n色付けの数は、

${\displaystyle \mathrm {col} _{n}(L),}$

はリンクの不変量であり、色付け規則に従って弧を色付けすることで、任意のリンク図上で手作業で簡単に計算できます。色付けを数えるときは、慣例により、すべての弧に同じ色が付けられている場合も考慮し、そのような色付けを単純と呼びます。

たとえば、三葉結び目の標準的な最小交差図には、図に示すように 9 つの異なる三色化があります。

• 3 つの「単純な」色付け (すべての弧は青、赤、または緑)
• 青→緑→赤の3色展開
• 青→赤→緑の順に3色展開

リンクのフォックスn色彩の集合はアーベル群を形成し、2つのn色彩の和はストランドごとの加算で得られるn色彩となる。この群は直和として分割される。 ${\displaystyle C_{n}(K)\,}$

${\displaystyle C_{n}(K)\cong \mathbb {Z} _{n}\oplus C_{n}^{0}(K)\,}$、

ここで、最初の加数はn 個の自明な（定数）色に対応し、加数の非ゼロ要素は非自明なn色付け（各ストランドに定数を追加することによって得られる法変換）に対応します。 ${\displaystyle C_{n}^{0}(K)}$

が連結和演算子であり、およびがリンクである場合、 ${\displaystyle \#}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{2}}$

${\displaystyle \mathrm {col} _{n}(L_{1})\mathrm {col} _{n}(L_{2})=n\mathrm {col} _{n}(L_{1}\ #L_{2})。}$

L をリンクとし、πをその補集合の基本群とし、G を群とする。πからGへの準同型は、 LのG色付けと呼ばれる。結び目図のG色付けは、 LのストランドにGの要素を誘導的に割り当てることであり、各交差において、cが交差ストランドに割り当てられたGの要素であり、aとb が2 つの交差ストランドに割り当てられたGの要素である場合、交差ストランドの方向によって、 a = c ⁻¹ bcまたはb = c ⁻¹ acとなる。 群Gが2nの位数二面体である場合、 G色のこの図式的表現はFox n色付けに簡約される。トーラス結び目T(3,5) には定数n色付けしかないが、交代群A ₅に等しい群Gの場合、 T(3,5) には定数でないG色付けがある。 ${\displaystyle \rho}$

• Richard H. Crowell、Ralph H. Fox、「結び目理論入門」、Ginn and Co.、ボストン、1963 年。MR 0146828
• Ralph H. Fox、「結び目理論の簡単な旅」、MK Fort (編)、「3次元多様体の位相と関連トピック」、Prentice-Hall、NJ、1961、pp. 120–167。MR 0140099
• ラルフ・H・フォックス、「結び目とリンクのメタサイクリック不変量」、カナダ数学ジャーナル22（1970）193-201。MR 0261584
• Józef H. Przytycki、「3色付けと結び目のその他の基本不変量」。Banach Center Publications、第42巻、「結び目理論」、ワルシャワ、1998年、275-295。
• クルト・ライデマイスター、Knoten und Verkettungen、数学。 Z. 29 (1929)、713-729。MR 1545033