作用角座標

古典力学では、作用角変数は、保存されるエネルギー準位セットがコンパクトで、可換フローが完全な場合に、積分可能なシステム内の可換フローの性質を特徴付けるのに役立つ標準座標のセットです。作用角変数は、運動方程式を解くことなく振動または回転運動の周波数を取得する際にも重要です。これらは、システムが完全に積分可能である場合、つまり独立したポアソン可換不変量の数が最大で、保存されるエネルギー面がコンパクトな場合にのみ存在し、ダイナミクスの重要な特徴付けを提供します。これは通常、ハミルトン-ヤコビ方程式が完全に分離可能で、分離定数を位相空間上の関数として解くことができる場合に実用的な計算値を持ちます。作用角変数は、不変ラグランジアン トーラスによる葉脈構造を定義します。これは、ポアソン可換不変量によって誘導されるフローがそれらの結合準位セット内にとどまり、エネルギー準位セットがコンパクトであるため、それらがトーラスであることを意味するためです。角度変数は、通勤フローが直線であるリーフ上の座標を提供します。

古典的なハミルトン系とシュレーディンガー波動力学アプローチにおけるその量子化の関係は、ハミルトン・ヤコビ方程式をシュレーディンガー方程式のWKB 漸近級数における主項として見ることで明らかになります。積分可能なシステムの場合、量子力学の出現前に、ボーア・ゾンマーフェルトの量子化条件が最初に水素原子のスペクトルを計算するために使用されました。この条件では、作用角変数が存在し、それが縮約されたプランク 定数の整数倍である必要があります。EBK量子化におけるアインシュタインの非積分システムの量子化の難しさに関する 洞察は、この事実に基づいていました。${\displaystyle \hbar }$

作用角座標は、ハミルトン力学の摂動論、特に断熱不変量を決定する際にも有用である。小さな摂動下での積分可能な力学系の動的安定性に関するカオス理論の最も初期の結果の1つは、不変トーラスが部分的に安定であると述べる KAM定理である。

現代の可積分系理論では、作用角変数は戸田格子の解、 Lax 対の定義、またはより一般的には、可積分ダイナミクスを特徴付ける線形演算子の等スペクトル発展、およびハミルトン定式化における作用角変数としての関連スペクトル データの解釈に使用されました。

作用角は、生成関数がハミルトンの特性関数（ハミルトンの主関数ではない）であるタイプ2の 正準変換から生じます。元のハミルトニアンは時間に明示的に依存しないため、新しいハミルトニアンは、新しい正準座標（一般化座標である作用角）とその新しい一般化運動量で表された古いハミルトニアンにすぎません。ここでは、生成関数自体を解く必要はありません。代わりに、新しい正準座標と古い正準座標を関連付けるための手段としてのみ使用します。 ${\displaystyle W(\mathbf {q} )}$${\displaystyle S}$${\displaystyle K(\mathbf {w} ,\mathbf {J} )}$${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle W}$

作用角を直接定義するのではなく、代わりに、各元の一般化座標に対する古典的な作用に似た一般化運動量を定義する。${\displaystyle \mathbf {w} }$

${\displaystyle J_{k}\equiv \oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}}$

ここで積分経路は定数エネルギー関数によって暗黙的に与えられる。実際の運動はこの積分には関与しないので、これらの一般化運動量は運動の定数であり、変換されたハミルトニアンは共役一般化座標に依存しないことを意味する。${\displaystyle E=E(q_{k},p_{k})}$${\displaystyle J_{k}}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle w_{k}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}J_{k}=0={\frac {\partial K}{\partial w_{k}}}}$

ここで、はタイプ2の標準変換の典型的な式で与えられる。${\displaystyle w_{k}}$

${\displaystyle w_{k}\equiv {\frac {\partial W}{\partial J_{k}}}}$

したがって、新しいハミルトニアンは新しい一般化された運動量のみに依存します。 ${\displaystyle K=K(\mathbf {J} )}$${\displaystyle \mathbf {J} }$

作用角のダイナミクスはハミルトン方程式で与えられる。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}w_{k}={\frac {\partial K}{\partial J_{k}}}\equiv \nu _{k}(\mathbf {J} )}$

右辺は運動定数です（すべてのsがそうであるため）。したがって、解は次のように与えられます。 ${\displaystyle J}$

${\displaystyle w_{k}=\nu _{k}(\mathbf {J} )t+\beta _{k}}$

ここで、 は積分定数です。特に、元の一般化座標が周期 の振動または回転を受けると、対応する作用角はだけ変化します。 ${\displaystyle \beta _{k}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle w_{k}}$${\displaystyle \Delta w_{k}=\nu _{k}(\mathbf {J} )T}$

これらは、元の一般化座標の振動/回転の周波数です。これを示すために、作用角の純変化を、その一般化座標の1つの完全な変化（つまり、振動または回転）にわたって積分します。${\displaystyle \nu _{k}(\mathbf {J} )}$ ${\displaystyle q_{k}}$${\displaystyle w_{k}}$ ${\displaystyle q_{k}}$

${\displaystyle \Delta w_{k}\equiv \oint {\frac {\partial w_{k}}{\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}=\oint {\frac {\partial ^{2}W}{\partial J_{k}\,\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint {\frac {\partial W}{\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} J_{k}}{\mathrm {d} J_{k}}}=1}$

2つの式を等しくすると、目的の方程式が得られます。 ${\displaystyle \Delta w_{k}}$

${\displaystyle \nu _{k}(\mathbf {J} )={\frac {1}{T}}}$

作用角は独立した一般化座標の集合である。したがって、一般的な場合、それぞれの元の一般化座標は、すべての作用角 におけるフーリエ級数として表すことができる。${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle q_{k}}$

${\displaystyle q_{k}=\sum _{s_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{s_{2}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{s_{N}=-\infty }^{\infty }A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}e^{i2\pi s_{1}w_{1}}e^{i2\pi s_{2}w_{2}}\cdots e^{i2\pi s_{N}w_{N}}}$

ここで、はフーリエ級数の係数である。しかし、ほとんどの実用例では、元の一般化座標は、その作用角のみのフーリエ級数として表現できる。${\displaystyle A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}}$${\displaystyle q_{k}}$${\displaystyle w_{k}}$

${\displaystyle q_{k}=\sum _{s_{k}=-\infty }^{\infty }A_{s_{k}}^{k}e^{i2\pi s_{k}w_{k}}}$

一般的な手順は次の 3 つのステップに分かれています。

1. 新しい一般化運動量を計算する${\displaystyle J_{k}}$
2. 元のハミルトニアンをこれらの変数だけで完全に表現します。
3. これらの運動量に関してハミルトニアンの微分をとると、周波数が得られる。${\displaystyle \nu _{k}}$

場合によっては、2 つの異なる一般化座標の周波数が同一であることがあります。つまり、の場合です。このような場合、運動は退化 と呼ばれます。 ${\displaystyle \nu _{k}=\nu _{l}}$${\displaystyle k\neq l}$

退化した運動は、追加の一般的な保存量が存在することを示しています。たとえば、ケプラー問題の周波数は退化しており、ラプラス・ルンゲ・レンツベクトルの保存に対応しています。

退化運動は、ハミルトン・ヤコビ方程式が複数の座標系で完全に分離可能であることも示しています。たとえば、ケプラー問題は球面座標と放物座標の両方で完全に分離可能です。

• ボーア・ゾンマーフェルトモデル
• 積分可能なシステム
• アインシュタイン・ブリルアン・ケラー法
• 超積分ハミルトン系
• トートロジー一形式

• ランドー、LD; リフシッツ、EM (1976)、力学(第3版)、ペルガモン出版、ISBN 0-08-021022-8(ハードカバー)、ISBN 0-08-029141-4 (ソフトカバー) 
• ゴールドスタイン、H. (1980)、古典力学（第2版）、アディソン・ウェズレー、ISBN 0-201-02918-9
• サルダナシュビリー、G. (2015)、可積分ハミルトン系ハンドブック、URSS、ISBN 978-5-396-00687-4
• プレビアト、エマ（2003）、エンジニアと科学者のための応用数学辞典、CRCプレス、Bibcode：2003dame.book.....P、ISBN 978-1-58488-053-0