デルタ演算子

数学において、デルタ演算子は、体上の変数の多項式のベクトル空間上の、次数を 1減らすシフト同変線型演算子 です。 ${\displaystyle Q\colon \mathbb {K} [x]\longrightarrow \mathbb {K} [x]}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

がシフト同変であるということは、ならば、 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle g(x)=f(x+a)}$

${\displaystyle {(Qg)(x)=(Qf)(x+a)}.\,}$

言い換えれば、 がの「シフト」である場合、も のシフトであり、 は同じ「シフト ベクトル」 を持ちます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle Qf}$${\displaystyle Qg}$${\displaystyle a}$

演算子が次数を 1 減らすということは、が次数の多項式である場合、 は次数の多項式であるか、 の場合は0であることを意味します。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Qf}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle Qf}$

デルタ演算子は、非ゼロ定数にマップされる の多項式上のシフト同変線形変換として定義されることがあります。この後者の特徴付けは、上記の定義よりも弱いように見えますが、シフト同変はかなり強い条件であるため、の特性が0 の場合に上記の定義と同等であることが示されます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {K} }$

• 前進差分演算子

${\displaystyle (\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)\,}$

デルタ演算子です。

• xに関する微分はDと書かれ、デルタ演算子でもあります。
• 形式の演算子

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }c_{k}D^{k}}$

（ここで、D ⁿ (ƒ) = ƒ ^{( n )}はn^次導 関数）はデルタ演算子です。すべてのデルタ演算子はこの形式で記述できることが示されます。たとえば、上記の差分演算子は次のように展開できます。 ${\displaystyle c_{1}\neq 0}$

${\displaystyle \Delta =e^{D}-1=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {D^{k}}{k!}}.}$

• 前進差分演算子を標準微積分の微分と統合する時間スケール微積分の一般化微分はデルタ演算子です。
• コンピュータサイエンスとサイバネティクスでは、「離散時間デルタ演算子」（δ）という用語は、一般に差分演算子を意味すると解釈される。

${\displaystyle {(\delta f)(x)={{f(x+\Delta t)-f(x)} \over {\Delta t}}},}$

離散サンプル時間による通常の導関数のオイラー近似。デルタ定式化は、高速サンプリングでのシフト演算子と比較して、多くの数値的利点が得られます。${\displaystyle \Delta t}$

すべてのデルタ演算子には、次の 3 つの条件によって定義される多項式シーケンスである「基本多項式」の一意のシーケンスがあります。 ${\displaystyle Q}$

• ${\displaystyle p_{0}(x)=1;}$
• ${\displaystyle p_{n}(0)=0;}$
• ${\displaystyle (Qp_{n})(x)=np_{n-1}(x){\text{ すべての }}n\in \mathbb {N} に対して。}$

このような基本多項式のシーケンスは常に二項型であり、他の二項型シーケンスは存在しないことが示されます。上記の最初の 2 つの条件が削除されると、3 番目の条件により、この多項式シーケンスはSheffer シーケンス(より一般的な概念) になります。

• ピンチャール導関数
• シフト演算子
• 陰影計算

• Nikol'Skii, Nikolai Kapitonovich (1986)、「シフト演算子に関する論文：スペクトル関数理論」、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-15021-5

• ワイスタイン、エリック・W.「デルタ・オペレーター」。マスワールド。