レンツのアルゴリズム

数学において、レンツのアルゴリズムは連分数を評価し、球面ベッセル関数の表を計算するアルゴリズムである。^[1]^[2]

現在一般的に使用されているバージョンは、トンプソンとバーネットによるものです。^[3]

歴史

このアイデアは 1973 年に William J. Lentz によって導入され^[1]、1982 年に彼によって簡略化されました。 ^[4] Lentz は、複素引数の球面ベッセル関数の比を計算するのは難しい場合があることを示唆しました。彼は、連続次数の球面ベッセル関数の比を計算するための新しい連分数法を開発しました。この方法は、連分数の末尾ではなく先頭から開始し、収束のチェックが組み込まれており、数値的に安定していたため、他の方法に比べて改善されていました。元のアルゴリズムでは、分子または分母のゼロを回避するために代数を使用しています。^[5] 不要なゼロ項を克服するためのより簡単な改善には、1981 年に Jaaskelainen と Ruuskanen によって提案された変更された再帰関係^[6]や、1986 年に Thompson と Barnett によって提案された非常に小さな数による分母の単純なシフトなどがあります。 ^[3]

初期作業

この理論は、当初はミー散乱に必要な球面ベッセル関数の比を正確に計算する必要があったレンツの要望に端を発している。レンツは、連分数の末尾からではなく先頭から計算を開始する新しい連分数アルゴリズムを考案した。これにより、連分数の項が収束するのに必要な項数を推測する必要がなくなる。さらに、ベッセル関数の比と連続次数の球面ベッセル関数自体の連分数表現は、レンツのアルゴリズムで計算できる。^[5]このアルゴリズムは、が比較的小さいときに連分数の評価を終了できることを示唆している。^[7] $|f_{j}-f_{j-1}|$

アルゴリズム

レンツのアルゴリズムは、ウォリス・オイラーの関係に基づいています。

{f}_{0}={b}_{0}

{f}_{1}={b}_{0}+{\frac {{a}_{1}}{{b}_{1}}}

{f}_{2}={b}_{0}+{\frac {{a}_{1}}{{b}_{1}+{\frac {{a}_{2}}{{b}_{2}}}}}

{f}_{3}={b}_{0}+{\frac {{a}_{1}}{{b}_{1}+{\frac {{a}_{2}}{{b}_{2}+{\frac {{a}_{3}}{{b}_{3}}}}}}}

など、またはbig-K記法を使用する場合、

{f}_{n}={b}_{0}+{\underset {j=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {{a}_ {j}}{{b}_{j}+}}

は番目に収束する。 $n$ $f$

{f}_{n}={\frac {{A}_{n}}{{B}_{n}}}

ここで、およびはウォリス・オイラーの漸化式によって与えられる。 ${A}_{n}$ ${B}_{n}$

{A}_{-1}=1

{B}_{-1}=0

{A}_{0}={b}_{0}

{B}_{0}=1

{A}_{n}={b}_{n}{A}_{n-1}+{a}_{n}{A}_{n-2}

{B}_{n}={b}_{n}{B}_{n-1}+{a}_{n}{B}_{n-2}

レンツ法は

{C}_{n}={\frac {{A}_{n}}{{A}_{n-1}}}

{D}_{n}={\frac {{B}_{n-1}}{{B}_{n}}}

となるので、番目の収束は $n$

{f}_{n}={C}_{n}{D}_{n}{f}_{n-1}

そして再帰関係を使用する

{C}_{0}={\frac {{A}_{0}}{{A}_{-1}}}={b}_{0}

{D}_{0}={\frac {{B}_{-1}}{{B}_{0}}}=0

{f}_{0}={b}_{0}

{C}_{n}={b}_{n}+{\frac {{a}_{n}}{{C}_{n-1}}}

{D}_{n}={\frac {1}{{b}_{n}+{a}_{n}{D}_{n-1}}}

の増加に伴って積が1に近づくと、がに収束することが期待されます。^[8] ${C}_{n}{D}_{n}$ $n$ ${f}_{n}$ $f$

アプリケーション

レンツのアルゴリズムは20世紀後半に広く使用されました。このアルゴリズムには誤差伝播の厳密な分析がないと指摘されました。しかし、いくつかの実験的テストでは、少なくとも他の方法と同等に優れていることが示唆されています。^[9]一例として、指数積分関数の評価に適用されました。このアプリケーションは、当時、修正レンツアルゴリズムと呼ばれていました。^[10]また、レンツアルゴリズムはすべての計算に適用できるわけではなく、一部の連分数では収束が非常に速く、他の連分数ではその逆になることもあるとされています。^[11]

参考文献

^ ab Lentz, WJ (1973 年 9 月)。複素引数の球面ベッセル関数の計算方法と表(PDF) (研究開発技術レポート ECOM-5509)。ニューメキシコ州ホワイトサンズミサイル実験場: 大気科学研究所、米国陸軍電子司令部。
^ C++ による数値計算レシピ。pp. 177–179。ISBN 0 521 75033 4。
^ ab Thompson, IJ; Barnett, AR (1986). 「複素引数と順序のクーロン関数とベッセル関数」. Journal of Computational Physics . 64 (2): 490–509. Bibcode :1986JCoPh..64..490T. doi :10.1016/0021-9991(86)90046-x. ISSN 0021-9991.
^ J., Lentz, W. (1982 年 8 月)。Lentz のアルゴリズムの簡略化。国防技術情報センター。OCLC 227549426 。{{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)
^ ab Lentz, William J. (1976-03-01). 「連続分数を使用したミー散乱計算におけるベッセル関数の生成」.応用光学. 15 (3): 668–671. Bibcode :1976ApOpt..15..668L. doi :10.1364/ao.15.000668. ISSN 0003-6935. PMID 20165036.
^ ヤスケライネン、T.;ルースカネン、J. (1981-10-01)。「レンツのアルゴリズムに関するメモ」。応用光学。20 (19): 3289–3290。Bibcode :1981ApOpt..20.3289J。土井：10.1364/ao.20.003289。ISSN 0003-6935。PMID 20333144。
^ Masmoudi, Atef; Bouhlel, Med Salim; Puech, William (2012 年 3 月)。「カオス標準マップとエングル連分数マップを使用した画像暗号化」。2012年 6 回目の国際電子情報通信科学会議 (SETIT) 。IEEE。pp . 474–480。doi :10.1109/ setit.2012.6481959。ISBN 978-1-4673-1658-3.S2CID 15380706 。
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^ Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (1992)。Fortranの数値計算法、科学計算の技法(第 2 版)。ケンブリッジ大学出版局。165 ページ。
^ Press, William H.; Teukolsky, Saul A. (1988). 「連分数の評価と指数積分の計算」. Computers in Physics . 2 (5): 88. Bibcode :1988ComPh...2...88P. doi : 10.1063/1.4822777 . ISSN 0894-1866.
^ Wand, Matt P.; Ormerod, John T. (2012-09-18). 「ベイズ計算の連続分数拡張」. Stat . 1 (1): 31–41. doi :10.1002/sta4.4. ISSN 2049-1573. PMID 22533111. S2CID 119636237.

[:0-1] Lentz, WJ (1973 年 9 月)。複素引数の球面ベッセル関数の計算方法と表(PDF) (研究開発技術レポート ECOM-5509)。ニューメキシコ州ホワイトサンズミサイル実験場: 大気科学研究所、米国陸軍電子司令部。

[2] C++ による数値計算レシピ。pp. 177–179。ISBN 0 521 75033 4。

[:1-3] Thompson, IJ; Barnett, AR (1986). 「複素引数と順序のクーロン関数とベッセル関数」. Journal of Computational Physics . 64 (2): 490–509. Bibcode :1986JCoPh..64..490T. doi :10.1016/0021-9991(86)90046-x. ISSN 0021-9991.

[4] J., Lentz, W. (1982 年 8 月)。Lentz のアルゴリズムの簡略化。国防技術情報センター。OCLC 227549426 。{{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)

[Lentz_668–671-5] Lentz, William J. (1976-03-01). 「連続分数を使用したミー散乱計算におけるベッセル関数の生成」.応用光学. 15 (3): 668–671. Bibcode :1976ApOpt..15..668L. doi :10.1364/ao.15.000668. ISSN 0003-6935. PMID 20165036.

[6] ヤスケライネン、T.;ルースカネン、J. (1981-10-01)。「レンツのアルゴリズムに関するメモ」。応用光学。20 (19): 3289–3290。Bibcode :1981ApOpt..20.3289J。土井：10.1364/ao.20.003289。ISSN 0003-6935。PMID 20333144。

[7] Masmoudi, Atef; Bouhlel, Med Salim; Puech, William (2012 年 3 月)。「カオス標準マップとエングル連分数マップを使用した画像暗号化」。2012年 6 回目の国際電子情報通信科学会議 (SETIT) 。IEEE。pp . 474–480。doi :10.1109/ setit.2012.6481959。ISBN 978-1-4673-1658-3.S2CID 15380706 。

[8] Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (第3版). Cambridge University Press. pp. 207–208.

[9] Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (1992)。Fortranの数値計算法、科学計算の技法(第 2 版)。ケンブリッジ大学出版局。165 ページ。

[10] Press, William H.; Teukolsky, Saul A. (1988). 「連分数の評価と指数積分の計算」. Computers in Physics . 2 (5): 88. Bibcode :1988ComPh...2...88P. doi : 10.1063/1.4822777 . ISSN 0894-1866.

[11] Wand, Matt P.; Ormerod, John T. (2012-09-18). 「ベイズ計算の連続分数拡張」. Stat . 1 (1): 31–41. doi :10.1002/sta4.4. ISSN 2049-1573. PMID 22533111. S2CID 119636237.

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アルゴリズム

この理論は、当初はミー散乱