軸歳差

天文学において、軸歳差とは、重力によって引き起こされる、天体の回転軸の向きのゆっくりとした継続的な変化である。歳差がない場合、天体の軌道は軸平行性を示す。^[2]特に、軸歳差は、約 26,000 年の周期で地球の自転軸の向きが徐々にシフトすることを指す場合がある。 ^[1]これは、頂点で結合された一対の円錐を描く軸を持つコマの歳差運動に似ている。「歳差運動」という用語は通常、この運動の最大の部分のみを指し、地球の軸の配置の他の変化、つまり章動運動や極運動は、大きさがはるかに小さい。

地球の歳差運動は歴史的に春分点歳差運動と呼ばれていた。春分点は恒星に対して黄道に沿って西に移動し、黄道に沿った太陽の年間運動と逆の動きをしたからである。歴史的には、 ^[3] 春分点歳差運動の発見は西洋では紀元前2世紀の天文学者ヒッパルコスによるものとされることが多い。19世紀前半に惑星間の重力を計算する能力が向上したことで、黄道自体がわずかに動くことが認識され、1863年には早くも惑星歳差運動と名付けられ、支配的な要素は月太陽歳差運動と名付けられた。^[4]それらの組み合わせは春分点歳差運動ではなく、 一般歳差運動と名付けられた。

月太陽歳差は、月と太陽の重力が地球の赤道部に及ぼす影響によって引き起こされ、地球の軸が慣性空間に対して移動します。惑星歳差（前進）は、地球上の他の惑星の重力と地球の公転面（黄道）の間の角度が小さいために起こり、黄道面が慣性空間に対してわずかにずれます。月太陽歳差は、惑星歳差の約 500 倍です。^[5]月と太陽に加えて、他の惑星も慣性空間で地球の軸の小さな動きを引き起こします。そのため、月太陽運動と惑星運動という用語の対比は誤解を招く恐れがあるため、2006年に国際天文学連合は、支配的な要素を赤道歳差運動、マイナーな要素を黄道歳差運動と改名することを勧告しましたが、それらの組み合わせは依然として一般歳差運動と呼ばれています。^[6]変更前の出版物には、古い用語への言及が多数存在します。

「歳差」という用語は、ラテン語のpraecedere (「先行する、前に来る、またはより早く」) に由来しています。地球から見た星は、地球の日周運動により毎日東から西へ移動し、地球が太陽の周りを公転するため毎年移動します。同時に、星は年間約 50 秒角の速度で、そのような動きをわずかに先取りしているのが観察されます。この現象は「春分点歳差」として知られています。

この動きを説明する際、天文学者は一般的にこの用語を単に「歳差」と短縮しています。物理学者もこの動きの原因を説明する際に「歳差」という用語を使用しており、このため観測可能な現象とその原因が混同されています。天文学では、歳差の中には実際のものもあれば見かけ上のものもあるため、このことは重要です。この問題は、多くの天文学者が物理学者または天体物理学者であるという事実によってさらにわかりにくくなっています。

天文学で使用される「歳差」という用語は、一般的に春分点の観測可能な歳差運動（星が空を逆行して移動する）を表しますが、物理学で使用される「歳差運動」という用語は、一般的に機械的なプロセスを表します。

地球の軸の歳差運動には、いくつかの目に見える影響がある。まず、天の南極と北極の位置は、宇宙に固定された星々を背景に円を描いて動いているように見え、約 26,000 年で 1 周する。したがって、現在、北極星はほぼ天の北極にあるが、これは時間の経過とともに変化し、他の星が「北極星」になる。^{[3]約 3,200 年後には、ケフェウス座の}ケフェウス座ガンマ星が、この位置を北極星に取って代わる。現在、天の南極にはその位置を示す明るい星がないが、時間の経過とともに歳差運動によって明るい星も南極星になる。天の極が移動すると、地球上の特定の位置から見た星域全体の見かけの向きが、それに応じて徐々に移動する。

第二に、夏至、春分、または季節に関連して定義される他の時間に、太陽の周りを公転する地球の位置はゆっくりと変化します。 ^[3]たとえば、地球の軌道位置が夏至にマークされ、地球の軸の傾きが太陽に直接向いているとします。1周した後、太陽が背景の星に対して同じ見かけの位置に戻ったとき、地球の軸の傾きは太陽に直接向いていません。歳差運動の影響により、地球の軸の傾きはこれより少し「遠く」にあります。言い換えると、夏至は軌道上で少し早く起こりました。したがって、季節の周期（たとえば、夏至から夏至までの時間、または春分から春分までの時間）を測定する熱帯年は、恒星に対する太陽の見かけの位置によって測定される恒星年よりも約20分短くなります。約 26,000 年後には、その差は丸 1 年分になり、軌道に対する季節の位置は「最初の位置に戻る」ことになります。(他の影響も地球の軌道の形状と方向をゆっくりと変え、これらが歳差運動と組み合わさって、異なる周期のさまざまなサイクルを作成します。ミランコビッチ サイクルも参照してください。地球の傾きの大きさは、単にその方向とは対照的に、時間の経過とともにゆっくりと変化しますが、この影響は歳差運動に直接起因するものではありません。)

同様の理由から、季節ごとに決まった時間における星の背景に対する太陽の見かけの位置は、黄道十二星座のすべてにおいて、1年あたり約50.3秒角、つまり71.6年ごとに1度の割合で、ゆっくりと360°戻ります。

現在、歳差運動の速度は 25,772 年の周期に相当するため、赤道年は恒星年よりも 1,224.5 秒短くなります(20 分 24.5 秒 ≈ (365.24219 × 86400) / 25772)。

速度自体は時間とともに多少変化するため (以下の値を参照)、正確に 25,772 年後に地球の軸が現在の位置に戻るとは言えません。

詳細については、以下の「極星の変化」および「極移動と春分点の移動」を参照してください。

歳差運動の発見は、通常、ギリシャの天文学者、ロドス島またはニカイアのヒッパルコス（紀元前190年 - 120年）によるものとされている。プトレマイオスの『アルマゲスト』によると、ヒッパルコスはスピカや他の明るい星の経度を測定した。自分の測定値を先人のティモカリス（紀元前320年 - 260年）やアリスティルス（紀元前約280年）のデータと比較し、スピカは秋分点に対して2度動いたという結論に達した。また、彼は太陽が秋分点に戻るまでの時間である太陽年間と恒星年（太陽が恒星に戻るまでの時間）の長さを比較し、わずかな食い違いがあることを発見した。ヒッパルコスは、春分点が黄道帯を通って移動（「歳差運動」）しており、歳差運動の速度は1世紀で1°以上であり、言い換えれば、36,000年以内に完全な周期が完了すると結論付けました。^[7]

ヒッパルコスの著作は、歳差運動に関する著作を含め、ほとんどすべて失われている。それらの著作はプトレマイオスによって言及されており、プトレマイオスは歳差運動を静止した地球の周りを天球が回転することだと説明している。ヒッパルコスもプトレマイオスと同様に、歳差運動を地球ではなく天体の運動として 地動説的に考えていたと推測するのが妥当である。

ヒッパルコスの歳差運動に関する研究を継続した最初の天文学者は、2世紀のプトレマイオスであることが知られています。プトレマイオスは、日食を必要としないヒッパルコスの月測定法のバリエーションを使用して、レグルス、スピカ、その他の明るい星の経度を測定した。日没前に、月と太陽を隔てる経度弧を測定した。次に、日没後に、月から星までの弧を測定した。彼はヒッパルコスのモデルを使用して太陽の経度を計算し、月の動きと視差を修正しました。^{[8]プトレマイオスは、ヒッパルコス、}アレクサンドリアのメネラオス、ティモカリス、アグリッパの観測結果と自身の観測結果を比較しました。彼は、ヒッパルコスの時代と自分の時代（約265年）の間に、星が2°40'、つまり100年で1°（1年あたり36秒。現在認められている速度は1年あたり約50秒、つまり72年で1°）動いていたことを発見した。しかし、プトレマイオスはヒッパルコスの数字を信頼しただけで、独自の測定は行わなかった可能性がある。彼はまた、歳差運動は黄道付近の恒星だけでなくすべての恒星に影響し、彼の周期はヒッパルコスの周期と同じ36,000年であることを確認した。^[7]

古代の著者のほとんどは歳差運動について言及しておらず、おそらくそれを知らなかった。例えば、プロクロスは歳差運動を否定したが、4 世紀のプトレマイオスの注釈者であるアレクサンドリアのテオンはプトレマイオスの説明を受け入れた。テオンはまた、別の理論も報告している。

「ある意見によれば、古代の占星術師は、ある時期から夏至の星座は星座の順序で 8 度動き、その後同じ量だけ戻ると信じている。…」（Dreyer 1958、p. 204）

春分点と秋分点は、黄道帯の全体の順序を進むのではなく、8° の弧を前後に「震え」ながら進みます。震えの理論は、歳差運動の代替としてテオンによって提示されました。

ヒッパルコスとは独立して他の文化が歳差運動を発見したという様々な主張がなされている。アル・バタニによれば、カルデアの天文学者は太陽年と恒星年を区別していたため、紀元前330年頃までには、たとえ不正確であったとしても歳差運動を説明できる立場にあったはずであるが、そのような主張は一般的には裏付けがないとみなされている。^[9]

考古学者スーザン・ミルブラスは、メソアメリカの「プレアデス星団を含む3万年の長期暦」は「春分点の歳差運動を計算するためのものだったのかもしれない」と推測している。 ^{[10]この見解は}、マヤ文明の他の専門学者の間ではほとんど支持されていない。^[要出典]

同様に、春分点の歳差運動はヒッパルコスの時代（プトレマイオス朝時代）以前の古代エジプトで知られていたと主張されています。これらの主張は依然として議論の的となっています。古代エジプト人は正確な暦を保管し、寺院の壁に日付を記録していたため、彼らにとって「大まかな」歳差運動率をプロットするのは簡単なことだったでしょう。

デンデラのハトホル神殿内にある星図「デンデラ黄道帯」には、春分点の歳差運動が記録されていると言われています。^[11]いずれにせよ、古代エジプト人が歳差運動を知っていたとしても、現存する天文学の文献にはそのように記録されていません。

古代エジプトに関する人気作家マイケル・ライスは、古代エジプト人は歳差運動を観察していたに違いないと書き、^[12]この認識が彼らの文化に大きな影響を与えたと示唆している。^[13]ライスは、エジプト人が関連する星の歳差運動に応じて寺院の方向を変えたと指摘している。^[14]

1200年以前、インドには2つの歳差理論（1つは速度あり、もう1つは速度なし）と、関連する歳差モデルがいくつかあった。それぞれは、さまざまな解説者によって小さな変更や修正が加えられた。3つのうち支配的だったのは、最も尊敬されているインドの天文学論文であるスーリヤ・シッダーンタ（3：9–12）で説明されている歳差である。これは400年頃に書かれ、その後数世紀にわたって改訂された。それは、参照したグループに応じて黄経19°11′から23°51′にわたって変化する、現在でもすべてのインド暦で使用され ている恒星期、つまりアヤナムサを使用していた。[ ^15]この期により、およそ30のインド暦年は、現代の3月の春分点から23〜28日後に始まる。スーリヤ・シッダーンタの3月の春分点は、恒星期から両方向に27°振動した。したがって、春分点は一方の方向に 54° 移動し、その後反対方向に 54° 戻りました。このサイクルは、1 年あたり 54 秒の速度で完了するのに 7200 年かかりました。春分点は、 -3101 年にカリユガの始まりの時代と一致し、3600 年後の 499 年に再び一致しました。方向は、これらの年の中間の -1301 年に順行から逆行に変わり、最大偏差の 27° に達しました。そして、2299 年までの 3600 年間、現代の歳差運動と同じ方向である逆行を維持しました。^{[16] [17] : 29–30}

ヴァラーハミヒラ（ 550年頃）は別の恐怖について述べている。彼の恐怖は、一方向に46°40′の弧を描き、出発点に戻るというものだった。この弧の半分の23°20′は、夏至と冬至の太陽が赤道の両側で最大に赤緯する場所とされた。しかし、周期は特定されておらず、年間の速度は確認できない。^{[17] : 27–28}

いくつかの著者は、歳差運動は43億2000万年のカルパ で20万回転近くあると述べている。これは、⁠ 200,000×360×3600/4,320,000,000⁠  = 60″/年。おそらく、 累積歳差運動を 500 近くでゼロにするために、200,000 回転から逸脱したのでしょう。ヴィシュヌカンドラ ( 550年頃 - 600 年頃) は 、1 カルパで 189,411 回転、つまり 56.8″/年と述べています。バースカラ I ( 600年頃 - 680 年頃) は、[1]  1 カルパで 94,110 回転、つまり 58.2″/年と述べています。バースカラ II (  1150年頃) は、1 カルパで 199,699回転、つまり 59.9″/年と述べています。^{[17] : 32–33} 

于熙（紀元4世紀）は歳差運動について言及した最初の中国の天文学者である。彼は歳差運動の速度を50年で1°と推定した。^[18]

中世イスラム天文学では、歳差運動はプトレマイオスの『アルマゲスト』に基づいて知られており、その値を精緻化した観測によっても知られていました。

アル・バッターニは著書『ジジ・アル・サビ』の中で、ヒッパルコスによる歳差の計算とプトレマイオスの100太陽年につき1度という値に言及し、歳差を測定して66太陽年につき1度であることがわかったと述べています。^[19]

その後、アル＝スーフィーは『恒星の書』の中で、プトレマイオスの歳差運動の値が100太陽年につき1度であるというのと同じ値に言及している。その後、アル＝マムーンの治世中に行われた『ズィジ・アル＝ムムタハン』から、66太陽年につき1度という異なる値を引用している。また、アル＝バッターニーの前述の『ズィジ・アル＝サビ』を引用し、アル＝バッターニーとプトレマイオスの時間の差を説明するために、星の座標を11度10分角調整したとしている。^[20]

その後、マラーゲ天文台で編纂された『ジジ・イルハニ』では、春分点の歳差運動を年間51秒角と定めており、これは現代の値である50.2秒角に非常に近い。^[21]

中世では、イスラム教とラテンキリスト教の天文学者は「震え」を歳差運動に加えられる恒星の運動として扱った。この理論は一般にアラブの天文学者タビト・イブン・クルラに帰せられるが、現代ではその帰属は議論されている。ニコラウス・コペルニクスは『天球回転論』 （1543年）で震えについて別の説明を発表した。この著作は、地球の軸の運動の結果としての歳差運動に初めて明確に言及している。コペルニクスは歳差運動を地球の3番目の運動と特徴づけた。^[22]

それから1世紀以上経って、アイザック・ニュートンは著書『自然哲学の数学的原理』 （1687年）の中で、歳差運動は重力の結果として説明されました。^[23]しかし、ニュートンの当初の歳差運動の方程式はうまくいかず、ジャン・ル・ロン・ダランベールとその後の科学者によって大幅に改訂されました。

ヒッパルコスはこの発見について『至点と秋分点の変位について』（『アルマゲスト』 III.1 および VII.2 に記述）で述べている。彼は月食の間にスピカの黄経を測定し、秋分の約 6° 西にあることを発見した。自身の測定値をアレクサンドリアのティモカリス（エウクレイデスの同時代人で、紀元前 3 世紀初頭にアリスティルスと共に研究した）の測定値と比較することで、スピカの黄経がその間に約 2° 減少したことを発見した（ 『アルマゲスト』には正確な年は記載されていない）。また、VII.2 では、プトレマイオスはスピカを含む 2 つの星のより正確な観察を示し、それぞれの場合で紀元前 128 年から紀元後 139 年の間に 2° 40' の変化があったと結論付けています。したがって、1 世紀あたり 1°、つまり 36,000 年で 1 周期、つまりプトレマイオスが報告したヒッパルコスの歳差運動周期です。Toomer の翻訳『アルマゲスト』1998 年版の 328 ページを参照してください。彼は他の星でもこの動きに気付きました。彼は黄道帯に近い星だけが時間とともに移動すると推測しました。プトレマイオスはこれを「最初の仮説」 ( 『アルマゲスト』 VII.1) と呼びましたが、ヒッパルコスが考案した可能性のあるその後の仮説については報告していません。ヒッパルコスは、あまり信頼性のない古い観測結果がいくつかあったため、推測を制限したようです。

春分点は空に記されていないため、ヒッパルコスは月を基準点として必要とした。彼は月食を利用して星の位置を測定した。ヒッパルコスは、いつでも太陽の経度を計算する方法をすでに開発していた。月食は満月のときに起こり、月は衝となり、太陽から正確に180°の角度になる。ヒッパルコスは、スピカと月を隔てる経線を測定したと考えられている。この値に、彼は計算した太陽の経度に、月の経度180°を加えた。彼はティモカリスのデータに対しても同じ手順を踏んだ。^[24]ちなみに、これらの月食などの観測は、ヒッパルコスが働いていた時期に関する主なデータ源であり、彼に関するその他の伝記情報はごくわずかである。例えば、彼が観測した月食は、紀元前146年4月21日と紀元前135年3月21日に起こった。^[25]

ヒッパルコスも『一年の長さについて』で歳差運動について研究している。彼の研究を理解するには、2 種類の年が関係している。太陽年は、地球から見たときに、黄道 (天球上の恒星間の太陽の通り道) に沿って同じ位置に戻るのにかかる時間の長さである。恒星年は、天球上の恒星に対して太陽が同じ位置に戻るのにかかる時間の長さである。歳差運動により、恒星は毎年経度をわずかに変えるため、恒星年は太陽年よりも長くなる。ヒッパルコスは、春分と夏至の観測結果から、太陽年の長さが 365+1/4−1/300 日、つまり 365.24667 日であることを発見した (Evans 1998、p. 209)。これを恒星年の長さと比較して、歳差運動の速度は 1 世紀で 1° 以上であると計算した。この情報から、彼が推定した恒星年は365+1/4+1/144日であると計算することができます。^[26]最小値を与えることで、彼は観測の誤差を考慮していた可能性があります。

ヒッパルコスは、自身の太陽暦を近似するために、メトンとカリポスの暦を『閏月と閏日について』（現在は失われている）で修正して独自の太陰太陽暦を作った。これはプトレマイオスの『アルマゲスト』 III.1に記されている。 ^[27]バビロニア暦は、紀元前499年以降、19年で235太陰月の周期を使用していたが（紀元前380年より前には3つの例外のみ）、特定の日数は使用していなかった。メトン周期（紀元前432年）では、この19年に6,940日を割り当て、平均年は365+1/4+1/76、つまり365.26316日となった。カリポス周期（紀元前330年）では、4つのメトン周期（76年）から1日が省かれ、平均年は365+1/4、つまり365.25日となった。ヒッパルコスは、4 つのカリプス周期 (304 年) からさらに 1 日を削除し、平均年が 365+1/4−1/304 つまり 365.24671 日のヒッパルコス周期を作成しました。これは、彼の熱帯年である 365+1/4−1/300 つまり 365.24667 日に近いものでした。

ヒッパルコスの数学的特徴は、紀元前2世紀の古代天文計算機であるアンティキティラ島の機械に見いだされる。この機械は、太陽年、メトン周期（月が空の同じ場所に同じ位相で再び現れる周期、満月が空の同じ位置に現れるのは約19年）、カリプス周期（メトン周期の4倍でより正確）、サロス周期、およびエクセリグモス周期（正確な日食予測のためのサロス周期の3倍）に基づいている。アンティキティラ島の機械の研究により、古代人は空の太陽と月の動きのあらゆる側面に基づいた非常に正確な暦を使用していたことがわかった。実際、アンティキティラ島の機械の一部である月の機械は、ピンとスロットの装置を備えた4つの歯車列を使用して、与えられた時間における月の動きと位相を表し、ケプラーの第二法則に非常に近い可変の月の速度を与えます。つまり、近地点での月の速い動きと遠地点での遅い動きを考慮しています。

歳差運動の結果、北極星は変化します。現在、北極星は、視等級2.1（変光）の適度に明るい星であり、極から約1度の位置にあり、同様の明るさの星が近くにないため、北天の極の位置を示すのに非常に適しています。^[28]

以前の北極星はコカブ（小熊座ベータ星、β UMi、β Ursae Minoris）で、北極星から16度離れた「小熊座」のボウルの中で最も明るい星でした。紀元前1500年から西暦500年までその役割を果たしました。 ^[29]当時は今日の北極星ほど正確ではありませんでした。^[29]今日、コカブとその隣のフェルカドは「極の守護者」（北極星の意味）と呼ばれています。^[29]

一方、紀元前3000年には北極星であったりゅう座のトゥバンは、明るさが3.67等級（北極星の5分の1の明るさ）とはるかに目立たず、今日では光害のある都市の空では見えません。

北極星が約27,800年に再び北極星になると、その固有運動により、現在よりも北極から遠ざかることになりますが、紀元前23,600年には北極に近づいていました。

現時点では、天の南極は空の中でも特に目立たない部分なので、見つけるのはより困難です。名目上の南極の星は八分座シグマ星で、明るさは 5.5 で、理想的な条件下でも肉眼ではほとんど見えません。しかし、80 世紀から 90 世紀にかけて、天の南極が偽十字を通過すると、状況は変わります。

この状況は星図でも見られます。南極の方向は南十字星座に向かって移動しています。過去約 2,000 年間、南十字星は南天の極を指していました。その結果、古代ギリシャ時代とは異なり、亜熱帯の北緯からは星座を見ることが困難になっています。南十字星はマイアミ(北緯約 25 度) からでも見ることができますが、冬から早春の間だけです。

右の画像は、地球の軸の歳差運動と春分点のずれの関係を説明するものです。これらの画像は、天球上の地球の軸の位置を示しています。天球は、実際の距離に関係なく、地球から見た位置に従って星を配置する架空の球体です。最初の画像は、星座を鏡像にした、外側から見た天球を示しています。2 番目の画像は、非常に広角のレンズを通して見た地球に近い位置の遠近法を示しています (これにより、見かけ上の歪みが生じます)。

地球の自転軸は、25,700 年の期間にわたって、図の上部近くの星々の間にある小さな青い円を描きます。この円は黄道の北極 (青い文字のE ) を中心とし、半径約 23.4 度の角度で、黄道傾斜角と呼ばれます。歳差運動の方向は、地球の自転軸の毎日の自転と反対です。茶色の軸は5,000 年前の地球の自転軸で、当時はトゥバン星を指していました。北極星を指す黄色の軸は、現在の軸を示しています。

春分と秋分は、天の赤道が黄道 (赤い線) と交差する場所、つまり、地球の軸が太陽と地球の中心を結ぶ線に垂直になる場所で発生します。ここでの「春分」という用語は、このように定義された天球上の点を指し、太陽が赤道上にある瞬間 (ただし、2 つの意味は関連しています) を指しません。軸がある方向から別の方向へ歳差運動すると、地球の赤道面 (赤道の周りの円形のグリッドで示されます) が移動します。天の赤道は、天球に投影された地球の赤道にすぎないため、地球の赤道面が移動すると移動し、黄道との交点もそれとともに移動します。地球上の極と赤道の位置は変化せず、恒星に対する地球の向きのみが変わります。

茶色のグリッドから見ると、5,000年前の3月の春分はおうし座のアルデバラン星の近くにありました。現在、黄色のグリッドから見ると、うお座のどこかに移動しています（赤い矢印で示されています） 。

このような静止画像は、歳差運動の可変速度、黄道の可変傾斜、惑星歳差運動（黄道面自体が、経度 174.8764° の面上にある軸を中心にゆっくりと回転する運動）、および恒星の固有運動を考慮していないため、単なる最初の近似値にすぎません。

各星座の歳差周期は「大月」とも呼ばれ、おおよそ以下の表の通りです。^[30]

春分点歳差運動は、太陽と月、そして地球上の他の天体の重力によって引き起こされます。これはアイザック・ニュートン卿によって初めて説明されました。^[31]

軸の歳差運動は、コマの歳差運動に似ています。どちらの場合も、加えられる力は重力によるものです。コマの場合、この力は最初は回転軸とほぼ平行になる傾向があり、コマが減速するにつれて増加します。スタンドに取り付けられたジャイロスコープの場合、この力は 90 度に近づくことがあります。ただし、地球の場合、太陽と月が加える力は、回転軸に対して垂直に近くなります。

地球は完全な球体ではなく、赤道直径が極直径より約 43 キロメートル大きい扁平回転楕円体です。地球の自転軸の傾きにより、ほとんどの年において、この膨らみの太陽に最も近い半分は北または南に中心からずれており、遠い半分は反対側に中心からずれています。重力は距離の 2 乗で減少するため、近い半分の引力の方が強く、太陽が地球の片側をもう片側よりも強く引っ張るため、地球に小さなトルクが生じます。このトルクの軸は地球の自転軸にほぼ垂直であるため、自転軸は歳差運動します。地球が完全な球体であれば、歳差運動は発生しません。

この平均トルクは、自転軸が黄道極から遠ざかる方向に垂直なので、軸の傾き自体は変化しません。太陽（または月）からのトルクの大きさは、地球の自転軸の方向と重力の方向の角度によって変化します。これらが垂直になると、トルクはゼロに近づきます。たとえば、太陽との相互作用の場合、これは春分と秋分で起こります。これは、近い点と遠い点が重力の引力に沿っているため、重力の引力の違いによるトルクがないことが原因であると考えられます。

上記の説明は太陽に関するものだが、同じ説明は、黄道に沿って、または黄道の近くで地球の周りを回るあらゆる物体、特に月にも当てはまる。太陽と月の複合的な動きは、月太陽歳差運動と呼ばれる。太陽と月は、一定の進行運動（約 25,700 年で一周する）に加えて、位置の変化により、小さな周期的変動も引き起こす。歳差運動の速度と軸の傾きの両方におけるこれらの振動は、章動運動として知られている。最も重要な項は、周期が 18.6 年で、振幅が 9.2 秒角である。^[32]

月太陽歳差に加え、太陽系の他の惑星の作用により、黄道全体が、瞬間黄道で測定すると約 174° の黄道経度を持つ軸の周りをゆっくりと回転します。このいわゆる惑星歳差のシフトは、黄道面の 1 年あたり 0.47 秒角の回転に相当します (月太陽歳差の 100 分の 1 以下)。2 つの歳差の合計は、一般歳差として知られています。

摂動体（太陽、月、惑星）による地球の潮汐力は、ニュートンの万有引力の法則によって表され、地球に最も近い側の摂動体の重力は、近い側と遠い側の距離の3乗の差に比例する量だけ遠い側の重力よりも大きいと言われています。地球の中心にある質点としての地球の質量に作用する摂動体の重力（これが軌道運動を引き起こす求心力を提供します）を、地球表面のあらゆる場所の摂動体の重力から差し引くと、残りが潮汐力と見なすことができます。これは、衛星から遠ざかる方向に力が作用するという逆説的な概念を与えますが、実際には重力場の勾配により、その物体に向かう力が単に小さくなるだけです。歳差運動の場合、この潮汐力は、平均球半径の外側の赤道隆起部にのみ作用する2つの力に分けられる。この力は、2組の成分に分解できる。1組は地球の赤道面に平行で、摂動体に向かう力と摂動体から遠ざかる力で、互いに打ち消し合う。もう1組は地球の自転軸に平行で、どちらも黄道面に向かう力である。^[33]後者の力のペアは、地球の赤道隆起部に次のトルク ベクトルを生み出す。^[5]

${\displaystyle {\overrightarrow {T}}={\frac {3GM}{r^{3}}}(CA)\sin \delta \cos \delta {\begin{pmatrix}\sin \alpha \\-\cos \alpha \\0\end{pmatrix}}}$

どこ

GM、摂動体の標準重力パラメータ

r、摂動天体までの地心距離

C、地球の自転軸周りの慣性モーメント

A、地球の赤道直径周りの慣性モーメント

C − A、地球の赤道部の慣性モーメント（C > A）

δ、摂動天体の赤緯（赤道の北または南）

α、摂動天体の赤経（ 3月の春分点から東）。

地球の中心におけるトルクの 3 つの単位ベクトル (上から下へ) は、​​黄道面 (地球の赤道面と黄道面の交点) 内で 3 月の春分点に向かう線上のx軸、黄道面内で夏至 ( xの東 90°) に向かう線上のy軸、および黄道の北極に向かう線上の z軸です。

太陽のx 方向の 3 つの正弦波の値(sin δ cos δ sin α )は、春分 (0°、180°) のゼロから夏至 (90°、270°) の 0.36495 まで変化する正弦二乗波形です。太陽のy方向の値 (sin δ cos δ (−cos α ))は、4 つの春分と夏至のゼロから、春分と夏至の中間の ±0.19364 (正弦二乗ピークの半分よりわずかに大きい) まで変化する正弦波で、ピークは春分に向かってわずかに偏っています (43.37°(−)、136.63°(+)、223.37°(−)、316.63°(+))。両方の太陽波形は、ピーク間の振幅がほぼ同じで、周期も同じで、半回転または半年です。Z 方向の値はゼロです。

太陽または月の場合、 y方向の正弦波の平均トルクはゼロなので、このトルク成分は歳差運動に影響しません。太陽または月の場合、 x方向の正弦二乗波形の平均トルクは次のとおりです。

${\displaystyle T_{x}={\frac {3}{2}}{\frac {GM}{a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}(CA)\sin \epsilon \cos \epsilon }$

どこ

${\displaystyle a}$、地球（太陽）の軌道または月の軌道の長半径

e、地球（太陽）の軌道または月の軌道の離心率

1/2は正弦二乗波形の平均を表し、楕円軌道全体にわたる太陽または月と地球との距離の3乗の平均を表します。^{[34] ε（赤道面と黄道面の間の角度）は、太陽の}δの最大値と、18.6年周期全体にわたる月の平均最大値です。 ${\displaystyle a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}$

歳差運動とは：

${\displaystyle {\frac {d\psi }{dt}}={\frac {T_{x}}{C\omega \sin \epsilon }}}$

ここでωは地球の角速度、Cωは地球の角運動量である。したがって太陽による歳差運動の一次成分は次のようになる。^[5]

${\displaystyle {\frac {d\psi _{S}}{dt}}={\frac {3}{2}}\left[{\frac {GM}{a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]_{S}\left[{\frac {C-A}{C}}{\frac {\cos \epsilon }{\omega }}\right]_{E}}$

一方、月によるものは次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {d\psi _{L}}{dt}}={\frac {3}{2}}\left[{\frac {GM\left(1-1.5\sin ^{2}i\right)}{a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]_{L}\left[{\frac {C-A}{C}}{\frac {\cos \epsilon }{\omega }}\right]_{E}}$

ここで、 i は月の軌道面と黄道面の間の角度である。この 2 つの式では、太陽のパラメータは S と書かれた角括弧内、月のパラメータは L と書かれた角括弧内、地球のパラメータは E と書かれた角括弧内で表される。項は黄道に対する月の軌道の傾きを表す。項( C − A )/ Cは地球の動的楕円率または扁平率であり、地球の内部構造が十分に詳細にわかっていないため、観測された歳差運動に合わせて調整される。地球が均質であれば、項は3 次離心率の 2 乗に等しい。^[35]${\displaystyle \left(1-1.5\sin ^{2}i\right)}$

${\displaystyle e''^{2}={\frac {\mathrm {a} ^{2}-\mathrm {c} ^{2}}{\mathrm {a} ^{2}+\mathrm {c} ^{2}}}}$

ここでaは赤道半径（6 378 137  m）、cは極半径（6 356 752  m）、したがってe ² = 0.003358481 となります。

J2000.0に適用可能なパラメータは、7桁の有効数字（先頭の1を除く）に丸められたものである：^{[36] [37]}

それにより

dψS /dt ₌ 2.450183 × 10 ⁻¹² /s

dψL /dt ₌ 5.334529 × 10 ⁻¹² /秒

どちらも2πラジアン（1.296 × 10 ）の秒数で″/a（秒数/年）に変換する必要があります。 ⁶ ″/2π）と1年間の秒数（ユリウス年）（3.15576 × 10⁷ s/a):

dψ _S /dt = 15.948788″/a vs. ウィリアムズ^[5]の15.948870″/a

dψ _L /dt = 34.723638″/a vs. ウィリアムズの34.457698″/a。

太陽方程式は、地球の軌道が楕円に近く、他の惑星による影響がわずかしかないため、太陽による歳差運動をよく表しています。月の方程式は、月の軌道が太陽によって大きく歪んでおり、半径も離心率も年間を通じて一定ではないため、月による歳差運動をそれほどよく表していません。

19世紀末にサイモン・ニューカムが行った経度の一般歳差運動（ p ）の計算では、1熱帯世紀あたり5,025.64秒角という値が得られ、人工衛星がより正確な観測を提供し、電子計算機によってより精巧なモデルが計算できるようになるまで、一般的に受け入れられていた値であった。ジェイ・ヘンリー・リースケは1976年に最新の理論を開発し、pは1ユリウス世紀あたり5,029.0966秒角（または1.3969713度）に等しいとした。VLBIやLLRなどの現代の技術によってさらに改良が進み、国際天文学連合は2000年に新しい定数を採用し、2003年と2006年には新しい計算方法と多項式を採用した。累積歳差運動は次のとおりである。^[38]

p _A = 5,028.796195  T + 1.1054348  T ² + 高次の項（秒単位）、Tは2000 年以降のユリウス世紀（つまり 36,525 日）の時間です。

歳差運動の速度は次の式の導関数で表されます。

p = 5,028.796195 + 2.2108696  T + 高次項。

この速度の定数項（上記の式では1世紀あたり5,028.796195秒角）は、25,771.57534年（360度の1周を1年あたり50.28796195秒角で割った値）で歳差運動の1周に相当する^[38]が、他の情報源ではこの値を25771.4年としており、若干の不確実性が残っている。

歳差運動率は一定ではなく、（現時点では）時間とともにゆっくりと増加しています。これは、 Tの線形（および高次の）項によって示されます。いずれにせよ、この式は限られた期間にのみ有効であることを強調する必要があります。これは、J2000 データムを中心とする多項式表現であり、観測データに経験的に適合されており、太陽系の決定論的モデルに基づくものではありません。Tが十分に大きくなると（遠い未来または遠い過去）、T ² 項が支配的になり、p が非常に大きな値になることは明らかです。実際には、太陽系の数値モデルに関するより精巧な計算により、歳差運動率は黄道の傾斜角と同じ約 41,000 年の周期であることが示されています。つまり、

p = A + BT + CT ² + …

は近似値である

p = a + b sin (2π T / P )、ここでPは 41,000 年の周期です。

理論モデルはTの高次の累乗に対応する定数（係数）を計算できるかもしれないが、多項式がすべての数にわたって周期関数と一致することは不可能なので、そのような近似値の差はTが増加するにつれて際限なく大きくなる。必ずしも不完全な動的数値モデルではなく、十分に高次の多項式を観測データに当てはめることによって、限られた時間範囲で十分な精度を得ることができる。^{[説明が必要]}人工衛星や宇宙船の現在の飛行軌道計算では、多項式法の方が精度が高い。その点で、国際天文学連合は利用可能な理論の中で最も発達したものを選択した。過去および未来の数世紀までは、使用される式はどれもそれほど乖離しない。過去および未来の数千年までは、ほとんどがある程度正確であることに同意する。それより遠い時代になると、食い違いが大きくなりすぎて、これらの多項式を使用しても、歳差運動の正確な速度と周期を単一の歳差運動周期全体で計算できない可能性がある。

地球の軸の歳差運動は非常にゆっくりとした影響ですが、天文学者が研究する精度レベルでは、日常的に考慮する必要があります。歳差運動と地球の軸の傾き (黄道の傾斜) は同じ理論から計算されるため、互いに関連していますが、2 つの動きは互いに独立して、反対方向に動きます。^{[説明が必要]}

歳差運動の速度は、現在を中心とした5億年間で、59"/aから45"/a（a = annum =ユリウス年）まで潮汐消散により長期的に減少している。短期的な変動（数万年）を平均化した後、長期的傾向は、現在からの負の時間および正の時間（"/a）について、次の多項式で近似できる。ここで、Tはユリウス年（Ga）の10億単位である。 ^[39]

p ⁻ = 50.475838 − 26.368583  T + 21.890862  T ²

p ⁺ = 50.475838 − 27.000654  T + 15.603265  T ²

これにより、現在の平均周期の長さは 25,676 年になります。

歳差運動は、+30 Maから+130 Maの間、 p ⁺より+0.135052"/a というわずかな量だけ大きくなります。歳差運動の長期的な減少が、他の惑星によって引き起こされる地球の軌道の共鳴を横切り始めているため、 p ^{+ を}超えるこのジャンプは、今からわずか20 Ma以内に発生します。

WR Wardによれば、潮汐の影響で継続的に増加している月の距離が現在の60.3地球半径から約66.5地球半径に増加する約15億年後、惑星の影響による共鳴により歳差運動はまず49,000年に押し上げられ、その後、約20億年後に月が地球半径の68に達すると69,000年に押し上げられる。これは黄道傾斜角の激しい変動にも関連する。しかし、Wardは潮汐散逸に異常に大きい現代の値を使用した。^{[40]現代の値の約半分である}潮汐リズミットによって提供される6億2000万年の平均を使用すると、これらの共鳴はそれぞれ約30億年と40億年まで到達しない。しかし、太陽の明るさが徐々に増しているため、その時期（今から約21億年後）までに地球の海は蒸発してしまうでしょう。

• 天文章運動
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• 春分の経度
• ミランコビッチサイクル
• 極運動
• 恒星年
• 遠心歳差運動

Wikisource には、The New Student's Reference Work の記事「歳差運動」のテキストがあります。

• ダランベールとオイラーによる春分点歳差の解決に関する論争
• ボウリー、ロジャー、メリフィールド、マイケル。「軸歳差」。60のシンボル。ノッティンガム大学のブレイディ・ハラン。
• 地球の強制歳差運動と章動運動