エントロピー値が危険にさらされている

金融数学と確率的最適化では、リスク尺度の概念は、ランダムな結果またはリスクポジションに伴うリスクを定量化するために使用されます。これまでに多くのリスク尺度が提案されており、それぞれが特定の特性を持っています。エントロピーリスク値（EVaR）は、Ahmadi-Javid ^{[1] [2]によって導入された}一貫したリスク尺度であり、チェルノフの不等式から得られるリスク値（ VaR）と条件付きリスク値（CVaR）の上限です。EVaRは、相対エントロピーの概念を使用して表すこともできます。VaRおよび相対エントロピーとの関連から、このリスク尺度は「エントロピーリスク値」と呼ばれます。EVaRは、CVaRの計算上の非効率性^{[説明が必要]}に対処するために開発されました。 EVaRの二重表現からインスピレーションを得て、Ahmadi-Javid ^{[1] [2] は}gエントロピーリスク尺度と呼ばれる一貫したリスク尺度の幅広いクラスを開発しました。CVaRとEVaRは両方ともこのクラスのメンバーです。

をすべての単純イベントの集合、の部分集合の -代数、および上の確率測度を含む確率空間とします。をランダム変数とし、 をすべての に対してモーメント生成関数が存在するボレル測定可能関数の集合とします。の信頼水準でのエントロピー危険値 (EVaR) は次のように定義されます。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {L} _{M^{+}}}$${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M_{X}(z)}$${\displaystyle z\geq 0}$${\displaystyle X\in \mathbf {L} _{M^{+}}}$${\displaystyle 1-\alpha }$

金融では、上記の式のランダム変数は ポートフォリオの 損失をモデル化するために使用されます。${\displaystyle X\in \mathbf {L} _{M^{+}},}$

チェルノフの不等式を考えてみよう

方程式を解くと、 ${\displaystyle e^{-za}M_{X}(z)=\alpha }$${\displaystyle a,}$

${\displaystyle a_{X}(\alpha,z):=z^{-1}\ln \left({\frac {M_{X}(z)}{\alpha}}\right).}$

式（１）を考慮すると、

${\displaystyle {\text{EVaR}}_{1-\alpha }(X):=\inf _{z>0}\{a_{X}(\alpha ,z)\},}$

これは、EVaR とチェルノフの不等式の関係を示しています。 はエントロピーリスク指標または指数保険料であり、それぞれ金融と保険で使用される概念であること に留意してください。${\displaystyle a_{X}(1,z)}$

を、すべての に対してモーメント生成関数が存在するボレル測定可能関数の集合とします。EVaRの双対表現（またはロバスト表現）は次のとおりです。 ${\displaystyle \mathbf {L} _{M}}$${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$${\displaystyle M_{X}(z)}$${\displaystyle z}$

ここで、およびは、における確率測度の集合である。 ${\displaystyle X\in \mathbf {L} _{M},}$${\displaystyle \Im}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle \Im =\{Q\ll P:D_{KL}(Q||P)\leq -\ln \alpha \}}$

${\displaystyle D_{KL}(Q||P):=\int {\frac {dQ}{dP}}\left(\ln {\frac {dQ}{dP}}\right)dP}$

は、カルバック・ライブラー情報とも呼ばれる、 に関するの相対エントロピーです。EVaR の双対表現により、その命名の理由が明らかになります。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle P,}$

• EVaR は一貫したリスク測定です。

• モーメント生成関数はEVaRで表すことができる。すべての場合と${\displaystyle M_{X}(z)}$${\displaystyle X\in \mathbf {L} _{M^{+}}}$${\displaystyle z>0}$

• について、すべてについて である場合に限り、すべて について となります。${\displaystyle X,Y\in \mathbf {L} _{M}}$${\displaystyle {\text{EVaR}}_{1-\alpha }(X)={\text{EVaR}}_{1-\alpha }(Y)}$${\displaystyle \alpha \in ]0,1]}$${\displaystyle F_{X}(b)=F_{Y}(b)}$${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$

• パラメータ付きエントロピーリスク尺度はEVaRによって表すことができる。${\displaystyle \theta ,}$${\displaystyle X\in \mathbf {L} _{M^{+}}}$${\displaystyle \theta >0}$

• 信頼水準付き EVaR は、信頼水準付き VaR および CVaR のチェルノフ不等式から得られる可能な限り厳しい上限です。${\displaystyle 1-\alpha }$${\displaystyle 1-\alpha }$

• EVaR には次の不等式が当てはまります。

ここで はの期待値であり、 はの本質的な上限、すなわち です。したがっておよびが成り立ちます。${\displaystyle {\text{E}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{esssup}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \inf _{t\in \mathbb {R} }\{t:\Pr(X\leq t)=1\}}$${\displaystyle {\text{EVaR}}_{0}(X)={\text{E}}(X)}$${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}{\text{EVaR}}_{1-\alpha }(X)={\text{esssup}}(X)}$

のために${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2}),}$

のために${\displaystyle X\sim U(a,b),}$

図1と図2は、とに対するVaR、CVaR、EVaRの比較を示しています。 ${\displaystyle N(0,1)}$${\displaystyle U(0,1)}$

をリスク尺度と する。最適化問題を考える。${\displaystyle \rho }$

ここで、は次元の実数決定ベクトル、は既知の確率分布を持つ次元の実数ランダムベクトル、関数はすべての値に対してボレル測定可能な関数である。この場合、最適化問題( 10 )は次のようになる。 ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\in {\boldsymbol {W}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle G({\boldsymbol {w}},.):\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\in {\boldsymbol {W}}.}$${\displaystyle \rho ={\text{EVaR}},}$

をランダムベクトルのサポートとします。がすべての に対して凸である場合、問題( 11 )の目的関数も凸です。 が次の形式である 場合、${\displaystyle {\boldsymbol {S}}_{\boldsymbol {\psi }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}.}$${\displaystyle G(.,{\boldsymbol {s}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {s}}\in {\boldsymbol {S}}_{\boldsymbol {\psi }}}$${\displaystyle G({\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {\psi }})}$

とがにおける独立な確率変数である場合、( 11 )は ${\displaystyle \psi _{1},\ldots ,\psi _{m}}$${\displaystyle \mathbf {L} _{M}}$

これは計算上扱いやすい。しかしこの場合、問題（ 10 ）でCVaRを使用すると、結果として生じる問題は次のようになる。

の次元を増やすと、問題 ( 14 ) は単純な場合でも計算が困難になることがわかります。たとえば、が異なる値を取る独立した離散確率変数であると仮定します。 と の値が固定されている場合、問題 ( 13 )で与えられた目的関数を計算する複雑さは のオーダーですが、問題 ( 14 )の目的関数の計算時間は のオーダーです。説明のために、と 2 つの数値の合計に数秒かかると仮定します。問題 ( 14 )の目的関数を計算するには約 年かかりますが、問題 ( 13 )の目的関数の評価には約秒かかります。これは、EVaR による定式化が CVaR による定式化よりも優れていることを示しています (詳細については ^{[2] を参照)。}${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi _{1},\ldots ,\psi _{m}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\boldsymbol {w}}}$${\displaystyle t,}$${\displaystyle mk}$${\displaystyle k^{m}}$${\displaystyle k=2,m=100}$${\displaystyle 10^{-12}}$${\displaystyle 4\times 10^{10}}$${\displaystyle 10^{-10}}$

（ 3 ）で与えられたEVaRの双対表現からヒントを得て、情報理論的に一貫したリスク尺度の幅広いクラスを定義することができる。^{[1] [2]}を凸固有関数とし、を非負数とする。発散レベルのエントロピーリスク尺度は次のように定義される。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle g(1)=0}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle g}$${\displaystyle \beta }$

ここで、 はに関するの一般化された相対エントロピーです。エントロピーリスク尺度 のクラスの基本表現は次のように得られます。${\displaystyle \Im =\{Q\ll P:H_{g}(P,Q)\leq \beta \}}$${\displaystyle H_{g}(P,Q)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle g}$

ここで はの共役である。 ${\displaystyle g^{*}}$${\displaystyle g}$

とを用いてEVaR式を導くことができる。CVaRも -エントロピーリスク尺度であり、( 16 ) から次のように得られる。${\displaystyle g^{*}(x)=e^{x-1}}$${\displaystyle \beta =-\ln \alpha }$${\displaystyle g}$

および（詳細については [ ^{1] [3]を参照）。}${\displaystyle g^{*}(x)={\tfrac {1}{\alpha }}\max\{0,x\}}$${\displaystyle \beta =0}$

エントロピーリスク測定に関する詳細な結果については^{[4]を参照。}${\displaystyle g}$

サンプルEVaRの規律ある凸計画法フレームワークはCajas ^[5]によって提案され、次の形式を持っています。

ここで、、およびは変数であり、は指数錐であり、^[6]、は観測値の数です。資産の重みのベクトル、収益の行列、資産の平均ベクトルを定義すると、期待ポートフォリオ収益の水準を与えられた場合の期待EVaRの最小化は次のように表すことができます。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle t}$${\displaystyle u}$${\displaystyle K_{\text{exp}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle w}$${\displaystyle N}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\bar {\mu }}}$

^{Cajas [5]}は、EVaRの規律ある凸計画法の枠組みを非複利累積収益分布に適用し、エントロピー・ドローダウン・アット・リスク（EDaR ）最適化問題を提案した。期待収益のレベルを与えられた場合の期待EDaRの最小化は次のように表すことができる。 ${\displaystyle {\bar {\mu }}}$

ここで、はポートフォリオの非複利累積収益を表す変数であり、は資産の非複利累積収益の行列です。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle R}$

^{リスクパリティ、リターン/リスク比の最大化、EVaRとEDaRの最大リスクレベルの制約などの他の問題については、 [5]}で詳細を 確認できます。

規律ある凸計画法フレームワークを使用したEVaRおよびEDaRモデルの利点は、CVXPY ^[7]やMOSEK ^[8]などのソフトウェアを使用してこのポートフォリオ最適化問題をモデル化できることです。EVaRとEDaRは、PythonパッケージRiskfolio-Libに実装されています。^[9]

• 確率的最適化
• リスク測定
• 一貫したリスク測定
• リスクのある価値
• 条件付きリスク値
• 予想される不足額
• エントロピーリスク測定
• カルバック・ライブラー距離
• 一般相対エントロピー