テール値が危険にさらされている

金融数学において、テールバリューアットリスク( TVaR ) は、テール条件付き期待値( TCE ) または条件付きテール期待値( CTE )とも呼ばれ、より一般的なバリューアットリスクに関連付けられたリスク尺度です。これは、特定の確率レベル外のイベントが発生した場合の損失の期待値を定量化します。

文献には、TVaR に関して、関連しながらも微妙に異なる定式化が数多くあります。文献でよくあるケースは、TVaR と平均値リスクを同じ尺度として定義することです。^[1] いくつかの定式化では、基礎となる分布関数が、つまりレベル のバリューアットリスクで連続している場合にのみ、TVaR は期待不足と同等になります。^[2]他の設定では、TVaR は特定の値を超える損失の条件付き期待値であるのに対し、期待不足は、この値と発生確率の積です。^{[3]前者の定義は一般に}一貫したリスク尺度ではないかもしれませんが、基礎となる分布が連続している場合は一貫しています。^[4]後者の定義は、一貫したリスク尺度です。^[3] TVaR は、失敗の可能性だけでなく、失敗の重大性も考慮します。TVaR は、分布の裾の部分のみの 期待値の尺度です。${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}$${\displaystyle \alpha}$

標準的なテールリスク値は、分野によっては左側（大きな負の値）ですが、保険数理学などの分野では右側（大きな正の値）です。これは通常、損失を大きな負の値または正の値として扱う慣習が異なるためです。負の値の慣習を使用して、Artzner らはテールリスク値を次のように定義しています。

将来のある時点でのポートフォリオのペイオフであるランダム変数 とパラメータが与えられた場合、リスクのあるテール値は^{[5] [6] [7] [8]}で定義されます。ここ で、は で与えられる上位四分位数です。通常、ペイオフランダム変数は、期待値の存在を保証するL ^p空間にあります。 の一般的な値は5% と 1% です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle 0<\alpha <1}$ $${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=\operatorname {E} [-X|X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]=\operatorname {E} [-X|X\leq x^{\alpha }],}$$${\displaystyle x^{\alpha}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle x^{\alpha }=\inf\{x\in \mathbb {R} :\Pr(X\leq x)>\alpha \}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p\geq 1}$${\displaystyle \alpha}$

ポートフォリオのペイオフまたは対応する損失が特定の連続分布に従う場合、TVaRを計算するための閉形式の式が存在します。確率密度関数（pdf）と累積分布関数（cdf）を持つ確率分布に従う場合、左裾のTVaRは次のように表すことができます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle L=-X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$

$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=\operatorname {E} [-X|X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)d\gamma =-{\frac {1}{\alpha }}\int _{-\infty }^{F^{-1}(\alpha )}xf(x)dx.}$$

エンジニアリングや保険数理のアプリケーションでは、損失の分布を考慮するのが一般的です。この場合は、右側の TVaR が考慮されます (通常は95% または 99%)。 ${\displaystyle L=-X}$${\displaystyle \alpha}$

$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)=E[L\mid L\geq \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)]={\ frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}\operatorname {VaR} _{\gamma }(L)d\gamma ={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{F^{-1}(\alpha )}^{+\infty }yf(y)dy.}$$

以下の式の一部は左尾の場合に導出され、一部は右尾の場合に導出されたため、次の調整が役立ちます。

$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}E[X]+{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)}$$そして$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\frac {1}{1-\alpha }}E[L]+{\frac {\alpha }{1-\alpha }}\operatorname {TVaR} _{\alpha }(X).}$$

ポートフォリオのペイオフがpdfを伴う正規分布（ガウス分布）に従う場合、左側のTVaRは、標準正規pdf、標準正規cdf、標準正規分位数に等しくなります。 ^[9]${\displaystyle X}$$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$$$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\phi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }},}$$${\textstyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{x^{2}}/{2}}}$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}$

ポートフォリオの損失が正規分布に従う場合、右裾のTVaRは^{[10]に等しい。}${\displaystyle L}$ $${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)=\mu +\sigma {\frac {\phi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}.}$$

ポートフォリオのペイオフがpdfを伴う一般化スチューデントのt分布に従う場合、左側のTVaRは、標準t分布のpdf、標準t分布のcdf、標準t分布の分位数に等しくなります。[ ^9]${\displaystyle X}$$${\displaystyle f(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\pi \nu }}\sigma }}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$$$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }},}$$$${\displaystyle \tau (x)={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\pi \nu }}}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$$${\displaystyle \mathrm {T} (x)}$${\displaystyle \mathrm {T} ^{-1}(\alpha )}$

ポートフォリオの損失が一般化スチューデントのt分布に従う場合、右裾のTVaRは^{[10]に等しい。}${\displaystyle L}$ $${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)=\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}.}$$

ポートフォリオのペイオフがpdfとcdfでラプラス分布に従う場合、左側のTVaRは に等しくなります。[ ^9]${\displaystyle X}$$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}}}$$$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {x-\mu }{b}}}&{\text{if }}x\geq \mu ,\\{\frac {1}{2}}e^{\frac {x-\mu }{b}}&{\text{if }}x<\mu .\end{cases}}}$$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\mu +b(1-\ln 2\alpha )}$${\displaystyle \alpha \leq 0.5}$

ポートフォリオの損失がラプラス分布に従う場合、右裾のTVaRは^{[10]に等しい。}${\displaystyle L}$ $${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\begin{cases}\mu +b{\frac {\alpha }{1-\alpha }}(1-\ln 2\alpha )&{\text{if }}\alpha <0.5,\\[1ex]\mu +b[1-\ln(2(1-\alpha ))]&{\text{if }}\alpha \geq 0.5.\end{cases}}}$$

ポートフォリオのペイオフがpdfとcdfでロジスティック分布に従う場合、左裾のTVaRは^{[9]に等しい。}${\displaystyle X}$$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2}}$$$${\displaystyle F(x)=\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-1}}$$ $${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\mu +s\ln {\frac {(1-\alpha )^{1-{\frac {1}{\alpha }}}}{\alpha }}.}$$

ポートフォリオの損失がロジスティック分布に従う場合、右裾のTVaRは^{[10]に等しい。}${\displaystyle L}$ $${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)=\mu +s{\frac {-\alpha \ln \alpha -(1-\alpha )\ln(1-\alpha )}{1-\alpha }}.}$$

ポートフォリオの損失がpdfとcdfで指数分布に従う場合、右裾のTVaRは^{[10]に等しい。}${\displaystyle L}$$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}.}$$

ポートフォリオの損失がpdfとcdfでパレート分布に従う場合、右裾のTVaRは^{[10]に等しい。}${\displaystyle L}$$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {ax_{m}^{a}}{x^{a+1}}}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}}$$$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-(x_{m}/x)^{a}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\frac {x_{m}a}{(1-\alpha )^{1/a}(a-1)}}.}$$

ポートフォリオの損失がGPDとPDFおよびCDFに従う場合、右裾のTVaRは等しく、VaRは^[10]に等しい。${\displaystyle L}$$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}}$$$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{s}}\right)&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$$$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\begin{cases}\mu +s\left[{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }}{1-\xi }}+{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +s[1-\ln(1-\alpha )]&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \mathrm {VaR} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu -s\ln(1-\alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$$

ポートフォリオの損失がpdfとcdfでワイブル分布に従う場合、右裾のTVaRは上側不完全ガンマ関数に等しくなります。 [ 10 ^]${\displaystyle L}$$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\frac {\lambda }{1-\alpha }}\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}},-\ln(1-\alpha )\right),}$$${\displaystyle \Gamma (s,x)}$

ポートフォリオのペイオフがPDFとCDFでGEVに従う場合、左側のTVaRは に等しく、VaRは に等しくなります。ここでは上側不完全ガンマ関数、は対数積分関数です。^[11]${\displaystyle X}$$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\sigma }}\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}-1}\exp \left[-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\{\frac {1}{\sigma }}e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}e^{-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$$$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}\exp \left(-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}}\right)&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\exp \left(-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}\right)&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$$$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha \xi }}\left[\Gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-\alpha \right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha }}\left[{\text{li}}(\alpha )-\alpha \ln(-\ln \alpha )\right]&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$$$${\displaystyle \mathrm {VaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\xi }}\left[(-\ln \alpha )^{-\xi }-1\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu +\sigma \ln(-\ln \alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$$${\displaystyle \Gamma (s,x)}$${\displaystyle {\text{li}}(x)=\int {\frac {dx}{\ln x}}}$

ポートフォリオの損失がGEVに従う場合、右裾のTVaRは に等しくなります。ここでは下側不完全ガンマ関数、はオイラー・マスケローニ定数です。^[10]${\displaystyle L}$$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}\mu +{\frac {\sigma }{(1-\alpha )\xi }}\left[\gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-(1-\alpha )\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +{\frac {\sigma }{1-\alpha }}\left[y-{\text{li}}(\alpha )+\alpha \ln(-\ln \alpha )\right]&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$$${\displaystyle \gamma (s,x)}$${\displaystyle y}$

ポートフォリオのペイオフがPDFとCDFでGHS分布に従う場合、左側のTVaRは次のように表されます。ここで、は二重対数、は虚数単位です。^[11]${\displaystyle X}$$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$$$${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arctan \left[\exp \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]}$$$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\mu -{\frac {2\sigma }{\pi }}\ln \left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-{\frac {2\sigma }{\pi ^{2}\alpha }}i\left[{\text{Li}}_{2}\left(-i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-{\text{Li}}_{2}\left(i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\right],}$$${\displaystyle {\text{Li}}_{2}}$${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

ポートフォリオのペイオフがCDFを伴うジョンソンのSU分布に従う場合、左側のTVaRは標準正規分布のCDFに等しくなります。[ ^12]${\displaystyle X}$$${\displaystyle F(x)=\Phi \left[\gamma +\delta \sinh ^{-1}\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right]}$$$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\xi -{\frac {\lambda }{2\alpha }}\left[\exp \left({\frac {1-2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )-{\frac {1}{\delta }}\right)-\exp \left({\frac {1+2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )+{\frac {1}{\delta }}\right)\right],}$$${\displaystyle \Phi }$

ポートフォリオのペイオフが、pdfとcdfを持つバール型XII分布に従う場合、左裾のTVaRは、超幾何関数であるに等しい。あるいは、^[11]${\displaystyle X}$$${\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k-1}}$$$${\displaystyle F(x)=1-\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k},}$$$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\right)^{1/c}\left[\alpha -1+{_{2}F_{1}}\left({\frac {1}{c}},k;1+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}\right)\right],}$$${\displaystyle _{2}F_{1}}$ $${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{c+1}}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\right)^{1+{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}\left(1+{\frac {1}{c}},k+1;2+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}\right).}$$

ポートフォリオのペイオフがpdfとcdfを伴うダガム分布に従う場合、左側のTVaRは、超幾何関数であるに等しくなります。^[11]${\displaystyle X}$$${\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{ck-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k-1}}$$$${\displaystyle F(x)=\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{-c}\right]^{-k},}$$$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{ck+1}}\left(\alpha ^{-1/k}-1\right)^{-k-{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}\left(k+1,k+{\frac {1}{c}};k+1+{\frac {1}{c}};-{\frac {1}{\alpha ^{-1/k}-1}}\right),}$$${\displaystyle _{2}F_{1}}$

ポートフォリオのペイオフが対数正規分布に従う場合、つまりランダム変数がpdfを持つ正規分布に従う場合、左側のTVaRは に等しくなります。ここで は標準正規CDFであり、 は標準正規分位数です。^[13]${\displaystyle X}$${\displaystyle \ln(1+X)}$$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},}$$$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=1-\exp \left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right){\frac {\Phi (\Phi ^{-1}(\alpha )-\sigma )}{\alpha }},}$$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}$

ポートフォリオのペイオフが対数ロジスティック分布に従う場合、つまりランダム変数がpdf を持つロジスティック分布に従う場合、左側の TVaR は に等しくなります。 ここで は正規化された不完全ベータ関数です。${\displaystyle X}$${\displaystyle \ln(1+X)}$$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2},}$$$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }}{\alpha }}I_{\alpha }(1+s,1-s){\frac {\pi s}{\sin \pi s}},}$$${\displaystyle I_{\alpha }}$${\displaystyle I_{\alpha }(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{\alpha }(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}}$

不完全ベータ関数は正の引数に対してのみ定義されるため、より一般的なケースでは、左裾のTVaRは超幾何関数で表すことができる：^[13] $${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }\alpha ^{s}}{s+1}}{_{2}F_{1}}(s,s+1;s+2;\alpha ).}$$

ポートフォリオの損失がpdfとcdfを持つ対数ロジスティック分布に従う場合、右側のTVaRは不完全ベータ関数に等しくなります。 [ 10 ^]${\displaystyle L}$$${\displaystyle f(x)={\frac {{\frac {b}{a}}(x/a)^{b-1}}{(1+(x/a)^{b})^{2}}}}$$$${\displaystyle F(x)={\frac {1}{1+(x/a)^{-b}}},}$$$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\frac {a}{1-\alpha }}\left[{\frac {\pi }{b}}\csc \left({\frac {\pi }{b}}\right)-\mathrm {B} _{\alpha }\left({\frac {1}{b}}+1,1-{\frac {1}{b}}\right)\right],}$$${\displaystyle B_{\alpha }}$

ポートフォリオのペイオフが対数ラプラス分布に従う場合、つまりランダム変数がラプラス分布に従う場合、pdfの左側のTVaRは^{[13]に等しい。}${\displaystyle X}$${\displaystyle \ln(1+X)}$$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}},}$$ $${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}1-{\frac {e^{\mu }(2\alpha )^{b}}{b+1}}&{\text{if }}\alpha \leq 0.5,\\1-{\frac {e^{\mu }2^{-b}}{\alpha (b-1)}}\left[(1-\alpha )^{(1-b)}-1\right]&{\text{if }}\alpha >0.5.\end{cases}}}$$

ポートフォリオのペイオフがlog-GHS分布に従う場合、つまりランダム変数がpdfを持つGHS分布に従う場合、左側のTVaRは に等しくなります。ここでは超幾何関数です。^[13]${\displaystyle X}$${\displaystyle \ln(1+X)}$$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right),}$$$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=1-{\frac {1}{\alpha (\sigma +{\pi /2})}}\left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\exp {\frac {\pi \mu }{2\sigma }}\right)^{2\sigma /\pi }\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{_{2}F_{1}}\left(1,{\frac {1}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};{\frac {3}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};-\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)^{2}\right),}$$${\displaystyle _{2}F_{1}}$