予想される不足額

期待ショートフォール( ES ) はリスク尺度であり、ポートフォリオの市場リスクまたは信用リスクを評価するために金融リスク測定の分野で使用される概念です。「q% レベルでの期待ショートフォール」は、最悪のケースにおけるポートフォリオの期待収益です。ES は、損失分布の末尾の形状に敏感なバリュー アット リスクの代替手段です。 ${\displaystyle q\%}$

期待ショートフォールは、条件付きリスク値（CVaR）^[1]、 平均リスク値（AVaR）、期待テール損失（ETL）、スーパークォンタイルとも呼ばれます。^[2]

ES は投資のリスクを保守的に推定し、利益の少ない結果に焦点を当てます。 の値が高い場合、最も利益があるが起こりそうにない可能性は無視されますが、 の値が小さい場合、最悪の損失に焦点を当てます。一方、割引最大損失とは異なり、期待される不足額が低い場合でも、 は単一の最も壊滅的な結果だけを考慮しません。 の値は実際によく使用される 5% です。^{[引用が必要]}${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$

期待ショートフォールは、金融ポートフォリオのリスクの一貫した スペクトル測定であるため、VaR よりも有用なリスク測定であると考えられています。これは、特定の分位レベルに対して計算され、損失が分位レベル以下で発生している場合のポートフォリオ価値の平均損失として定義されます。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$

もし（an L ^p）が将来のある時点でのポートフォリオのペイオフであるとすると、期待される不足額は次のように定義される。 ${\displaystyle X\in L^{p}({\mathcal {F}})}$${\displaystyle 0<\alpha <1}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)\,d\gamma }$

ここで、 はリスク値です。これは次のようにも書けます。 ${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\gamma }}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}\left(\operatorname {E} [X\ 1_{\{X\leq x_{\alpha }\}}]+x_{\alpha }(\alpha -P[X\leq x_{\alpha }])\right)}$

ここで、は下限値であり、は指標関数である。^[3]連続分布関数を持つランダム変数の場合、2番目の項は消える点に注意する。 ${\displaystyle x_{\alpha }=\inf\{x\in \mathbb {R} :P(X\leq x)\geq \alpha \}=-\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle 1_{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A\\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

二重表現は

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=\inf _{Q\in {\mathcal {Q}}_{\alpha }}E^{Q}[X]}$

ここで は、ほぼ確実にとなるような、物理的測度に絶対連続な確率測度の集合である。^{[4] は}の に関するラドン・ニコディム微分であることに注意すること。 ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\alpha}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}\leq \alpha ^{-1}}$ ${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$

期待ショートフォールは、対応する双対空間における対応する双対特性を持つ空間（Lp空間）上の首尾一貫したリスク尺度の一般的なクラスに一般化できます。この領域は、より一般的なオルリッツハートに拡張できます。^[5]${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{q}}$

の基礎分布が連続分布である場合、期待不足はによって定義される裾の条件付き期待値に等しい。^[6]${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {TCE} _{\alpha }(X)=E[-X\mid X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]}$

非公式かつ非厳密ではありますが、この式は「損失が非常に深刻で、アルファ パーセントの時間しか発生しない場合、平均損失はいくらか」ということを言っていることになります。

期待不足は、歪み関数によって与えられる歪みリスク指標として表すこともできる。

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {x}{1-\alpha }}&{\text{if }}0\leq x<1-\alpha ,\\1&{\text{if }}1-\alpha \leq x\leq 1.\end{cases}}\quad }$^{[7] [8]}

例 1. ポートフォリオの起こり得る結果のうち最悪の 5% での平均損失が 1,000 ユーロであると考えられる場合、5% のテールで予想される不足額は 1,000 ユーロであると言えます。

例 2. 期間の終了時に次の値を持つポートフォリオを検討します。

ここで、このポートフォリオの期間の初めに 100 を支払ったと仮定します。この場合、各ケースの利益は (終了値-100) または次のようになります。

この表から、いくつかの値に対する期待不足を計算してみましょう。 ${\displaystyle \operatorname {ES} _{q}}$${\displaystyle q}$

これらの値がどのように計算されたかを確認するには、最悪の 5% のケースの期待値である の計算を検討してください。これらのケースは利益表の行 1 に属し (サブセットであり)、利益は -100 (投資した 100 の合計損失) です。これらのケースの期待利益は -100 です。 ${\displaystyle \operatorname {ES} _{0.05}}$

ここで、100 ケースのうち最悪の 20 ケースの期待値を計算することを考えてみましょう。これらのケースは次のようになります。1 行目から 10 ケース、2 行目から 10 ケースです (10+10 が望ましい 20 ケースに等しいことに注意してください)。1 行目では利益は -100 ですが、2 行目では利益は -20 です。期待値の式を使用すると、次のようになります。 ${\displaystyle \operatorname {ES} _{0.20}}$

${\displaystyle {\frac {{\frac {10}{100}}(-100)+{\frac {10}{100}}(-20)}{\frac {20}{100}}}=- 60.}$

同様に、 の任意の値についても同様です。 の累積確率を求めるのに必要な数の行を上から順に選択し、それらのケースの期待値を計算します。一般に、最後に選択した行は完全には使用されない場合があります (たとえば、計算では、行 2 で提供される 100 あたりの 30 ケースのうち 10 ケースのみを使用しました)。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle -\operatorname {ES} _{0.20}}$

最後の例として、 を計算します。これはすべてのケースの期待値であり、 ${\displaystyle -\operatorname {ES} _{1}}$

${\displaystyle 0.1(-100)+0.3(-20)+0.4\cdot 0+0.2\cdot 50=-6.\,}$

比較のために、リスク値( VaR) を以下に示します。

が減少するにつれて、予想される不足額は増加します。 ${\displaystyle \operatorname {ES} _{q}}$${\displaystyle q}$

100% 分位期待不足は、ポートフォリオの 期待値のマイナスに等しくなります。${\displaystyle \operatorname {ES} _{1}}$

特定のポートフォリオの場合、予想される不足額は、同じレベルにおけるリスク値以上になります。 ${\displaystyle \operatorname {ES} _{q}}$${\displaystyle \operatorname {VaR} _{q}}$${\displaystyle q}$

期待ショートフォールは、標準的な形式では、一般的に非凸最適化問題につながることが知られています。しかし、問題を線形計画に変換して、グローバルソリューションを見つけることは可能です。^{[9]この特性により、期待ショートフォールは、収益分布の高次モーメント（歪度や尖度など）を考慮する}平均分散 ポートフォリオ最適化の代替案の基礎となります。

ポートフォリオの期待不足を最小化したいとします。Rockafellar と Uryasev が 2000 年の論文で貢献したのは、期待不足の補助関数を導入したことです。ここで、 と は、リターンに適用されるポートフォリオのウェイト セットの損失関数です。Rockafellar/Uryasev は、 がに関して凸であり、 が最小点での期待不足に等しいことを証明しました。ポートフォリオ リターン セットの期待不足を数値的に計算するには、ポートフォリオ構成要素のシミュレーションを生成する必要があります。これは、多くの場合、コピュラ を使用して行われます。これらのシミュレーションを使用すると、補助関数は次のように近似できます。これは、次の定式化に相当します。最後に、線形損失関数を選択すると、最適化問題が線形計画法になります。標準的な方法を使用すると、期待不足を最小化するポートフォリオを簡単に見つけることができます。 ${\displaystyle F_{\alpha }(w,\gamma )}$$${\displaystyle F_{\alpha }(w,\gamma )=\gamma +{1 \over {1-\alpha }}\int _{\ell (w,x)\geq \gamma }\left[\ell (w,x)-\gamma \right]_{+}p(x)\,dx}$$${\displaystyle \gamma =\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}$${\displaystyle \ell (w,x)}$${\displaystyle w\in \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle F_{\alpha }(w,\gamma )}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle J}$$${\displaystyle {\widetilde {F}}_{\alpha }(w,\gamma )=\gamma +{1 \over {(1-\alpha )J}}\sum _{j=1}^{J}[\ell (w,x_{j})-\gamma ]_{+}}$$$${\displaystyle \min _{\gamma ,z,w}\;\gamma +{1 \over {(1-\alpha )J}}\sum _{j=1}^{J}z_{j},\quad {\text{s.t. }}z_{j}\geq \ell (w,x_{j})-\gamma ,\;z_{j}\geq 0}$$${\displaystyle \ell (w,x_{j})=-w^{T}x_{j}}$

ポートフォリオのペイオフまたは対応する損失が特定の連続分布に従う場合、期待される不足額を計算するための閉じた形式の公式が存在します。前者の場合、期待される不足額は、以下の左側の条件付き期待値の反対の数に対応します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle L=-X}$${\displaystyle -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=E[-X\mid X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]=-{\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)\,d\gamma =-{\frac {1}{\alpha }}\int _{-\infty }^{-\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}xf(x)\,dx.}$

この場合の の典型的な値は 5% と 1% です。 ${\textstyle \alpha }$

工学や保険数理のアプリケーションでは、損失の分布を考慮するのが一般的です。この場合の期待される不足額は、上記の右側の条件付き期待値に対応し、 の典型的な値は95% と 99% です。 ${\displaystyle L=-X}$${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\operatorname {E} [L\mid L\geq \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)]={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}\operatorname {VaR} _{\gamma }(L)\,d\gamma ={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\operatorname {VaR} _{\alpha }(L)}^{+\infty }yf(y)\,dy.}$

以下の式の一部は左尾の場合に導出され、一部は右尾の場合に導出されたため、次の調整が役立ちます。

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}\operatorname {E} [X]+{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\operatorname {ES} _{\alpha }(L){\text{ and }}\operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {1}{1-\alpha }}\operatorname {E} [L]+{\frac {\alpha }{1-\alpha }}\operatorname {ES} _{\alpha }(X).}$

ポートフォリオのペイオフがpdfの正規分布（ガウス分布）に従う場合、期待不足額は に等しくなります。ここで は標準正規pdf、は標準正規cdf、 は標準正規分位数です。^[10]${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\varphi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }}}$${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}$

ポートフォリオの損失が正規分布に従う場合、期待損失はに等しくなります。^[11]${\displaystyle L}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +\sigma {\frac {\varphi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}}$

ポートフォリオのペイオフがpdfの一般化スチューデントt分布に従う場合、期待ショートフォールは に等しくなります。ここでは標準t分布のpdf、は標準t分布のcdf、 は標準t分布の分位数です。^[10]${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\pi \nu }}\sigma }}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }}}$${\displaystyle \tau (x)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu +1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu }{2}}{\bigr )}{\sqrt {\pi \nu }}}}{\Bigl (}1+{\frac {x^{2}}{\nu }}{\Bigr )}^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$${\displaystyle \mathrm {T} (x)}$${\displaystyle \mathrm {T} ^{-1}(\alpha )}$

ポートフォリオの損失が一般化スチューデントのt分布に従う場合、期待損失はに等しくなります。^[11]${\displaystyle L}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}}$

ポートフォリオのペイオフがラプラス分布に従う場合、pdf ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-|x-\mu |/b}}$

そしてCDF

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-{\frac {1}{2}}e^{-(x-\mu )/b}&{\text{if }}x\geq \mu ,\\[4pt]{\frac {1}{2}}e^{(x-\mu )/b}&{\text{if }}x<\mu .\end{cases}}}$

期待不足額は となる。[ ^10]${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +b(1-\ln 2\alpha )}$${\displaystyle \alpha \leq 0.5}$

ポートフォリオの損失がラプラス分布に従う場合、期待損失は^{[11]に等しい。}${\displaystyle L}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +b{\frac {\alpha }{1-\alpha }}(1-\ln 2\alpha )&{\text{if }}\alpha <0.5,\\[4pt]\mu +b[1-\ln(2(1-\alpha ))]&{\text{if }}\alpha \geq 0.5.\end{cases}}}$

ポートフォリオのペイオフがpdfとcdfを持つロジスティック分布に従う場合、期待不足額はに等しくなります。^[10]${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2}}$${\displaystyle F(x)=\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-1}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +s\ln {\frac {(1-\alpha )^{1-{\frac {1}{\alpha }}}}{\alpha }}}$

ポートフォリオの損失がロジスティック分布に従う 場合、期待損失は に等しくなります。^[11]${\displaystyle L}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +s{\frac {-\alpha \ln \alpha -(1-\alpha )\ln(1-\alpha )}{1-\alpha }}}$

ポートフォリオの損失がpdfとcdfの指数分布に従う 場合、期待損失はに等しくなります。^[11]${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}}$

ポートフォリオの損失がpdfとcdfを持つパレート分布に従う場合、期待損失はに等しくなります。^[11]${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {ax_{m}^{a}}{x^{a+1}}}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}}$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-(x_{m}/x)^{a}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {x_{m}a}{(1-\alpha )^{1/a}(a-1)}}}$

ポートフォリオの損失がGPDに従う場合、pdf ${\displaystyle L}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}}$

そしてCDF

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}\right)^{-1/\xi }&{\text{if }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{s}}\right)&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$

期待される不足額は

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s\left[{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }}{1-\xi }}+{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +s\left[1-\ln(1-\alpha )\right]&{\text{if }}\xi =0,\end{cases}}}$

^{そしてVaRは[11]}に等しい。

${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu -s\ln(1-\alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$

ポートフォリオの損失が確率密度関数と累積分布関数のワイブル分布に従う場合、期待不足額は （上側不完全ガンマ関数 ）に等しくなります。[ 11 ^]${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {\lambda }{1-\alpha }}\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}},-\ln(1-\alpha )\right)}$${\displaystyle \Gamma (s,x)}$

ポートフォリオのペイオフがPDFとCDFでGEVに従う場合、期待ショートフォールは に等しく、VaRは に等しくなります。ここでは上側不完全ガンマ関数、は対数積分関数です。^[12]${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\sigma }}\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}-1}\exp \left[-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{1}/{\xi }}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\{\frac {1}{\sigma }}e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}e^{-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}\exp \left(-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{1}/{\xi }}\right)&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\exp \left(-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}\right)&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha \xi }}{\big [}\Gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-\alpha {\big ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha }}{\big [}{\text{li}}(\alpha )-\alpha \ln(-\ln \alpha ){\big ]}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\xi }}\left[(-\ln \alpha )^{-\xi }-1\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu +\sigma \ln(-\ln \alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$${\displaystyle \Gamma (s,x)}$${\displaystyle \mathrm {li} (x)=\int {\frac {dx}{\ln x}}}$

ポートフォリオの損失がGEVに従う 場合、期待不足額は に等しくなります。ここでは下側不完全ガンマ関数、はオイラー・マスケローニ定数です。^[11]${\displaystyle L}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}\mu +{\frac {\sigma }{(1-\alpha )\xi }}{\bigl [}\gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-(1-\alpha ){\bigr ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +{\frac {\sigma }{1-\alpha }}{\bigl [}y-{\text{li}}(\alpha )+\alpha \ln(-\ln \alpha ){\bigr ]}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$${\displaystyle \gamma (s,x)}$${\displaystyle y}$

ポートフォリオのペイオフがpdfとcdfのGHS分布に従う場合、期待不足額は に等しくなります。ここでは二重対数、 は虚数単位です。^[12]${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arctan \left[\exp \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu -{\frac {2\sigma }{\pi }}\ln \left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-{\frac {2\sigma }{\pi ^{2}\alpha }}i\left[\operatorname {Li} _{2}\left(-i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-\operatorname {Li} _{2}\left(i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\right]}$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}}$${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

ポートフォリオのペイオフがcdfを持つジョンソンのSU分布に従う場合、期待不足額は に等しくなります。ここで は標準正規分布のcdfです。^[13]${\displaystyle X}$${\displaystyle F(x)=\Phi \left[\gamma +\delta \sinh ^{-1}\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right]}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\xi -{\frac {\lambda }{2\alpha }}\left[\exp \left({\frac {1-2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)\;\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )-{\frac {1}{\delta }}\right)-\exp \left({\frac {1+2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)\;\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )+{\frac {1}{\delta }}\right)\right]}$${\displaystyle \Phi }$

ポートフォリオのペイオフがバールXII型分布の pdfとcdfに従う場合、期待不足額は （ は超幾何関数 ）に等しくなります。あるいは、となります。^[12]${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k-1}}$${\displaystyle F(x)=1-\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\right)^{1/c}\left[\alpha -1+{_{2}F_{1}}\left({\frac {1}{c}},k;1+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}\right)\right]}$${\displaystyle _{2}F_{1}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{c+1}}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\right)^{1+{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}\left(1+{\frac {1}{c}},k+1;2+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}\right)}$

ポートフォリオのペイオフが確率密度関数、累積分布関数のダガム分布に従う場合、期待不足額は（ は超幾何関数 ）に等しくなります。^[12]${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{ck-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k-1}}$${\displaystyle F(x)=\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{-c}\right]^{-k}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{ck+1}}\left(\alpha ^{-1/k}-1\right)^{-k-{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}\left(k+1,k+{\frac {1}{c}};k+1+{\frac {1}{c}};-{\frac {1}{\alpha ^{-1/k}-1}}\right)}$${\displaystyle _{2}F_{1}}$

ポートフォリオのペイオフが対数正規分布に従う場合、つまりランダム変数が確率密度関数の正規分布に従う場合、期待不足額は に等しくなります。ここで は標準正規累積分布関数であり、 も標準正規分位数です。^[14]${\displaystyle X}$${\displaystyle \ln(1+X)}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-\exp \left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right){\frac {\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )-\sigma \right)}{\alpha }}}$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}$

ポートフォリオのペイオフが対数ロジスティック分布に従う場合、つまりランダム変数がpdf のロジスティック分布に従う場合、期待不足額は に等しくなります。 ここで、 は正規化された不完全ベータ関数です。${\displaystyle X}$${\displaystyle \ln(1+X)}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }}{\alpha }}I_{\alpha }(1+s,1-s){\frac {\pi s}{\sin \pi s}}}$${\displaystyle I_{\alpha }}$${\displaystyle I_{\alpha }(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{\alpha }(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}}$

不完全ベータ関数は正の引数に対してのみ定義されるため、より一般的なケースでは期待される不足分は超幾何関数で表すことができる。[ 14 ^]${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }\alpha ^{s}}{s+1}}{_{2}F_{1}}(s,s+1;s+2;\alpha )}$

ポートフォリオの損失がpdfとcdfの対数ロジスティック分布に従う場合、期待不足額は （不完全ベータ関数 ）に等しくなります。 [ 11 ^]${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)={\frac {{\frac {b}{a}}(x/a)^{b-1}}{(1+(x/a)^{b})^{2}}}}$${\displaystyle F(x)={\frac {1}{1+(x/a)^{-b}}}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {a}{1-\alpha }}\left[{\frac {\pi }{b}}\csc \left({\frac {\pi }{b}}\right)-\mathrm {B} _{\alpha }\left({\frac {1}{b}}+1,1-{\frac {1}{b}}\right)\right]}$${\displaystyle B_{\alpha }}$

ポートフォリオのペイオフが対数ラプラス分布に従う場合、つまりランダム変数がラプラス分布のpdfに従う場合、期待不足額は ${\displaystyle X}$${\displaystyle \ln(1+X)}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}}}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}1-{\frac {e^{\mu }(2\alpha )^{b}}{b+1}}&{\text{if }}\alpha \leq 0.5,\\1-{\frac {e^{\mu }2^{-b}}{\alpha (b-1)}}\left[(1-\alpha )^{(1-b)}-1\right]&{\text{if }}\alpha >0.5.\end{cases}}}$^[14]

ポートフォリオのペイオフが対数GHS分布に従う場合、つまりランダム変数がpdfのGHS分布に従う場合、期待ショートフォールは次の式に等しくなります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \ln(1+X)}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {1}{\alpha (\sigma +{\pi /2})}}\left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\exp {\frac {\pi \mu }{2\sigma }}\right)^{2\sigma /\pi }\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{_{2}F_{1}}\left(1,{\frac {1}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};{\frac {3}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};-\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)^{2}\right),}$

ここで は超幾何関数である。^[14]${\displaystyle _{2}F_{1}}$

時刻tにおける期待不足額の条件付きバージョンは次のように定義される。

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }^{t}(X)=\operatorname {ess\sup } _{Q\in {\mathcal {Q}}_{\alpha }^{t}}E^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{t}]}$

ここで。^{[15] [16]}${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\alpha }^{t}=\left\{Q=P\,\vert _{{\mathcal {F}}_{t}}:{\frac {dQ}{dP}}\leq \alpha _{t}^{-1}{\text{ a.s.}}\right\}}$

これは時間的に一貫したリスク指標ではない。時間的に一貫したバージョンは次のように与えられる。

${\displaystyle \rho _{\alpha }^{t}(X)=\operatorname {ess\sup } _{Q\in {\tilde {\mathcal {Q}}}_{\alpha }^{t}}E^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{t}]}$

つまり^[17]

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {Q}}}_{\alpha }^{t}=\left\{Q\ll P:\operatorname {E} \left[{\frac {dQ}{dP}}\mid {\mathcal {F}}_{\tau +1}\right]\leq \alpha _{t}^{-1}\operatorname {E} \left[{\frac {dQ}{dP}}\mid {\mathcal {F}}_{\tau }\right]\;\forall \tau \geq t{\text{ a.s.}}\right\}.}$

• 一貫したリスク測定
• 確率的計画法のための EMP – ES と VaR を含む最適化問題の解決技術
• エントロピー値が危険にさらされている
• リスクのある価値

VaRとESの統計的推定法については、Embrechts et al. ^[18]およびNovak ^[19]に述べられている。VaRとESを予測する場合、またはテールリスクを最小化するためにポートフォリオを最適化する場合は、自己回帰、非対称ボラティリティ、歪度、尖度など、株式リターンの分布における非対称依存性と非正規性を考慮することが重要である。^[20]