一貫したリスク測定

保険数理学と金融経済学の分野では、リスクを定義する方法が数多くあります。概念を明確にするために、理論家はリスク尺度が持つ可能性のある、または持たない可能性のあるいくつかの特性について説明してきました。一貫性のあるリスク尺度は、単調性、劣加法性、同次性、および並進不変性の特性を満たす関数です。

適切な確率空間上で定義された測定可能な関数の線形空間の要素として見られるランダムな結果について考えてみましょう。関数→は、次の特性を満たす場合、コヒーレントリスク尺度であると言われます。 ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \varrho :{\mathcal {L}}}$${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \varrho (0)=0}$

つまり、資産を保有していない場合のリスクはゼロです。

${\displaystyle \mathrm {もし} \;Z_{1},Z_{2}\in {\mathcal {L}}\;\mathrm {かつ} \;Z_{1}\leq Z_{2}\;\mathrm {as} ならば、\;\mathrm {then} \;\varrho (Z_{1})\geq \varrho (Z_{2})}$

つまり、ほぼすべてのシナリオにおいてポートフォリオがポートフォリオよりも常に良い値を持つ場合、 のリスクはのリスクよりも小さくなるはずです。^[2]たとえば、が株式のインザマネーのコールオプション（またはその他）であり、 がより低い行使価格のインザマネーのコールオプションである場合。金融リスク管理において、単調性は、将来の収益が大きいポートフォリオの方がリスクが低いことを意味します。 ${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle Z_{2}}$

${\displaystyle \mathrm {もし} \;Z_{1},Z_{2}\in {\mathcal {L}},\;\mathrm {ならば} \;\varrho (Z_{1}+Z_{2})\leq \varrho (Z_{1})+\varrho (Z_{2})}$

実際、2つのポートフォリオを合わせたリスクは、2つのリスクを別々に加算した場合よりも悪化することはありません。これが分散化の原則です。金融リスク管理では、サブ加法性は分散化が有益であることを意味します。サブ加法性の原則は、時には問題視されることもあります。^{[3] [4]}

${\displaystyle \mathrm {If} \;\alpha \geq 0\;\mathrm {and} \;Z\in {\mathcal {L}},\;\mathrm {then} \;\varrho (\alpha Z )=\alpha \varrho (Z)}$

大まかに言えば、ポートフォリオを 2 倍にするとリスクも 2 倍になります。金融リスク管理において、正の均質性は、ポジションのリスクがそのサイズに比例することを意味します。

が保証されたリターンを持つ決定論的ポートフォリオである 場合、${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\displaystyle Z\in {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \varrho (Z+A)=\varrho (Z)-a}$

ポートフォリオは、ポートフォリオに現金を追加するだけです。特に、 の場合。金融リスク管理において、変換不変性は、一定額の資本を追加すると、リスクが同じ額だけ減少することを意味します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle a=\varrho (Z)}$${\displaystyle \varrho (Z+A)=0}$

一貫性の概念はその後緩和され、劣加法性と正の同次性の概念は凸性の概念に置き換えられました。^[5]

凸状

${\displaystyle {\text{Z_{1},Z_{2}\in {\mathcal {L}}{\text{かつ}\lambda \in [0,1]{\text{ならば}}\varrho (\lambda Z_{1}+(1-\lambda )Z_{2})\leq \lambda \varrho (Z_{1})+(1-\lambda )\varrho (Z_{2})}$

バリュー・アット・リスクは 劣加法性を考慮していないため、一貫したリスク指標ではないことはよく知られています。直接的な結果として、バリュー・アット・リスクは分散投資を阻害する可能性があります。^{[1]ただし、ポートフォリオの価値が資産価格の線形関数である場合、損失が} 楕円分布（たとえば正規分布）すると仮定すると、バリュー・アット・リスクは一貫性があります。ただし、この場合、バリュー・アット・リスクは、ポートフォリオのリスクがポートフォリオのリターンの分散によって測定される平均分散アプローチと同等になります。

リスク値の Wang 変換関数 (歪み関数) は です。 の非凹性は、 このリスク尺度の非一貫性を証明します。 ${\displaystyle g(x)=\mathbf {1} _{x\geq 1-\alpha }}$${\displaystyle g}$

図

バリュー・アット・リスクの非一貫性を示す簡単な例として、当社のニューメレール通貨建てで 1 年後に満期を迎える 2 つのデフォルト可能なゼロクーポン債券の今後 1 年間のポートフォリオの VaR を 95% の信頼度で見てみましょう。

次のように仮定します。

• 2つの債券の現在の利回りは0％です
• 2つの債券は異なる発行体からのものである
• 各債券は今後1年間でデフォルトする確率が4％である。
• いずれかの債券のデフォルト事象は、他の債券とは独立している。
• 債務不履行の場合、債券の回収率は30％である。

これらの条件下では、いずれかの債券を保有する場合の 95% VaR は、デフォルトの確率が 5% 未満であるため 0 です。ただし、各債券を価値で 50% ずつ含むポートフォリオを保有した場合、少なくとも 1 つの債券がデフォルトする確率は 7.84% (= 1 - 0.96*0.96) であり、5% を超えるため、95% VaR は 35% (= 0.5*0.7 + 0.5*0) になります。これは、VaR が一貫したリスク測定ではないことを示す部分加法性プロパティに違反しています。

平均リスク値（期待ショートフォール、条件付きリスク値、またはと呼ばれることもある）は、一貫性のあるリスク尺度であるが、そうではないリスク値から導出されたものである。この領域は、より一般的なLp空間から、より一般的なオルリッツハートに拡張することができる。^[6]${\displaystyle AVaR}$

エントロピー値は一貫したリスク指標である。^[7]

テール値アットリスク（またはテール条件付き期待値）は、基礎となる分布が連続している場合にのみ、一貫したリスク指標となります。

リスクのある裾の値の Wang 変換関数 (歪み関数)は です。 の凹面性は、 連続分布の場合にこのリスク尺度が一貫していることを証明します。 ${\displaystyle g(x)=\min({\frac {x}{\alpha }},1)}$${\displaystyle g}$

PH リスク指標 (または比例ハザードリスク指標) は、係数を使用してハザード率を変換します。 ${\displaystyle \scriptstyle \left(\lambda (t)={\frac {f(t)}{{\bar {F}}(t)}}\right)}$${\displaystyle \xi }$

PH リスク指標の Wang 変換関数 (歪み関数) は です。 の凹面性は 、このリスク指標の一貫性を証明します。 ${\displaystyle g_{\alpha }(x)=x^{\xi }}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \scriptstyle \xi <{\frac {1}{2}}}$

gエントロピーリスク尺度は、CVaRやEVaRなどの重要なケースを含む情報理論的コヒーレントリスク尺度の一種である。^[7]

Wang リスク尺度は、次の Wang 変換関数 (歪み関数) によって定義されます 。このリスク尺度の一貫性は、 の凹面性の結果です。 ${\displaystyle g_{\alpha }(x)=\Phi \left[\Phi ^{-1}(x)-\Phi ^{-1}(\alpha )\right]}$${\displaystyle g}$

エントロピーリスク尺度は、一貫性のない凸型リスク尺度です。これは指数的効用と関連しています。

スーパーヘッジ価格は一貫したリスク尺度です。

資産の単位でリスクを測定できるようなポートフォリオの値を持つ状況では、ポートフォリオのセットがリスクを表す適切な方法です。セット値のリスク測定は、取引コストが の市場で役立ちます。^[8]${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle n\leq d}$

集合値コヒーレントリスク尺度は関数であり、ここでは定数ソルベンシーコーンであり、は参照資産のポートフォリオの集合である。 は次のような性質を持つ必要がある: ^[9]${\displaystyle R:L_{d}^{p}\rightarrow \mathbb {F} _{M}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{M}=\{D\subseteq M:D=cl(D+K_{M})\}}$${\displaystyle K_{M}=K\cap M}$${\displaystyle K}$${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$${\displaystyle R}$

正規化

${\displaystyle K_{M}\subseteq R(0)\;\mathrm {and} \;R(0)\cap -\mathrm {int} K_{M}=\emptyset }$

M での翻訳

${\displaystyle \forall X\in L_{d}^{p},\forall u\in M:R(X+u1)=R(X)-u}$

単調

${\displaystyle \forall X_{2}-X_{1}\in L_{d}^{p}(K)\Rightarrow R(X_{2})\supseteq R(X_{1})}$

サブリニア

累積分布関数のWang変換

累積分布関数のWang変換は増加関数であり、と なる。^{[10]この関数は}歪み関数またはWang変換関数 と呼ばれる。${\displaystyle g\colon [0,1]\rightarrow [0,1]}$${\displaystyle g(0)=0}$${\displaystyle g(1)=1}$

双対歪み関数は である。^{[11] [12]}確率空間 が与えられたとき、任意のランダム変数と任意の歪み関数に対して、任意の に対して次の式が成り立つよう な新しい確率測度を定義することができる。 ^[11]${\displaystyle {\tilde {g}}(x)=1-g(1-x)}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} (A)=g(\mathbb {P} (X\in A)).}$

保険数理保険料原則

任意の増加する凹型ワング変換関数に対して、対応するプレミアム原理を定義することができる：^[10] ${\displaystyle \varrho (X)=\int _{0}^{+\infty }g\left({\bar {F}}_{X}(x)\right)dx}$

一貫したリスク測定

一貫したリスク指標は、累積分布関数のWang変換によって定義することができ 、その場合、関数 は凹面となる。^[10]${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$

サブ線形特性ではなく、Rが凸である場合、R はセット値の凸リスク尺度です。

下半連続凸リスク指標は次のように表される。 ${\displaystyle \varrho }$

${\displaystyle \varrho (X)=\sup _{Q\in {\mathcal {M}}(P)}\{E^{Q}[-X]-\alpha (Q)\}}$

はペナルティ関数であり、はP （「現実世界の」確率測度）に関して絶対連続な確率測度の集合、すなわち である。双対的な特徴付けは、空間、オルリッツハート、およびそれらの双対空間に関連付けられている。^[6]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\mathcal {M}}(P)}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(P)=\{Q\ll P\}}$${\displaystyle L^{p}}$

下半連続リスク尺度が首尾一貫しているのは、それが次のように表される場合のみである。

${\displaystyle \varrho (X)=\sup _{Q\in {\mathcal {Q}}}E^{Q}[-X]}$

となる。^[13]${\displaystyle {\mathcal {Q}}\subseteq {\mathcal {M}}(P)}$

• リスク指標- リスク測定が定量化する抽象的な概念
• RiskMetrics - リスク管理のモデル
• スペクトルリスク測定- 一貫性のあるリスク測定のサブセット
• 歪みリスク測定
• 条件付きバリュー・アット・リスク
• エントロピー値が危険にさらされている
• 財務リスク