リスク測定

金融数学では、リスク尺度は、準備金として保持する資産または資産セット（伝統的には通貨）の量を決定するために使用されます。この準備金の目的は、銀行や保険会社などの金融機関が負うリスクを規制当局が許容できるようにすることです。近年、凸型で一貫したリスク測定に注目が集まっています。

リスク尺度は、ランダム変数の集合から実数へのマッピングとして定義されます。このランダム変数の集合はポートフォリオのリターンを表します。ランダム変数に関連付けられたリスク尺度の一般的な表記法はです。リスク尺度には、次の特定のプロパティが必要です。^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle \rho (X)}$${\displaystyle \rho :{\mathcal {L}}\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$

正規化

${\displaystyle \rho (0)=0}$

翻訳的

${\displaystyle \mathrm {If} \;a\in \mathbb {R} \;\mathrm {and} \;Z\in {\mathcal {L}},\;\mathrm {then} \;\rho ( Z+a)=\rho(Z)-a}$

単調

${\displaystyle \mathrm {If} \;Z_{1},Z_{2}\in {\mathcal {L}}\;\mathrm {and} \;Z_{1}\leq Z_{2},\; \mathrm {then} \;\rho (Z_{2})\leq \rho (Z_{1})}$

資産の単位でリスクを測定できるようなポートフォリオの値を持つ状況では、ポートフォリオのセットがリスクを表す適切な方法です。セット値のリスク測定は、取引コストが の市場で役立ちます。^[2]${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle m\leq d}$

集合値リスク尺度は関数であり、 は-次元Lp空間、は定数ソルベンシーコーン、 は参照資産のポートフォリオの集合である。 は次のような性質を持つ必要がある: ^[3]${\displaystyle R:L_{d}^{p}\rightarrow \mathbb {F} _{M}}$${\displaystyle L_{d}^{p}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb {F} _{M}=\{D\subseteq M:D=cl(D+K_{M})\}}$${\displaystyle K_{M}=K\cap M}$${\displaystyle K}$${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$${\displaystyle R}$

正規化

${\displaystyle K_{M}\subseteq R(0){\text{ かつ }}R(0)\cap -\operatorname {int} K_{M}=\emptyset }$

M での翻訳

${\displaystyle \forall X\in L_{d}^{p},\forall u\in M:R(X+u1)=R(X)-u}$

単調

${\displaystyle \forall X_{2}-X_{1}\in L_{d}^{p}(K)\Rightarrow R(X_{2})\supseteq R(X_{1})}$

• リスクのある価値
• 予想される不足額
• 重ね合わせたリスク尺度^[4]
• エントロピー値が危険にさらされている
• ドローダウン
• 末尾条件付き期待値
• エントロピーリスク測定
• スーパーヘッジ価格
• 期待通り

分散（または標準偏差）は、上記の意味でのリスク尺度ではありません。これは、分散が並進特性も単調性も持たないことからわかります。つまり、すべての に対して であり、単調性の簡単な反例を見つけることができます。標準偏差は偏差リスク尺度です。混乱を避けるために、分散や標準偏差などの偏差リスク尺度は、さまざまな分野でリスク尺度と呼ばれることがあることに注意してください。 ${\displaystyle Var(X+a)=Var(X)\neq Var(X)-a}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

受容集合とそれに対応するリスク尺度の間には1対1の対応関係がある。以下に定義されるように、およびであることが示される。^[5]${\displaystyle R_{A_{R}}(X)=R(X)}$${\displaystyle A_{R_{A}}=A}$

• が（スカラー）リスク尺度である場合、 は受け入れセットです。${\displaystyle \rho}$${\displaystyle A_{\rho }=\{X\in L^{p}:\rho (X)\leq 0\}}$
• が集合値リスク尺度である場合、 は受け入れ集合です。${\displaystyle R}$${\displaystyle A_{R}=\{X\in L_{d}^{p}:0\in R(X)\}}$

• が受け入れセット（1-d 内）である場合、 （スカラー）リスク尺度を定義します。${\displaystyle A}$${\displaystyle \rho _{A}(X)=\inf\{u\in \mathbb {R} :X+u1\in A\}}$
• が受け入れセットである場合、 はセット値のリスク尺度です。${\displaystyle A}$${\displaystyle R_{A}(X)=\{u\in M:X+u1\in A\}}$

偏差リスク尺度Dと期待有界リスク尺度の間には1対1の関係があり、任意の ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle X\in {\mathcal {L}}^{2}}$

• ${\displaystyle D(X)=\rho (X-\mathbb {E} [X])}$
• ${\displaystyle \rho (X)=D(X)-\mathbb {E} [X]}$。

${\displaystyle \rho}$は、任意の非定数Xと任意の定数Xに対してを満たすとき、期待値有界であると呼ばれる。^[6]${\displaystyle \rho (X)>\mathbb {E} [-X]}$${\displaystyle \rho (X)=\mathbb {E} [-X]}$

• Crouhy, Michel; D. Galai; R. Mark (2001).リスク管理. McGraw-Hill . 752 ページ. ISBN 978-0-07-135731-9。
• ケビン・ダウド（2005年）『市場リスクの測定（第2版）』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、410ページ。ISBN 978-0-470-01303-8。

• フォルマー、ハンス。アレクサンダー・シード（2004）。確率的ファイナンス。数学のデ・グリュイテル・シリーズ。 Vol. 27. ベルリン：ヴァルター・デ・グロイテル。 pp.xi+459。ISBN 978-311-0183467. MR  2169807。
• Shapiro, Alexander; Dentcheva, Darinka; Ruszczyński, Andrzej (2009)。確率的計画法に関する講義。モデリングと理論。MPS/SIAM 最適化シリーズ。第 9 巻。フィラデルフィア:産業応用数学協会。pp. xvi+436。ISBN 978-0898716870MR  2562798 。