財務相関

金融相関は、 2 つ以上の金融変数の経時的な変化の関係を測定します。たとえば、株式と固定利付債券の価格は、反対方向に動くことがよくあります。投資家が株式を売却すると、その収益で債券を購入することが多く、その逆も同様です。この場合、株式と債券の価格は負の相関関係にあります。

金融相関は現代の金融において重要な役割を果たしている。資本資産価格モデル（CAPM、ノーベル賞受賞モデル）によれば、分散化が進むとリターン/リスク比が上昇する。リスクの尺度には、バリュー・アット・リスク、期待ショートフォール、ポートフォリオ・リターン分散などがある。^[1]

金融相関の度合いを測る統計的尺度はいくつかある。ピアソンの積率相関係数は、金融相関に適用されることがある。しかし、金融におけるピアソン相関アプローチの限界は明らかである。第一に、ピアソン相関係数で評価されるような線形依存関係は、金融ではあまり現れない。第二に、線形相関尺度は、変数の結合分布が楕円形の場合にのみ自然な依存関係尺度となる。しかし、多変量正規分布や多変量スチューデントt分布など、線形相関尺度を意味のある形で解釈できる楕円分布の特殊なケースはごくわずかである。第三に、ピアソンの積率相関係数がゼロであることは、最初の2つのモーメントのみが考慮されるため、必ずしも独立性を意味するわけではない。たとえば、( y  ≠ 0) の場合、ピアソン相関係数はゼロになるが、これはおそらく誤解を招く。^[2]ピアソンアプローチは金融相関をモデル化するには不十分であるため、定量分析者は特定の金融相関尺度を開発してきた。相関関係を正確に推定するには、歪度や尖度などの特性を組み込んだ周辺分布のモデリングプロセスが必要です。これらの属性を考慮しないと、負のバイアス（真の値の70%程度）を持つ相関関係と共分散に重大な推定誤差が生じる可能性があります。 ^[3]ポートフォリオ最適化の実際のアプリケーションでは、分散共分散行列の正確な推定が最も重要です。したがって、ガウスコピュラと適切に指定された周辺分布を使用したモンテカルロシミュレーションによる予測が有効です。^[4]${\displaystyle Y=X^{2}}$

スティーブン・ヘストンは相関アプローチ^[5]を適用して、確率的株式リターンと確率的ボラティリティを負に相関させた。オリジナルのヘストンモデルの核となる方程式は、2つの確率微分方程式、SDEで ある。${\displaystyle {\frac {dS(t)}{S(t)}}}$${\displaystyle \\sigma (t)}$

${\displaystyle {\frac {dS(t)}{S(t)}}=\mu \,dt+\sigma (t)\,dz_{1}(t)}$（１）

そして

${\displaystyle d\sigma^{2}(t)=g[\sigma_{L}^{2}-\sigma^{2}(t)]\,dt+\xi\sigma(t)\,dz_{2}(t)}$（２）

ここで、S は原資産の株式、は の期待成長率、は時刻 tにおけるの確率的ボラティリティです。式 (2) において、g は平均回帰率（重力）で、分散をその長期平均 に引き寄せ、はボラティリティ σ(t) のボラティリティです。dz(t) は標準ブラウン運動、つまり はiidであり、特に は標準化された正規分布 n~(0,1) からのランダムな抽出です。式 (1) において、原資産は標準幾何ブラウン運動に従います。これはブラック・ショールズ・マートン・モデルにも適用されますが、このモデルではボラティリティが一定であると仮定しています。確率過程 (1) と (2) の相関は、2 つのブラウン運動と を相関させることによって導入されます。ブラウン運動間の 瞬間的な相関は${\displaystyle \\mu}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \\sigma (t)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \\sigma^{2}(t)}$${\displaystyle \sigma _{L}^{2}}$${\displaystyle \\xi}$${\displaystyle dz(t)=\varepsilon _{t}{\sqrt {dt}}}$${\displaystyle \\epsilon_{t}}$${\displaystyle \varepsilon_{t}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle dz_{1}}$${\displaystyle dz_{2}}$${\displaystyle \\rho}$

${\displaystyle \operatorname {Corr} [dz_{1}(t),dz_{2}(t)]=\rho \,dt}$（３）

定義（３）は、次のように簡単にモデル化できる。

${\displaystyle dz_{1}(t)={\sqrt {\rho }}dz_{2}(t)+{\sqrt {1-\rho }}\,dz_{3}(t)}$（4）

ここで、 と は独立であり、 とは独立であり、 t ≠ t' です。 ${\displaystyle dz_{2}(t)}$${\displaystyle dz_{3}(t)}$${\displaystyle dz(t)}$${\displaystyle dz(t')}$

Cointelation SDE ^{[6]は、上記のSDEを、実務家によって誤解されることが多い[7]}平均回帰とドリフトの概念に結び付けます。

デフォルト相関に主として適用されるさらなる金融相関尺度は、ルーカス (1995) の二項相関アプローチである^{[誰によると? ] 。 [8]}二項イベントとを定義する。ここで はエンティティ のデフォルト時刻、 はエンティティ のデフォルト時刻である。したがって、エンティティが時刻 より前または時刻 にデフォルトした場合、ランダム指標変数はで値 1 を取り、それ以外の場合は 0 を取る。 にも同じことが当てはまる。さらに、と はそれぞれ およびのデフォルト確率であり、 はデフォルトの結合確率である。1 回の試行の二項イベントの標準偏差は であり、ここで P は結果 X の確率である。したがって、二項イベントとの結合デフォルト依存係数を次のように 導出する。${\displaystyle 1_{X}=1_{\{\tau _{X}\leq T\}}}$${\displaystyle 1_{Y}=1_{\{\tau _{Y}\leq T\}}}$${\displaystyle \tau_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau_{Y}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle 1_{X}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle P(X)}$${\displaystyle P(Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle P(XY)}$${\displaystyle {\sqrt {P(X)-(P(X))^{2}}}}$${\displaystyle 1_{\{\tau _{X}\leq T\}}}$${\displaystyle 1_{\{\tau _{Y}\leq T\}}}$

${\displaystyle \rho (1_{\{\tau _{X}\leq T\}},1_{\{\tau _{Y}\leq T\}})={\frac {P(XY)-P(X)P(Y)}{{\sqrt {P(X)-(P(X))^{2}}}{\sqrt {P(Y)-(P(Y))^{2}}}}}}$（５）

構造上、式（5）はデフォルトとデフォルトなしなどの二項イベントのみをモデル化できる。式（5）の二項相関アプローチは、セクション1で説明したピアソン相関アプローチの限界ケースである。結果として、金融モデリングにおけるピアソン相関アプローチの重大な欠点は、二項相関モデルにも当てはまる。^[要出典]

金融分野で応用されている比較的最近の、有名かつ悪名高い相関アプローチはコピュラアプローチです。コピュラはSklar (1959)に遡ります。^{[9]コピュラはVasicek (1987) [10]とLi (2000) [11]}によって金融に導入されました。

コピュラは統計問題を単純化します。コピュラは複数の一変量分布を単一の多変量分布に結合することを可能にします。正式には、コピュラ関数 C は区間 [0,1] 上の n 次元関数を 1 次元関数に変換します。

${\displaystyle C:[0,1]^{n}\rightarrow [0,1]}$（６）

より具体的には、を一様乱数ベクトルとし、 とする。すると、次のような コピュラ関数が存在する。${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle u_{i}=u_{1},...,u_{n},u_{i}\in [0,1]}$${\displaystyle i\in N}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle C(u_{1},\ldots ,u_{n})=F[F_{1}^{-1}(u_{1}),\ldots ,F_{n}^{-1}(u_{n})]}$（７）

ここで、F は結合累積分布関数、, i = 1, ..., n _{i は}単変量周辺分布です。は の逆関数です。周辺分布が連続している場合、C は一意になります。式 (11) の特性と証明については、Sklar (1959) および Nelsen (2006) を参照してください。^[12] コピュラ関数にはさまざまな種類があります。これらは、ガウスコピュラやアルキメデスコピュラなどの 1 パラメータコピュラに大まかに分類できます。アルキメデスコピュラには、Gumbel、Clayton、Frank コピュラが含まれます。よく引用される 2 パラメータコピュラは、student-t、Fréchet、Marshall-Olkin です。これらのコピュラの概要については、Nelsen (2006) を参照してください。 金融では、コピュラは通常、ポートフォリオ^{([誰によると? ]}たとえば、担保付債務証券(CDO))内の相​​関デフォルト確率を導出するために使用されます。これは2006年にLiによって初めて行われた。彼は、一定時間tにおけるエンティティiの累積デフォルト確率Qとして均一マージンを定義した。 ${\displaystyle \ F_{i}}$${\displaystyle F_{i}^{-1}}$${\displaystyle \ F_{i}}$${\displaystyle F_{i}^{-1}(u_{i})}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle Q_{i}(t)}$

${\displaystyle \ u_{i}=Q_{i}(t)}$（８）

したがって、式(7)と式(8)から、ガウスデフォルト時間コピュラCGDを導出します。

${\displaystyle C_{GD}(u_{1},\ldots ,u_{n})=M_{n,R}[N_{1}^{-1}(Q_{1}(t)),\ldots ,N_{n}^{-1}(Q_{n}(t))]}$（９）

式（9）において、項は、資産iのt時点における累積デフォルト確率Q、パーセンタイルからパーセンタイルまでを標準正規分布にマッピングする。マッピングされた標準正規周辺分布は、相関行列Rを持つ多変量正規分布の相関構造を適用することで、単一のn変量分布に結合される。t時点におけるn個の相関デフォルトの確率は、次のように与えられる。 ${\displaystyle N_{i}^{-1}}$${\displaystyle Q_{i}(t)}$${\displaystyle N_{i}^{-1}Q_{i}(t)}$${\displaystyle M_{n,R}}$${\displaystyle M_{n,R}}$

コピュラアプローチを悪者扱いし、2007年/2008年の世界的金融危機の原因を非難する非学術論文が数多く書かれています。例えば、Salmon 2009、^[13] Jones 2009、^[14] Lohr 2009 ^{[15]を参照してください} 。コピュラアプローチに対する主な批判は、(a) テール依存性、(b) キャリブレーション、(c) リスク管理の3つです。

(a) 尾部依存性

危機時には、金融相関が増加するのが一般的です。Das、Duffie、Kapadia、Saita (2007) ^[16]および Duffie、Eckner、Horel、Saita (2009) ^[17]の研究と、その中の参考文献を参照してください。したがって、結合分布の下端で高い共変動を持つ相関モデルを適用することが望ましいでしょう。次の散布図に見られるように、ガウスコピュラは比較的低い裾依存性を持つことが数学的に証明されています。^{[引用が必要]}

図1: 異なるコピュラモデルの散布図

図1bに見られるように、スチューデントtコピュラは裾依存性が高く、金融相関のモデル化に適している可能性があります。また、図1(c)に見られるように、ガンベルコピュラは特に負の共変動に対して裾依存性が高いことがわかります。資産価格が下落すると相関が増加すると仮定すると、ガンベルコピュラは金融モデリングに適した相関アプローチである可能性があります。^[18]

（b）校正

ガウスコピュラに対するさらなる批判は、市場価格に較正するのが難しいことである。実際には、担保付債務証券（CDO）内の任意の2つのエンティティ間のデフォルト相関をモデル化するために、通常、単一の相関パラメーター（相関行列ではない）が使用される。概念的には、この相関パラメーターはCDOポートフォリオ全体で同じであるべきである。しかし、トレーダーは、望ましいトランシェスプレッドを導き出すために、異なるトランシェの相関パラメーターをランダムに変更する。トレーダーは、エクイティトランシェやシニアトランシェなどの「極端な」トランシェの相関を高め、​​相関スマイルと呼ばれる。これは、ブラック・ショールズ・マートンモデルでよく引用されるインプライドボラティリティスマイルに似ている。ここで、トレーダーは、特にアウトオブザマネーのプットのインプライドボラティリティを高めるが、アウトオブザマネーのコールのインプライドボラティリティも高めてオプション価格を引き上げている。^[要出典]。

平均分散最適化フレームワークでは、分散共分散行列の正確な推定が最も重要です。したがって、ガウスコピュラと適切に指定された周辺分布を使用したモンテカルロシミュレーションによる予測は効果的です。^[19]モデリングプロセスで、自己回帰、非対称ボラティリティ、歪度、尖度などの株式リターンの経験的特性を考慮に入れることが重要です。これらの属性を考慮しないと、相関と分散に重大な推定誤差が生じ、負のバイアス（真の値の70%ほど）が発生します。^[20]

（c）リスク管理

コピュラアプローチに対するさらなる批判は、コピュラモデルが静的であり、その結果、限られたリスク管理しかできないというものである。Finger (2009) ^[21]または Donnelly と Embrechts (2010) ^[22]を参照。Vasicek (1987) と Li (2000) のオリジナルのコピュラモデル、および Hull と White (2004) ^[23]または Gregory と Laurent (2004) ^[24]などのモデルのいくつかの拡張は、1 期間の時間範囲を持ち、つまり静的である。特に、重要な基礎変数であるデフォルトの強度とデフォルトの相関には確率過程がない。しかし、これらの初期のコピュラ定式化でさえ、異なる時間範囲で変数をバックテストおよびストレステストすることで、貴重な感度が得られる可能性がある。Whetten と Adelson (2004) ^[25]および Meissner、Hector、および Rasmussen (2008) を参照。^[26] さらに、コピュラ変数は、Hull、Predescu、White（2005）のように時間の関数にすることができます。^[27]これでも、ドリフトとノイズを伴う完全に動的な確率過程は作成されず、柔軟なヘッジとリスク管理が可能になります。最善の解決策は、真に動的なコピュラフレームワークです。以下の「動的コピュラ」のセクションを参照してください。

2007～2008 年の世界金融危機以前は、多くの市場参加者がコピュラ モデルを無批判かつ素朴に信頼していました。^[要出典]しかし、2007～2008 年の危機は特定の相関モデルの問題というよりは、「不合理な自己満足」の問題でした。2003 年から 2006 年の極めて穏やかな時期には、適切なヘッジ、適切なリスク管理、ストレス テストの結果はほとんど無視されていました。^[要出典]代表的な例は AIG のロンドン子会社で、同社は大規模なヘッジを行わずに 5,000 億ドル近くのクレジット デフォルト スワップと債務担保証券を販売していました。危機に至るまでの不適切なリスク管理に関する洞察に満ちた論文については、「危機に関する個人的な見解 - リスク マネージャーの告白」(The Economist 2008) を参照してください。^[28]特に、信用相関モデルに、デフォルト強度が低く、デフォルト相関が低いという良質な入力データが与えられた場合、リスク出力の数値は良質となり、モデリング用語で言う「ゴミを入れればゴミが出る」ものとなる。^[要出典]

コピュラ モデルの核となる強化は、Albanese ら (2005) ^[29]および (2007) ^[30]によって導入された動的コピュラです。 「動的コンディショニング」アプローチは、各エンティティの各タイム ステップでのリターン プロセスを相関させる多因子スーパー ラティスの進化をモデル化します。二項動的コピュラは、モンテ カルロ シミュレーションを回避するために組み合わせ法を適用します。より豊富な動的ガウス コピュラは、モンテ カルロ シミュレーションを適用しますが、強力なコンピューター テクノロジが必要になります。

ポートフォリオ内の各エンティティペア間のデフォルト相関関係を特定しないようにするために、因数分解がしばしば適用される。^[要出典]これは条件付き独立デフォルト（CID）モデリングにつながる。最も広く適用されているCIDモデルは、1因子ガウスコピュラ（OFGC）モデルである。これは、2007年/2008年の世界的金融危機以前は、CDOの価格設定の事実上の市場モデルであった。^[要出典] OFGCモデルのコア方程式

${\displaystyle x_{i}={\sqrt {\rho }}M+{\sqrt {1-\rho }}Z_{i}}$（10）

ここで、およびは、およびからのランダムな抽出です。その結果、潜在変数（i の資産価値と解釈されることもあります。Turc、Very、Benhamou、Alvarez 他 (2005)、^{[31] [より適切な情報源が必要]}を参照）も n~(0,1) です。共通因子は経済環境と解釈することができ、S&P 500 のリターンで表される可能性があります。は固有の要素、つまりエンティティ i の「強さ」であり、エンティティ i の株価リターンで測定される可能性があります。式 (10) から、エンティティ i 間の相関は、共通因子 に基づいて潜在変数を条件付けることで間接的にモデル化されていることがわかります。たとえば、p =1 の場合、すべてのエンティティ の潜在変数 であるため、各シミュレーションで は同一です。p = 0 の場合、すべてのエンティティ のすべての潜在変数 であるため、 は独立しています。重要なことは、M の値を固定すると、n 個のエンティティのデフォルトは（M を条件として）相互に独立していることです。^[要出典]${\displaystyle M}$${\displaystyle Z_{i}}$${\displaystyle N(0,1)}$${\displaystyle 0\leq \rho \leq 1}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Z_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle i=1,...,n,\ x_{i}=M}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n,\ x_{i}=Z_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

2010 年現在、OFGC はバーゼル IIの信用リスク管理の基礎となっています。^[要出典]このモデルの利点は、シンプルさと直感性です。このモデルの主な欠点の 1 つは、トレーダーが CDO の価格設定時に、望ましいトランシェ スプレッドを実現するために、異なる CDO トランシェの相関パラメータをランダムに変更することです。ただし、概念的には、相関パラメータはポートフォリオ全体で同一である必要があります。^[要出典]

伝染デフォルトモデリングは、CID モデリングのバリエーションと見なすことができます。セクション 2.3 で説明したように、CID フレームワークでは、相関は、すべてのエンティティに同じ程度影響を与える共通の市場要因 M を条件としてモデル化されます。M のランダムな抽出が低いほど、すべてのエンティティのデフォルト強度が高くなります (ρ = 0 でない限り)。したがって、CID モデリングはデフォルトのクラスタリングを解明できます。対照的に、伝染アプローチは、エンティティのデフォルト強度を別のエンティティのデフォルトの関数としてモデル化します。したがって、伝染デフォルトモデリングには、カウンターパーティリスク、つまり、デフォルトエンティティが別のエンティティのデフォルト強度に直接与える影響が組み込まれます。特に、特定のエンティティがデフォルトすると、ポートフォリオ内のすべての資産のデフォルト強度が増加します。このデフォルトの伝染は、通常、非伝染デフォルト強度レベルまで指数関数的に減衰します。伝染デフォルトモデリングの先駆者である Davis と Lo (2001) ^[32]および Jarrow と Yu (2001) ^[33]の論文を参照してください。

信用相関モデリングのフレームワークでは、トップダウン モデリングという比較的新しい相関アプローチが採用されています。ここでは、ポートフォリオの強度分布の変化が直接導き出されます。つまり、個々のエンティティのデフォルト強度から抽象化されます。トップダウン モデルは、次のような場合に実際に適用されます。

• 個々のエンティティのデフォルトの強度は利用できないか、信頼できません。
• 個々のエンティティのデフォルトの強度は不要です。これは、同種のエンティティのインデックスなどの同種のポートフォリオを評価する場合に当てはまる場合があります。
• ポートフォリオの規模が大きいため、個々のデフォルト強度のモデル化が困難になります。

トップダウンモデルは、一般的にボトムアップモデルよりも簡素で、計算効率が高く、市場価格にうまく適合できることが多い。個々の企業のデフォルト強度などの一見重要な情報は無視されるが、トップダウンモデルは、通常、ボラティリティや相関スマイルなどのポートフォリオの特性をより適切に捉えることができる。さらに、個々の企業のデフォルト情報は、ランダムな間引き技術によって推測できることが多い。詳細については、Giesecke、Goldberg、Ding (2007) ^[34]を参照。

トップダウンの枠組みの中で、Schönbucher (2006) ^[35]は、遷移率の時間的に不均一なマルコフ連鎖を作成します。デフォルト相関は、遷移率のボラティリティの変化によって導入されます。特定のパラメータ群では、ボラティリティが高いほど、デフォルトとしてより低い状態への遷移が速くなり、結果としてデフォルト相関が高くなります。逆もまた同様です。同様に、Hurd と Kuznetsov (2006a) ^[36]と (2006b) ^{[37] は、}時間速度のランダムな変化によって相関を誘発します。時間速度が速いほど、より低い状態 (おそらくデフォルト) への遷移が速くなり、結果としてデフォルト相関が高くなります。逆もまた同様です。金融における相関アプローチの比較分析については、Albanese、Li、Lobachevskiy、および Meissner (2010) を参照してください。^[38]