線形順序群

数学、特に抽象代数学において、線形順序群または全順序群とは、並進不変な全順序「≤」を備えた群Gのことである。これは様々な意味を持つ可能性がある。( G , ≤) は次のように定義される。

• ≤ が左不変である場合、つまり、すべてのa、b、c ∈ Gに対してa  ≤ bならばca ≤ cbが成り立つ場合、左順序群。     
• ≤ が右不変である場合、つまり、 すべてのa、b、c ∈ Gに対してa  ≤ bならばac ≤ bcが成り立つ場合、右順序群。     
• ≤ が双不変である場合、つまり左不変かつ右不変である場合、双順序群となります。

群Gは、G上に左不変順序(または右不変順序 (または双

このセクションでは、${\displaystyle \leq }$は群上の左不変順序である${\displaystyle G}$識別要素付き${\displaystyle e}$。ここで述べたことはすべて、明らかな修正を加えた右不変順序に当てはまります。${\displaystyle \leq }$左不変であることは、次の順序と同等である。${\displaystyle \leq '}$定義される${\displaystyle g\leq 'h}$かつその場合に限り${\displaystyle h^{-1}\leq g^{-1}}$右不変であること。特に、群が左順序付け可能であることは、右順序付け可能であることと同じである。

通常の数値になぞらえて、要素を${\displaystyle g\not =e}$順序群の正の場合${\displaystyle e\leq g}$順序群における正の要素の集合は正錐と呼ばれ、しばしばで表されます。${\displaystyle G_{+}}$; わずかに異なる表記法${\displaystyle G^{+}}$正の錐体と恒等要素に使用されます。^{[ 1 ]}

正の円錐${\displaystyle G_{+}}$秩序を特徴づける${\displaystyle \leq }$実際、左不変性により、次のことがわかります。${\displaystyle g\leq h}$かつその場合に限り${\displaystyle g^{-1}h\in G_{+}}$実際、左順序群は群として定義できる。${\displaystyle G}$サブセットと共に${\displaystyle P}$以下の2つの条件を満たすこと：

1. のために${\displaystyle g,h\in P}$また、${\displaystyle gh\in P}$;
2. させて${\displaystyle P^{-1}=\{g^{-1}\mid g\in P\}}$、 それから${\displaystyle G}$は、​${\displaystyle P,P^{-1}}$そして${\displaystyle \{e\}}$。

注文$\displaystyle \leq _{P}}$関連する${\displaystyle P}$定義される${\displaystyle g\leq _{P}h\Leftrightarrow g^{-1}h\in P}$; 最初の条件は左不変性に相当し、2 番目の条件は順序が明確に定義され、全体的であることを意味します。正の円錐は$\displaystyle \leq _{P}}$は${\displaystyle P}$。

左不変順序${\displaystyle \leq }$が双不変であるのは、それが共役不変である場合、つまり、${\displaystyle g\leq h}$すると、どんな${\displaystyle x\in G}$我々は持っています${\displaystyle xgx^{-1}\leq xhx^{-1}}$同様に。これは、正錐が内部自己同型写像​​の下で安定であることと同等です。

もし${\displaystyle a\in G}$すると、絶対値は${\displaystyle a}$、で示される${\displaystyle |a|}$は次のように定義されます。$${\displaystyle |a|:={\begin{cases}a,&{\text{if }}a\geq 0,\\a^{-1},&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$ さらにグループ${\displaystyle G}$はアーベル群である。${\displaystyle a,b\in G}$三角不等式が満たされる：${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$[ ^{2 ]​}

左または右に順序付け可能な群はねじれフリーであり、単位元以外に有限位数の要素を含みません。逆に、FW Levi はねじれフリーのアーベル群は双順序付け可能であることを示しました。^{[ 3 ]}これは冪零群でも依然として真ですが^{[ 4 ]}、左順序付け可能ではないねじれフリーの有限表示群が存在します。

• 巡回順序グループ
• ハーン埋め込み定理
• 部分的に順序付けられたグループ

• デロアン、ベルトラン。ナバス、アンドレス。リバス、クリストバル (2014)。 「グループ、秩序、そして力学」。arXiv : 1408.5805 [ math.GT ]。
• Levi, FW (1942)、「順序付き群」、Proc. Indian Acad. Sci.、A16 (4) 256: 256–263、doi : 10.1007/BF03174799、S2CID 198139979 
• フックス、ラースロー；サルチェ、ルイージ（2001）「非ネーター領域上のモジュール」、Mathematical Surveys and Monographs、第 84巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-1963-0MR 1794715​ 
• ギス、E. ( 2001)、「サークル上で行動するグループ。」、L'Enseignement Mathématique、47 : 329–407