分岐グループ

数論、より具体的には局所類体論において、分岐群は局所体拡大のガロア群のフィルターであり、拡大の分岐現象に関する詳細な情報を提供する。

数学において、評価の分岐理論は、体Kの評価vをKの拡大Lに拡張する集合を研究する。これは、 デデキント領域の分岐理論の一般化である。^{[ 1 ] [ 2 ]}

L / Kがガロアである場合、拡張の集合の構造はよりよく知られています。

分岐群はガロア群の改良版である。 ${\displaystyle G}$有限の${\displaystyle L/K}$局所体のガロア拡大。${\displaystyle w,{\mathcal {O}}_{L},{\mathfrak {p}}}$評価、整数環とその最大イデアルについては${\displaystyle L}$ヘンゼルの補題の結果として、次のように書くことができる。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}={\mathcal {O}}_{K}[\alpha ]}$一部の人にとって${\displaystyle \alpha \in L}$どこ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$は整数環である${\displaystyle K}$[ ^{3 ]}（これは原始元定理より^も強い。）次に、各整数に対して${\displaystyle i\geq -1}$定義する${\displaystyle G_{i}}$すべての集合である${\displaystyle s\in G}$以下の同等の条件を満たすもの。

• （私）${\displaystyle s}$自明に動作する${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}^{i+1}.}$
• （ii）${\displaystyle w(s(x)-x)\geq i+1}$すべての人々のために${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{L}}$
• （iii）${\displaystyle w(s(\alpha )-\alpha )\geq i+1.}$

グループ${\displaystyle G_{i}}$と呼ばれる${\displaystyle i}$第 1 分岐群。これらは減少濾過を形成し、

${\displaystyle G_{-1}=G\supset G_{0}\supset G_{1}\supset \dots \{*\}.}$

実際、 ${\displaystyle G_{i}}$(i)により正常であり、十分に大きい場合は自明である${\displaystyle i}$（iii）最小のインデックスについては、${\displaystyle G_{0}}$慣性サブグループの${\displaystyle G}$素イデアルの分裂との関連から、${\displaystyle G_{1}}$ワイルド慣性サブグループの${\displaystyle G}$商${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$これは「飼い慣らし係数」と呼ばれる。

ガロア群${\displaystyle G}$およびその下位グループ${\displaystyle G_{i}}$上記の濾過、より具体的には対応する商を用いて研究される。特に、

• ${\displaystyle G/G_{0}=\operatorname {Gal} (l/k),}$どこ${\displaystyle l,k}$は（有限）剰余体である。 ${\displaystyle L,K}$[ ^{4 ]​}
• ${\displaystyle G_{0}=1\Leftrightarrow L/K}$分岐していない。
• ${\displaystyle G_{1}=1\Leftrightarrow L/K}$穏やかに分岐している（すなわち、分岐指数は剰余特性と素数関係にある）。

分岐群の研究は、完全に分岐したケースに帰着する。なぜなら、${\displaystyle G_{i}=(G_{0})_{i}}$のために${\displaystyle i\geq 0}$。

関数も定義する${\displaystyle i_{G}(s)=w(s(\alpha )-\alpha ),s\in G}$（ii）上記では${\displaystyle i_{G}}$選択とは無関係${\displaystyle \alpha }$さらに、濾過の研究${\displaystyle G_{i}}$本質的には${\displaystyle i_{G}}$[ ^{5 ]​}${\displaystyle i_{G}}$以下の条件を満たす：${\displaystyle s,t\in G}$、

• ${\displaystyle i_{G}(s)\geq i+1\Leftrightarrow s\in G_{i}.}$
• ${\displaystyle i_{G}(tst^{-1})=i_{G}(s).}$
• ${\displaystyle i_{G}(st)\geq \min\{i_{G}(s),i_{G}(t)\}.}$

均質化装置を修理する${\displaystyle \pi }$の${\displaystyle L}$。 それから${\displaystyle s\mapsto s(\pi )/\pi }$注射を誘発する${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\to U_{L,i}/U_{L,i+1},i\geq 0}$どこ${\displaystyle U_{L,0}={\mathcal {O}}_{L}^{\times },U_{L,i}=1+{\mathfrak {p}}^{i}}$（実際には、マップは均一化器の選択に依存しない。^{[ 6 ]}）これから^{[ 7 ]が導かれる。}

• ${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$の位数が素数である巡回${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}$位数 の巡回群の積${\displaystyle p}$。

特に、${\displaystyle G_{1}}$p群であり、${\displaystyle G_{0}}$解決可能です。

分岐群は、さまざまな計算に使用できます。${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{L/K}}$拡張機能の${\displaystyle L/K}$そして部分拡張のそれ：^{[ 8 ]}

${\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{L/K})=\sum _{s\neq 1}i_{G}(s)=\sum _{i=0}^{\infty }(|G_{i}|-1).}$

もし${\displaystyle H}$は、${\displaystyle G}$では、${\displaystyle \sigma \in G}$、${\displaystyle i_{G/H}(\sigma )={1 \over e_{L/K}}\sum _{s\mapsto \sigma }i_{G}(s)}$[ ^{9 ]​}

これを上記と組み合わせると、部分拡張の場合、次のようになります。${\displaystyle F/K}$対応する${\displaystyle H}$、

${\displaystyle v_{F}({\mathfrak {D}}_{F/K})={1 \over e_{L/F}}\sum _{s\not \in H}i_{G}(s).}$

もし${\displaystyle s\in G_{i},t\in G_{j},i,j\geq 1}$、 それから${\displaystyle sts^{-1}t^{-1}\in G_{i+j+1}}$^{[ 10 ]}ラザールの用語では、これはリー代数を意味すると理解できる。${\displaystyle \operatorname {gr} (G_{1})=\sum _{i\geq 1}G_{i}/G_{i+1}}$アーベル群である。

もし${\displaystyle u}$実数${\displaystyle \geq -1}$、 させて${\displaystyle G_{u}}$示す${\displaystyle G_{i}}$ここでi は最小の整数${\displaystyle \geq u}$。 言い換えると、${\displaystyle s\in G_{u}\Leftrightarrow i_{G}(s)\geq u+1.}$定義する${\displaystyle \phi }$[ ^{12 ]​}

${\displaystyle \phi (u)=\int _{0}^{u}{dt \over (G_{0}:G_{t})}}$

慣例により、${\displaystyle (G_{0}:G_{t})}$に等しい${\displaystyle (G_{-1}:G_{0})^{-1}}$もし${\displaystyle t=-1}$そして、${\displaystyle 1}$のために${\displaystyle -1<t\leq 0}$[ ^{13 ]} それ^から${\displaystyle \phi (u)=u}$のために${\displaystyle -1\leq u\leq 0}$すぐにわかるのは${\displaystyle \phi }$は連続かつ厳密に増加するため、連続な逆関数を持つ。${\displaystyle \psi }$定義済み${\displaystyle [-1,\infty )}$。 定義する ${\displaystyle G^{v}=G_{\psi (v)}}$。 ${\displaystyle G^{v}}$は、上側の番号付けではv番目の分岐群と呼ばれます。言い換えれば、${\displaystyle G^{\phi (u)}=G_{u}}$。 注記${\displaystyle G^{-1}=G,G^{0}=G_{0}}$上の番号付けは商への移行と互換性があるように定義されています: ^{[ 14 ]}もし${\displaystyle H}$正常です${\displaystyle G}$、 それから

${\displaystyle (G/H)^{v}=G^{v}H/H}$すべての人々のために${\displaystyle v}$

（一方、番号が小さいほど、下位グループへの移行が容易になる。）

• 局所場の有限拡張

• B. コンラッド、数学248A。高次分岐群
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