トレース（線形代数）

線形代数では、正方行列 $A$ のトレース $(tr($ $A$ $)$ と表記) ^[¹^]は、その主対角線上の要素の合計として定義されます。 $a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}$ これは正方行列 ( $n \times n$ )に対してのみ定義されます。

行列のトレースは、その固有値（代数的重複度を考慮して数えたもの）の和に等しいことが示せる（下記参照）。また、同じサイズの任意の行列 $A$ と $B$ $に対してtr(AB) = tr(BA)が成り立つ。したがって、$ 相似な行列は同じトレースを持つ。結果として、有限次元ベクトル空間をそれ自身に写像する線形演算子のトレースを定義できる。なぜなら、基底に関してそのような演算子を記述するすべての行列は相似だからである。

トレースは行列式の導関数と関連している（ヤコビの公式を参照）。

意味

$n$ $\times$ $n$ 正方行列 $A$ のトレースは次のように定義される^[¹^]^[²^]^[³^]^:³⁴ $\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}$ ここで、 $a ii は$ $A$ の $i$ 行目、 $i$ 列目の要素を表します。A の要素は、実数 $、$ 複素数、またはより一般的には体 $F$ の要素です。トレースは正方行列でない行列には定義されません。

例

$A$ を行列とし、 $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&3\\11&5&2\\6&12&-5\end{pmatrix}}$

それから $\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{3}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}=1+5+(-5)=1.$

不動産

基本特性

トレースは線形写像です。つまり、^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} ${\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\end{aligned}}$ すべての正方行列 $A$ および $B$ 、およびすべてのスカラー $c$ について。^{[ 3 ]}^{: 34}

行列とその転置行列は同じトレースを持つ：^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{： 34} $\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right).$

これは、正方行列を転置しても主対角線上の要素には影響しないという事実から直ちに導かれる。

製品の痕跡

2つの行列の積である正方行列のトレースは、それらの要素の要素ごとの積の和、すなわち、それらのアダマール積のすべての要素の和として書き直すことができます。直接的に言うと、 $A$ と $Bが$ 2つの $m \times n$ 行列である場合、次のようになります。 $\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}\;.$

任意の実数 $m \times n$ $行列を長さmn$ のベクトルとみなす場合 (ベクトル化と呼ばれる操作)、 $A$ と $B$ に対する上記の操作は標準的なドット積と一致します。上記の式によれば、 $tr(A ⊤ A)$ は平方和であり、したがって非負であり、 $A$ がゼロの場合に限りゼロになります。^{[ 4 ]}^{: 7}さらに、上記の式で示されているように、 $tr(A ⊤ B) = tr(B ⊤ A)です。これらは、$ 内積に要求される正定値性と対称性を示しています。tr $(A ⊤ B)は、$ $A$ と $B$ のフロベニウス内積と呼ばれるのが一般的です。これは、固定次元のすべての実数行列のベクトル空間上の自然な内積です。この内積から導出されるノルムはフロベニウスノルムと呼ばれ、コーシー・シュワルツの不等式で証明できるように、乗法的な性質を満たします。 $0\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )\right]^{2}\leq \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right),$ $A$ と $B$ が実数行列で、ABが正方行列である $場合。$ フロベニウス内積とノルムは、行列計算と統計学で頻繁に現れます。

フロベニウス内積は、 $B を$ その複素共役で置き換えることにより、固定サイズのすべての複素行列の複素ベクトル空間上のエルミート内積に拡張できます。

フロベニウス内積の対称性は、次のようにより直接的に表現できます。積のトレース内の行列を入れ替えても結果は変わりません。A $と$ $Bが$ それぞれ $m \times n$ と $n \times mの$ 実数または複素数行列である場合、^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{： 34}^{[注1 ]}

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )$

$これは、 AB が通常$ $BA$ と等しくないことと、どちらのトレースも通常 $tr(A)tr(B)$ と等しくないことの両方において注目に値する。^{[注 2 ]}トレースの相似不変性、すなわち、任意の正方行列A $および$ 同じ次元の任意の可逆行列 $P$ に対して $tr(A) = tr(P -1 AP)$ であることは、基本的な帰結である。これは次のように証明される。 $\operatorname {tr} \left(\mathbf {P} ^{-1}(\mathbf {A} \mathbf {P} )\right)=\operatorname {tr} \left((\mathbf {A} \mathbf {P} )\mathbf {P} ^{-1}\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ).$ 類似性不変性は、以下に示すように線形変換のトレースを議論する上で、トレースの重要な特性である。

さらに、実数列ベクトルの場合 $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}$ そして $\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}$ 外積のトレースは内積と等しい。

$\operatorname {tr} \left(\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\textsf {T}}\right)=\mathbf {a} ^{\textsf {T}}\mathbf {b}$

周期性

より一般的には、トレースは循環シフトに対して不変である。つまり、

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {A} \mathbf {B} ).$

これは循環性として知られています。

任意の順列は許可されていません。一般に、 $\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )\neq \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ).$

しかし、3つの対称行列の積を考えると、以下の理由から任意の順列が許容される。 $\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )=\operatorname {tr} \left(\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \right)^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {B} \mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ),$ 最初の等式は、行列とその転置行列のトレースが等しいことから成り立っています。ただし、これは一般に3つ以上の因子に対しては成り立たないことに注意してください。

クロネッカー製品の痕跡

2つの行列のクロネッカー積のトレースは、それぞれのトレースの積に等しい。 $\operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\operatorname {tr} (\mathbf {B} ).$

痕跡の特性評価

以下の3つの物件： ${\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} ),\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} ),\\\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ),\end{aligned}}$ トレースをスカラー倍数で特徴付ける。言い換えれば、 $f$ は、正方行列の空間上の線形汎関数であり、以下を満たす。 $f(xy)=f(yx),$ それから $f$ そして $\operatorname {tr}$ 比例関係にある。^{[注3 ]}

のために $n\times n$ 行列の正規化を課す $f(\mathbf {I} )=n$ 作る $f$ トレースに等しい。

トレースを固有値の合計として表す

任意の $n \times n$ 行列 $A$ が与えられた場合、

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}$

ここで $、λ 1 、 ...、 λ n は$ $、代数的重複度で数えられたA$ の固有値です。これは、 $A$ が実数行列で、固有値の一部 (またはすべて) が複素数である場合、またはより一般的には、代数的閉包で取られた固有値を持つ任意の体上でも成り立ちます。この恒等式は、 $A$ が常にそのジョルダン形式、つまり主対角に $λ$ $1$ $、 ...、$ $λ$ $n を$ 持つ上三角行列と相似であることと、上で説明したトレースの相似不変性から導かれます。対照的に、 $A$ の行列式は、その固有値の積です。つまり、 $\det(\mathbf {A} )=\prod _{i}\lambda _{i}.$

整流子の痕跡

$A$ と $Bがともに$ $n \times n$ 行列の場合、 $A$ と $B$ の（環論的な）交換子のトレースはゼロになります。tr $([$ $A$ $,$ $B$ $]) = 0 です。これは$ $、tr($ $AB$ $) = tr($ $BA$ $)$ であり、 $trが$ 線形であるためです。スカラーの交換子は自明であるため（アーベルリー代数であるため）、このことは「トレースは、演算子からスカラーへのリー代数gl n → kの写像である」と表現 $でき$ $ます$ $。$ $特に$ 、相似不変性を用いると、単位行列はどの行列のペアの交換子とも相似にならないことがわかります。

逆に、トレースがゼロの正方行列は、行列のペアの交換子の線形結合である。^{[注4 ]}さらに、トレースがゼロの正方行列は、対角成分がすべてゼロである正方行列とユニタリ同値である。

特殊なマトリックスの痕跡

$n \times n$ 単位行列のトレースは空間の次元、すなわち $n$ です。 $\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n$ これはトレースを用いた次元の一般化につながる。
エルミート行列のトレースは実数である。なぜなら、対角要素は実数だからである。
置換行列のトレースは、対応する置換の固定点の数です。なぜなら、対角項 $a ii$ $は、 i$ 番目の点が固定されている場合は 1 、そうでない場合は 0 になるからです。
直交射影行列のトレースは、ターゲット空間の次元である。 ${\begin{aligned}\mathbf {P} _{\mathbf {X} }&=\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\\[3pt]\Longrightarrow \operatorname {tr} \left(\mathbf {P} _{\mathbf {X} }\right)&=\operatorname {tr} \left(\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} \right)^{-1}\right)=\operatorname {rank} (\mathbf {X} ).\end{aligned}}$
より一般的に言えば、任意の射影行列、すなわち冪等行列（ $A 2 = A$ となる行列）のトレースは、その行列自身のランクに等しくなります。例えば、 $A は$ 固有値 1 と 0 しか持たず、1 は重複度を持つからです。 $\operatorname {rank} (\mathbf {A} )$ 。
冪零行列のトレースはゼロである。
基底体の標数がゼロの場合、逆もまた成り立ちます。すべての $k$ に対して $tr(A k) = 0$ であれば、 $A$ は冪零です。
特性 $n > 0が正の場合、$ $n$ 次元の恒等式は反例となる。 $\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}^{k}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n\equiv 0$ しかし、この恒等式は冪零ではない。

特性多項式との関係

痕跡 $n\times n$ マトリックス $A$ は係数です $t^{n-1}$ 特性多項式において、特性多項式の定義における慣例に従って、符号が変化する可能性がある。

派生関係

$a が$ 小さな要素を持つ正方行列であり、 $I が$ 単位行列である場合、近似的に次のようになる。

$\det(\mathbf {I} +\mathbf {a} )\approx 1+\operatorname {tr} (\mathbf {a} ).$

正確には、トレースは単位行列における行列式の導関数であることを意味する。ヤコビの公式

$d\det(\mathbf {A} )=\operatorname {tr} {\big (}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\cdot d\mathbf {A} {\big )}$

これはより一般的で、任意の正方行列における行列式の微分を、その行列のトレースと随伴行列を用いて記述する。

このことから（あるいはトレースと固有値の関係から）、トレース関数、行列指数関数、および行列式の間の関係を導き出すことができる。 $\det(\exp(\mathbf {A} ))=\exp(\operatorname {tr} (\mathbf {A} )).$

トレースの関連する特徴付けは、線形ベクトル場にも適用されます。行列 $Aが与えられたとき、$ $R$ $n$ 上のベクトル場 $F を$ $F$ $($ $x$ $) =$ $Ax$ で定義します。このベクトル場の成分は線形関数です ( $A$ の行によって与えられます)。その発散 $div$ $F$ $は定数関数であり、その値はtr($ $A$ $)$ に等しくなります。

発散定理により、これを流れの観点から解釈することができます。F $($ $x$ $)が$ $位置$ $xにおける流体$ $の$ 速度を表し、 $U$ が $Rn$ 内の領域である場合、 $U$ から流出する流体の正味の流れは $tr($ $A$ $)・vol($ $U$ $)$ で与えられます。ここで $vol($ $U$ $)は$ $U$ の体積です。

トレースは線形演算子であるため、導関数と可換である。 $d\operatorname {tr} (\mathbf {X} )=\operatorname {tr} (d\mathbf {X} ).$

線形演算子のトレース

一般に、有限ランクの線形写像 $f : V \to V$ ( $V$ はベクトル空間) が与えられた場合、 $f$ の行列表現のトレースを考えることで、この写像のトレースを定義できます。つまり、 $V$ の基底を選択し、 $f を$ この基底に関する行列として記述し、この正方行列のトレースを取ることで定義できます。異なる基底を用いても同様の行列が得られるため、結果は選択した基底に依存しません。これにより、線形写像のトレースを基底に依存しない形で定義することが可能になります。

このような定義は、有限ランクの $V$ の線形自己準同型空間と $V$ $\otimes$ $V$ $*の間の$ 正準同型を用いて与えることができる。ここで、 $V$ $*は$ $V$ の双対空間である。v $を$ $V$ の要素とし、 $gを$ $V$ $* の$ 要素とする。このとき、分解可能な要素 $v$ $\otimes$ $g$ のトレースは $g$ $($ $v$ $)$ と定義される。一般要素のトレースは線形性によって定義される。有限ランクの線形写像 $f$ $:$ $V$ $\to$ $V$ のトレースは、上記の意味で、上記の正準同型のもとでfに対応する $V$ $\otimes$ $V$ $*$ の要素のトレースとして定義できる。V の明示的な基底と、それに対応 $する V$ $*$ $の$ 双対基底を用いることで、これが上記と同じトレースの定義を与えることを示すことができる。

テンソル積の言葉で

体 $F$ 上のベクトル空間 $Vが与えられたとき、$ $($ $v$ $,$ $φ$ $)$ をスカラー $φ$ $($ $v$ $)$ に写像することによって得られる自然な双線形写像 $V$ $\times$ $V$ $*$ $\to$ $F$ が存在する。テンソル積 $V$ $\otimes$ $V$ $*$ の普遍性により、この双線形写像は $V$ $\otimes$ $V$ $*$ 上の線形汎関数によって誘導されることが自動的に示される。^[⁵^]

同様に、 $($ $v$ $,$ $φ$ $)$ を線形写像 $w$ $\mapsto$ $φ$ $($ $w$ $)$ $v$ に写すことで、自然な双線形写像 $V \times V * \to Hom(V, V)$ が与えられます。テンソル積の普遍性は、以前にも使用したように、この双線形写像が線形写像 $V$ $\otimes$ $V$ $*$ $\to Hom($ $V$ $,$ $V$ $)$ によって誘導されることを示しています。 $V$ が有限次元の場合、この線形写像は線形同型です。^[⁵^] $この基本的な事実は、 V$ の (有限) 基底の存在の直接的な結果であり、任意の線形写像 $V$ $\to$ $V は$ $(有限個の) ランク 1 の線形写像の和として書くことができると表現することもできます。同型の逆写像を上記で得られた線形汎関数と合成すると、 Hom($ $V$ $,$ $V$ $)$ 上の線形汎関数が得られます。この線形汎関数はトレースとまったく同じであり、座標に依存しない用語で定義を提供します。

トレースを対角要素の和として定義すると、行列式 $tr(AB) = tr(BA)$ は簡単に証明でき、既に上で示しました。現在の観点からは、線形写像 $S$ と $T$ を考え、これらをランク 1 写像の和とみなすと、任意の u ∈ V に対して $S$ $($ $u$ $) = Σ$ $φ$ $i$ $($ $u )$ $v$ $i$ および $T$ $($ $u$ $)$ $= Σ$ $ψ$ $j$ $($ $u$ $)$ $w$ $j$ となるような線形汎 $関数$ $φ$ $i$ とψ $j$ $および非ゼロ$ ベクトル $v$ $i$ と $w$ $j$ $が存在$ します。すると

(S\circ T)(u)=\sum _{i}\varphi _{i}\left(\sum _{j}\psi _{j}(u)w_{j}\right)v_{i}=\sum _{i}\sum _{j}\psi _{j}(u)\varphi _{i}(w_{j})v_{i}

$V$ 内の任意の $u$ に対して。ランク 1 の線形写像 $u$ $\mapsto$ $ψ$ $j$ $($ $u$ $)$ $φ$ $i$ $($ $w$ $j$ $)$ $v$ $i は$ トレース $ψ$ $j$ $($ $v$ $i$ $)$ $φ$ $i$ $($ $w$ $j$ $)$ を持ち、したがって

\operatorname {tr} (S\circ T)=\sum _{i}\sum _{j}\psi _{j}(v_{i})\varphi _{i}(w_{j})=\sum _{j}\sum _{i}\varphi _{i}(w_{j})\psi _{j}(v_{i}).

$S$ と $Tを$ $逆$ にして同じ手順を踏むと $、$ まったく同じ式が得られ、 $tr(S\circT)が$ $tr($ $T\circS$ $)$ $に$ 等しいことが証明される。

上記の証明は、 $End(V)$ と $V \otimes V *$ の基本的な同一性が、任意の線形写像をランク 1 の線形写像の和として表現できることと同等であることから、テンソル積に基づいているとみなすことができます。したがって、証明はテンソル積の記法で記述できます。次に、 $($ $v$ $,$ $φ$ $,$ $w$ $,$ $ψ$ $)を$ $φ$ $($ $w$ $)$ $v$ $\otimes$ $ψ$ に送ることによって得られる多重線形写像 $V \times V * \times V \times V * \to V \otimes V * を$ 考えます。さらにトレース写像との合成を行うと、 $φ$ $($ $w$ $)$ $ψ$ $($ $v$ $)となり、これは$ $($ $w$ $,$ $ψ$ $,$ $v$ $,$ $φ$ $)$ から始めた場合でも変わりません。また、 $($ $f$ $,$ $g$ $)$ を合成 $f$ $\circ$ $g$ に送ることで得られる双線形写像 $End($ $V$ $) \times End($ $V$ $) \to End($ $V$ $)$ を考えることもできる。これは線形写像 $End($ $V$ $) \otimes End($ $V$ $) \to End($ $V$ $)によって誘導される。これは線形写像$ $V$ $\otimes$ $V$ $*$ $\otimes$ $V$ $\otimes$ $V$ $*$ $\to$ $V$ $\otimes$ $V$ $*$ と一致することがわかる。トレース写像との合成による確立された対称性により、2 つのトレースの等価性が確立される。^[⁵^]

任意の有限次元ベクトル空間 $V$ に対して、自然な線形写像 $F \to V \otimes V'$ が存在する。線形写像の言語では、これはスカラー $c$ に線形写像 $c \cdotid V$ を割り当てる。これは共評価写像と呼ばれることもあり、トレース $V \otimes V' \to F$ は評価写像と呼ばれる。^{[ 5 ]}これらの構造は、圏論の抽象的な設定で圏論的トレースを定義するために公理化することができる。特に、トレースは、環上の有限生成射影加群の自己準同型に対して定義することができる。加群のテンソル積 §トレースを参照。

数値アルゴリズム

確率推定器

トレースは「ハッチンソンのトリック」によって偏りなく推定できる: ^{[ 6 ]}

任意の行列が与えられた場合 ${\boldsymbol {W}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ 、そしてランダムな ${\boldsymbol {u}}\in \mathbb {R} ^{n}$ と $\mathbb {E} [{\boldsymbol {u}}{\boldsymbol {u}}^{\intercal }]=\mathbf {I}$ 、我々は持っています $\mathbb {E} [{\boldsymbol {u}}^{\intercal }{\boldsymbol {W}}{\boldsymbol {u}}]=\operatorname {tr} {\boldsymbol {W}}$ 。

証明のためには、期待値を直接展開すればよい。

通常、ランダムベクトルは以下からサンプリングされます。 $\operatorname {N} (\mathbf {0} ,\mathbf {I} )$ （正規分布）または $\{\pm n^{-1/2}\}^{n}$ （ラデマッハー分布）

トレースのより洗練された確率的推定量が開発されている。^{[ 7 ]}

アプリケーション

2 x 2 実数行列のトレースがゼロの場合、その二乗は対角行列になります。

2 × 2複素行列のトレースは、メビウス変換を分類するために使用されます。まず、行列の行列式が 1 になるように正規化します。次に、トレースの二乗が 4 の場合、対応する変換は放物線変換です。二乗が区間[0,4)内にある場合、楕円変換です。最後に、二乗が 4 より大きい場合、変換はロクソドロミック変換です。メビウス変換の分類を参照してください。

トレースは群表現の指標を定義するために用いられる。群 $Gの 2 つの表現$ $A$ $、$ $B$ $:$ $G$ $\to$ $GL$ $($ $V$ $)$ は、すべての $g$ $\in$ $G$ $に対してtr($ $A$ $($ $g$ $)) = tr($ $B$ $($ $g$ )) が成り立つ場合、 ( $V$ 上の基底変換を除いて) 同等で $ある$ 。

トレースは二次形式の分布においても中心的な役割を果たす。

トレースはフォン・ノイマン代数の因子を分類するために使用できる。トレースの一般化は非可換積分理論を定義するために使用できる。^{[ 8 ]}

リー代数

トレースはリー代数の写像である。 $\operatorname {tr$ はリー代数から得られる ${\mathfrak {gl}}_{n}$ $n$ 次元空間上の線形演算子( $n \times n$ 行列で、エントリは $K$ ）をスカラーのリー代数 $Kに写像します。K$ $は$ アーベル群（リー括弧が消滅する）なので、これがリー代数の写像であるという事実は、括弧のトレースが消滅するという記述と全く同じです。 $\operatorname {tr} ([\mathbf {A} ,\mathbf {B} ])=0{\text{ for each }}\mathbf {A} ,\mathbf {B} \in {\mathfrak {gl}}_{n}.$

このマップの核は、トレースがゼロの行列で構成されており、しばしば痕跡を残さない、またはトレースフリーであり、これらの行列は単純なリー代数 ${\mathfrak {sl}}_{n}$ これは、行列式が 1 の特殊線形行列群のリー代数です。特殊線形群は体積が変化しない行列から構成され、特殊線形リー代数は無限小集合の体積を変化させない行列から構成されます。

実際には、内部的に直接和分解が存在します ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K$ 演算子／行列をトレースレス演算子／行列とスカラー演算子／行列に変換する。スカラー演算子への射影写像は、トレースを用いて具体的に次のように表すことができる。 $\mathbf {A} \mapsto {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\mathbf {I} .$

形式的には、トレース（共単位マップ）を単位マップと合成することができる。 $K\to {\mathfrak {gl}}_{n}$ スカラーの包含によりマップを取得する ${\mathfrak {gl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}$ スカラーへのマッピングを行い、 $n$ を掛けます。n で割ると $射影$ となり、上記の式が得られます。

短い完全シーケンスに関して言えば、 $0\to {\mathfrak {sl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}{\overset {\operatorname {tr} }{\to }}K\to 0$ これは、 $1\to \operatorname {SL} _{n}\to \operatorname {GL} _{n}{\overset {\det }{\to }}K^{*}\to 1$ （どこ $K^{*}=K\setminus \{0\}$ ）リー群の場合。ただし、トレースは自然に分割されます（ $1/n$ （スカラー倍） ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K$ しかし、行列式の分解は $n$ 乗根にスカラーを掛けたものとなり、これは一般に関数を定義しないため、行列式は分解されず、一般線形群は分解されない。 $\operatorname {GL} _{n}\neq \operatorname {SL} _{n}\times K^{*}.$

双線形式

双線形形式（ $X$ 、 $Y$ は正方行列） $B(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (\mathbf {X} )\operatorname {ad} (\mathbf {Y} ))$

どこ

\operatorname {ad} (\mathbf {X} )\mathbf {Y} =[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\mathbf {X} \mathbf {Y} -\mathbf {Y} \mathbf {X}

方向を示すために、

\operatorname {det} \mathbf {Y} \neq 0

それから

\operatorname {ad} (\mathbf {X} )=\mathbf {X} -\mathbf {Y} \mathbf {X} \mathbf {Y} ^{-1}~.

$B(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )$ これはキリング形式と呼ばれ、リー代数を分類するために使用されます。

トレースは双線形形式を定義します。 $(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\mapsto \operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} )~.$

この形式は対称的で、非退化^{[注5 ]}であり、次のような意味で結合的である。 $\operatorname {tr} (\mathbf {X} [\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} ])=\operatorname {tr} ([\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]\mathbf {Z} ).$

複雑な単純リー代数（例えば、 ${\mathfrak {sl}}$ )、そのような双線形形式はすべて互いに比例関係にあり、特にキリング形式に比例します。

2つの行列 $X$ と $Yは$ 、次の条件を満たす場合にトレース直交であると言われます。 $\operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} )=0.$

一般的な表現への一般化がある $(\rho ,{\mathfrak {g}},V)$ リー代数の ${\mathfrak {g}}$ 、したがって $\rho$ はリー代数の準同型写像である。 ${\displaystyle \rho$ トレース形式 ${\text{tr}}_{V}$ の上 ${\text{End}}(V)$ 上記のように定義される。双線形形式 $\phi (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )={\text{tr}}_{V}(\rho (\mathbf {X} )\rho (\mathbf {Y} ))$ 周期性のため、対称性と不変性を持つ。

一般化

行列のトレースの概念は、ヒルベルト空間上のコンパクト作用素のトレースクラスに一般化され、フロベニウスノルムの類似物はヒルベルト・シュミットノルムと呼ばれます。

$K$ がトレースクラス演算子である場合、任意の正規直交基底に対して $\{e_{n}\}_{n=1}$ トレースは次のように与えられる。 $\operatorname {tr} (K)=\sum _{n}\left\langle e_{n},Ke_{n}\right\rangle ,$ そして有限であり、正規直交基底に依存しない。^{[ 9 ]}このトレースはフォン・ノイマン環に一般化できる。

ディクスミエ・トレースは、通常のトレースをトレースクラス演算子を超えて一般化したものである。

部分トレースは、演算子値を持つトレースの別の一般化です。線形演算子のトレース $Z$ 製品空間に存在する $A\otimes B$ は部分トレースに等しい $A$ そして $B$ : $\operatorname {tr} (Z)=\operatorname {tr} _{A}\left(\operatorname {tr} _{B}(Z)\right)=\operatorname {tr} _{B}\left(\operatorname {tr} _{A}(Z)\right).$

部分トレースのその他の性質と一般化については、トレース付きモノイド圏を参照してください。

もし $A$ は体上の一般的な結合代数である $k$ すると、 $A$ は、しばしば任意の関数として定義される。 $\operatorname {tr} :A\to k$ これは整流子上では消滅する。 $\operatorname {tr} ([a,b])=0$ すべての人々のために $a,b\in A$ このようなトレースは一意に定義されるものではなく、常に少なくともゼロ以外のスカラーを乗算することによって変更される可能性がある。

スーパートレースは、トレースをスーパー代数の設定に一般化したものである。

テンソル縮約の操作は、トレースを任意のテンソルに一般化する。

GommeとKlein（2011）は行列トレース演算子を定義している。 $\operatorname {trm}$ これはブロック行列上で動作し、テンソル表記を必要とせずに動的経済モデルの2次摂動解を計算するために使用します。^{[ 10 ]}

注記

↑これは行列積の定義からすぐにわかることです。 $\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{i=1}^{m}\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \right)_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}b_{ji}a_{ij}=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {B} \mathbf {A} \right)_{jj}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ).$
↑例えば、 $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},$ すると製品は $\mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},$ そしてトレースは $tr(AB) = 1 \neq 0 \cdot 0 = tr(A)tr(B)$ です。
↑証明: $e_{ij}$ 標準基準であり、 $f\left(e_{ij}\right)=f\left(e_{i}e_{j}^{\top }\right)=f\left(e_{i}e_{1}^{\top }e_{1}e_{j}^{\top }\right)=f\left(e_{1}e_{j}^{\top }e_{i}e_{1}^{\top }\right)=f\left(0\right)=0$ もし $i\neq j$ そして $f\left(e_{jj}\right)=f\left(e_{11}\right)$ $f(\mathbf {A} )=\sum _{i,j}[\mathbf {A} ]_{ij}f\left(e_{ij}\right)=\sum _{i}[\mathbf {A} ]_{ii}f\left(e_{11}\right)=f\left(e_{11}\right)\operatorname {tr} (\mathbf {A} ).$ より抽象的に言えば、これは分解に対応する。 ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus k,$ として $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$ （同等に、 $\operatorname {tr} ([A,B])=0$ ) はトレースを定義します ${\mathfrak {sl}}_{n},$ これはスカラー行列の補数であり、1つの自由度を残します。このようなマップはスカラー上の値によって決定され、これは1つのスカラーパラメータであるため、すべてトレースの倍数であり、このようなマップはゼロではありません。
↑証明: ${\mathfrak {sl}}_{n}$ これは半単純リー代数であり、したがってその中のすべての要素は、いくつかの要素のペアの交換子の線形結合である。そうでなければ、導来代数は真のイデアルになる。
↑これは、 $A$ $=$ $0$ の場合に限り $tr($ $A$ $*$ $A$ $) = 0 となる$ という事実から導かれる。

参考文献

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外部リンク

「正方行列のトレース」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]

[5] これは行列積の定義からすぐにわかることです。 $\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{i=1}^{m}\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \right)_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}b_{ji}a_{ij}=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {B} \mathbf {A} \right)_{jj}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ).$

[6] 例えば、 $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},$ すると製品は $\mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},$ そしてトレースは $tr(AB) = 1 \neq 0 \cdot 0 = tr(A)tr(B)$ です。

[7] 証明: $e_{ij}$ 標準基準であり、 $f\left(e_{ij}\right)=f\left(e_{i}e_{j}^{\top }\right)=f\left(e_{i}e_{1}^{\top }e_{1}e_{j}^{\top }\right)=f\left(e_{1}e_{j}^{\top }e_{i}e_{1}^{\top }\right)=f\left(0\right)=0$ もし $i\neq j$ そして $f\left(e_{jj}\right)=f\left(e_{11}\right)$ $f(\mathbf {A} )=\sum _{i,j}[\mathbf {A} ]_{ij}f\left(e_{ij}\right)=\sum _{i}[\mathbf {A} ]_{ii}f\left(e_{11}\right)=f\left(e_{11}\right)\operatorname {tr} (\mathbf {A} ).$ より抽象的に言えば、これは分解に対応する。 ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus k,$ として $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$ （同等に、 $\operatorname {tr} ([A,B])=0$ ) はトレースを定義します ${\mathfrak {sl}}_{n},$ これはスカラー行列の補数であり、1つの自由度を残します。このようなマップはスカラー上の値によって決定され、これは1つのスカラーパラメータであるため、すべてトレースの倍数であり、このようなマップはゼロではありません。

[8] 証明: ${\mathfrak {sl}}_{n}$ これは半単純リー代数であり、したがってその中のすべての要素は、いくつかの要素のペアの交換子の線形結合である。そうでなければ、導来代数は真のイデアルになる。

[13] これは、 $A$ $=$ $0$ の場合に限り $tr($ $A$ $*$ $A$ $) = 0 となる$ という事実から導かれる。

[:1-1] 1 2 3 4 5 「行列のランク、トレース、行列式、転置、逆行列」。fourier.eng.hmc.edu 。 2019年7月1日にオリジナルからアーカイブ済み。2020年9月9日に取得。

[:2-2] 1 2 3 4 Weisstein, Eric W. (2003) [1999]. "Trace (matrix)" . In Weisstein, Eric W. (ed.). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (2nd ed.). Boca Raton, FL: Chapman & Hall . doi : 10.1201/9781420035223 . ISBN 1-58488-347-2。MR 1944431。Zbl 1079.00009 。2020-09-09に取得。

[LipschutzLipson-3] 1 2 3 4リプシュッツ、シーモア;マーク・リプソン（2005 年 9 月）。線形代数の理論と問題。シャウムの概要。マグロウヒル。ISBN 9780070605022。

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[10] Hutchinson, MF (1989 年 1 月). "ラプラシアン平滑化スプラインの影響行列のトレースの確率的推定量" . Communications in Statistics - Simulation and Computation . 18 (3): 1059– 1076. doi : 10.1080/03610918908812806 . ISSN 0361-0918 .

[11] Avron, Haim; Toledo, Sivan (2011-04-11). "暗黙の対称正半定値行列のトレースを推定するためのランダム化アルゴリズム" . Journal of the ACM . 58 (2): 8:1–8:34. doi : 10.1145/1944345.1944349 . ISSN 0004-5411 . S2CID 5827717 .

[12] 非可換空間における測度論。

[14] Teschl, G. (2014年10月30日). Mathematical Methods in Quantum Mechanics . Graduate Studies in Mathematics. Vol. 157 (2nd ed.). American Mathematical Society. ISBN 978-1470417048。

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意味

例

不動産