行列ノルム

数学の分野では、ベクトル空間内の要素に対してノルムが定義されます。特に、ベクトル空間が行列で構成される場合、そのようなノルムは行列ノルムと呼ばれます。行列ノルムは、行列の乗算とも相互作用する必要がある点でベクトルノルムとは異なります。

実数または複素数の体 が与えられたとき、を の行と列を持ち、 の要素を持つ行列のKベクトル空間とします。行列ノルムは上のノルムです。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle K^{m\times n}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K^{m\times n}}$

ノルムは、多くの場合、二重の縦棒で表現されます（例：）。したがって、行列ノルムは、次の特性を満たす関数です。 ^{[1] [2]}${\displaystyle \|A\|}$ ${\displaystyle \|\cdot \|:K^{m\times n}\to \mathbb {R} }$

すべてのスカラーと行列について、 ${\displaystyle \alpha \in K}$${\displaystyle A,B\in K^{m\times n}}$

• ${\displaystyle \|A\|\geq 0}$(正の値)
• ${\displaystyle \|A\|=0\iff A=0_{m,n}}$（確定）
• ${\displaystyle \left\|\alpha A\right\|=\left|\alpha \right|\left\|A\right\|}$（完全に均質）
• ${\displaystyle \|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|}$（劣加法性または三角不等式を満たす）

行列と並べ替えられたベクトルを区別する唯一の特徴は乗算である。行列ノルムは、乗算も可能である場合に特に有用である：^{[1] [2] [3]}

• ${\displaystyle \left\|AB\right\|\leq \left\|A\right\|\left\|B\right\|}$^[注1]

Kn ^{× n}上のすべてのノルムは、サブ乗法になるように再スケールすることができます。いくつかの書籍では、用語「^行列ノルム」はサブ乗法ノルムのために予約されています。^[4]

上のベクトルノルム と上のベクトルノルムが与えられているとします。任意の行列A は、標準基底に関して から への線型演算子を誘導し、対応する誘導ノルム、演算子ノルム、または従属ノルムをすべての行列の空間上で次のように定義します。ここで、は上限を表します。 このノルムは、 によって誘導されるマッピングがベクトルをどれだけ引き伸ばせるかを測定します。使用されるベクトルノルム に応じて、演算子ノルムに 以外の表記法を使用できます。${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$${\displaystyle K^{m}}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle K^{m}}$${\displaystyle K^{m\times n}}$${\displaystyle m\times n}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\|A\|_{\alpha ,\beta }&=\sup\{\|Ax\|_{\beta }:x\in K^{n}{\text{ with }}\|x\|_{\alpha }=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Ax\|_{\beta }}{\|x\|_{\alpha }}}:x\in K^{n}{\text{ with }}x\neq 0\right\}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \sup }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\beta }}$

ベクトル（ ）のpノルムを両方の空間に使用すると、対応する演算子ノルムは次のようになります。^[2]これらの誘導ノルムは、以下で扱う行列の「エントリワイズ」pノルムやシャッテンpノルムとは異なります。これらは通常、${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle K^{m},}$$${\displaystyle \|A\|_{p}=\sup _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{p}}{\|x\|_{p}}}.}$$${\displaystyle \|A\|_{p}.}$

幾何学的に言えば、におけるpノルム単位球を想像し、その球に線形写像を適用することができます。その結果、歪んだ凸形状 となり、歪んだ凸形状の最長の「半径」を測定します。言い換えると、におけるpノルム単位球を取り、それを少なくとも 倍にして、 を収容できる大きさにする必要があります。 ${\displaystyle V_{p,n}=\{x\in K^{n}:\|x\|_{p}\leq 1\}}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AV_{p,n}\subset K^{m}}$${\displaystyle \|A\|_{p}}$${\displaystyle V_{p,m}}$${\displaystyle K^{m}}$${\displaystyle \|A\|_{p}}$${\displaystyle AV_{p,n}}$

のとき、簡単な式が得られます。これは単に行列の列の絶対値の合計の最大値です。これは単に行列の行の絶対値の合計の最大値です。たとえば、 のときは 次の式が得られます。 ${\displaystyle p=1,\infty }$$${\displaystyle \|A\|_{1}=\max _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|,}$$$${\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|,}$$$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-3&5&7\\2&6&4\\0&2&8\\\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle \|A\|_{1}=\max(|{-3}|+2+0;5+6+2;7+4+8)=\max(5,13,19)=19,}$$ $${\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max(|{-3}|+5+7;2+6+4;0+2+8)=\max(15,12,10)=15.}$$

（ベクトルのユークリッドノルムまたは-ノルム） のとき、誘導される行列ノルムはスペクトルノルムです。（2つの値は無限次元では一致しません。詳細についてはスペクトル半径を参照してください。スペクトル半径をスペクトルノルムと混同しないでください。）行列のスペクトルノルムはの最大特異値（つまり、がの共役転置を表す行列の最大固有値の平方根）です。^[5]ここで は行列の最大特異値を表します。${\displaystyle p=2}$${\displaystyle \ell _{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}A,}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \|A\|_{2}={\sqrt {\lambda _{\max }\left(A^{*}A\right)}}=\sigma _{\max }(A).}$$${\displaystyle \sigma _{\max }(A)}$${\displaystyle A.}$

さらに次のプロパティがあります:

• ${\textstyle \|A\|_{2}=\sup\{x^{*}Ay:x\in K^{m},y\in K^{n}{\text{ with }}\|x\|_{2}=\|y\|_{2}=1\}.}$コーシー・シュワルツの不等式によって証明される。
• ${\textstyle \|A^{*}A\|_{2}=\|AA^{*}\|_{2}=\|A\|_{2}^{2}}$特異値分解(SVD)によって証明されます。${\displaystyle A}$
• ${\textstyle \|A\|_{2}=\sigma _{\mathrm {max} }(A)\leq \|A\|_{\rm {F}}={\sqrt {\sum _{i}\sigma _{i}(A)^{2}}}}$、ここで はフロベニウスノルムです。等式は、行列が階数 1 の行列またはゼロ行列である場合にのみ成立します。${\displaystyle \|A\|_{\textrm {F}}}$${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle \|A\|_{2}={\sqrt {\rho (A^{*}A)}}\leq {\sqrt {\|A^{*}A\|_{\infty }}}\leq {\sqrt {\|A\|_{1}\|A\|_{\infty }}}}$。

上記の定義を一般化することができます。空間とに対してそれぞれベクトルノルムとがあるとします。対応する演算子ノルムは です。特に、前に定義した は の特殊なケースです。 ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle K^{m}}$$${\displaystyle \|A\|_{\alpha ,\beta }=\sup _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{\beta }}{\|x\|_{\alpha }}}.}$$${\displaystyle \|A\|_{p}}$${\displaystyle \|A\|_{p,p}}$

およびの特殊なケースでは、誘導行列ノルムは によって計算できます。 ここで、 は行列 の i 番目の行です。${\displaystyle \alpha =2}$${\displaystyle \beta =\infty }$$${\displaystyle \|A\|_{2,\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\|A_{i:}\|_{2},}$$${\displaystyle A_{i:}}$${\displaystyle A}$

およびの特殊なケースでは、誘導行列ノルムは によって計算できます。 ここで、 は行列 の j 番目の列です。${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle \beta =2}$$${\displaystyle \|A\|_{1,2}=\max _{1\leq j\leq n}\|A_{:j}\|_{2},}$$${\displaystyle A_{:j}}$${\displaystyle A}$

したがって、およびはそれぞれ行列の行と列の 2 ノルムの最大値です。 ${\displaystyle \|A\|_{2,\infty }}$${\displaystyle \|A\|_{1,2}}$

任意の演算子ノルムはそれを誘導するベクトルノルムと整合しており、 $${\displaystyle \|Ax\|_{\beta }\leq \|A\|_{\alpha ,\beta }\|x\|_{\alpha }.}$$

; ; および が、それぞれベクトルノルム; ;および のペアによって誘導される演算子ノルムであると仮定します。すると、 ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\beta }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta ,\gamma }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\gamma }}$${\displaystyle (\|\cdot \|_{\alpha },\|\cdot \|_{\beta })}$${\displaystyle (\|\cdot \|_{\beta },\|\cdot \|_{\gamma })}$${\displaystyle (\|\cdot \|_{\alpha },\|\cdot \|_{\gamma })}$

${\displaystyle \|AB\|_{\alpha ,\gamma }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|B\|_{\alpha ,\beta };}$

これは 次の ことから導かれ、$${\displaystyle \|ABx\|_{\gamma }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|Bx\|_{\beta }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|B\|_{\alpha ,\beta }\|x\|_{\alpha }}$$$${\displaystyle \sup _{\|x\|_{\alpha }=1}\|ABx\|_{\gamma }=\|AB\|_{\alpha ,\gamma }.}$$

がベクトルノルムとによって誘導される正方行列の空間上の演算子ノルムであるとします。このとき、演算子ノルムは部分乗法行列ノルムです。 ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\alpha }}$${\displaystyle K^{n\times n}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$$${\displaystyle \|AB\|_{\alpha ,\alpha }\leq \|A\|_{\alpha ,\alpha }\|B\|_{\alpha ,\alpha }.}$$

さらに、そのような規範は不等式を満たす。

すべての正の整数rに対して成り立ち、ここでρ ( A )はAのスペクトル半径です。対称またはエルミートAの場合、 2 ノルムに対して ( 1 )の等式が成り立ちます。この場合、 2 ノルムはAのスペクトル半径とまったく同じだからです。任意の行列の場合、どのノルムに対しても等式が成り立たない場合があります。反例として、スペクトル半径がゼロになる があります 。いずれにしても、どの行列ノルムに対しても、スペクトル半径の式 が成り立ちます。 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\|A^{r}\|^{1/r}=\rho (A).}$$

上の行列ノルムは、すべてのおよびすべて の に対して、上のベクトルノルムおよび上のベクトルノルムと一致するとさ れます。m = nかつ の特別なケースでは、はと互換性があるとも呼ばれます。 ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle K^{m\times n}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$${\displaystyle K^{m}}$$${\displaystyle \left\|Ax\right\|_{\beta }\leq \left\|A\right\|\left\|x\right\|_{\alpha }}$$${\displaystyle A\in K^{m\times n}}$${\displaystyle x\in K^{n}}$${\displaystyle \alpha =\beta }$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$

定義により、すべての誘導ノルムは矛盾しません。また、 上の任意のサブ乗法行列ノルムは、を定義することにより、 上の互換性のあるベクトルノルムを誘導します。 ${\displaystyle K^{n\times n}}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle \left\|v\right\|:=\left\|\left(v,v,\dots ,v\right)\right\|}$

これらのノルムは、行列をサイズのベクトルとして扱い、よく知られているベクトルノルムの 1 つを使用します。たとえば、ベクトルのpノルムp ≥ 1を使用すると、次のようになります。 ${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle m\cdot n}$

${\displaystyle \|A\|_{p,p}=\|\mathrm {vec} (A)\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}}$

これは、誘導pノルム (上記参照) や Schatten pノルム (下記参照) とは異なるノルムですが、表記は同じです。

特別な場合p = 2 はフロベニウスノルムであり、p = ∞ は最大ノルムをもたらします。

を行列の列とします。元の定義によれば、行列はm次元空間にn個のデータ点を表します。ノルム^[6]は行列の列のユークリッドノルムの合計です。 ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle L_{2,1}}$

${\displaystyle \|A\|_{2,1}=\sum _{j=1}^{n}\|a_{j}\|_{2}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{2}\right)^{1/2}}$

誤差関数としてのノルムは、各データ ポイント (列) の誤差が 2 乗されないため、より堅牢です。堅牢なデータ分析やスパース コーディングで使用されます。 ${\displaystyle L_{2,1}}$

p、q ≥ 1の場合、ノルムは次のように一般化できます。 ${\displaystyle L_{2,1}}$${\displaystyle L_{p,q}}$

${\displaystyle \|A\|_{p,q}=\left(\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{p}\right)^{\frac {q}{p}}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

p = q = 2 のノルムはフロベニウスノルムまたはヒルベルト・シュミットノルムと呼ばれますが、後者の用語は（無限次元の可能性のある）ヒルベルト空間上の演算子の文脈でより頻繁に使用されます。このノルムはさまざまな方法で定義できます。 ${\displaystyle L_{p,q}}$

${\displaystyle \|A\|_{\text{F}}={\sqrt {\sum _{i}^{m}\sum _{j}^{n}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{2}(A)}},}$

ここで、トレースは対角要素の和であり、は の特異値です。2 番目の等式は、 の明示的な計算によって証明されます。3 番目の等式は、 の特異値分解と、トレースが円シフトに対して不変であるという事実 によって証明されます。${\displaystyle \sigma _{i}(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathrm {trace} (A^{*}A)}$${\displaystyle A}$

フロベニウス ノルムはユークリッド ノルムの拡張であり、すべての行列の空間上の フロベニウス内積から生じます。${\displaystyle K^{n\times n}}$

フロベニウスノルムは乗法性が劣っており、数値線形代数に非常に役立ちます。フロベニウスノルムの乗法性は、コーシー・シュワルツの不等式を使用して証明できます。

フロベニウスノルムは誘導ノルムよりも計算が簡単な場合が多く、回転（および一般的なユニタリ演算）に対して不変であるという便利な特性があります。つまり、任意のユニタリ行列に対してです。この特性は、トレースの巡回的な性質（）から得られます。 ${\displaystyle \|A\|_{\text{F}}=\|AU\|_{\text{F}}=\|UA\|_{\text{F}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \operatorname {trace} (XYZ)=\operatorname {trace} (YZX)=\operatorname {trace} (ZXY)}$

${\displaystyle \|AU\|_{\text{F}}^{2}=\operatorname {trace} \left((AU)^{*}AU\right)=\operatorname {trace} \left(U^{*}A^{*}AU\right)=\operatorname {trace} \left(UU^{*}A^{*}A\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)=\|A\|_{\text{F}}^{2},}$

同様に:

${\displaystyle \|UA\|_{\text{F}}^{2}=\operatorname {trace} \left((UA)^{*}UA\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}U^{*}UA\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)=\|A\|_{\text{F}}^{2},}$

ここでは のユニタリ性(つまり、) を使用しています。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=\mathbf {I} }$

また、

${\displaystyle \|A^{*}A\|_{\text{F}}=\|AA^{*}\|_{\text{F}}\leq \|A\|_{\text{F}}^{2}}$

そして

${\displaystyle \|A+B\|_{\text{F}}^{2}=\|A\|_{\text{F}}^{2}+\|B\|_{\text{F}}^{2}+2\operatorname {Re} \left(\langle A,B\rangle _{\text{F}}\right),}$

ここで、はフロベニウスの内積であり、Reは複素数の実数部です（実数行列の場合は無関係です）。 ${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\text{F}}}$

最大ノルムは、 p = q が無限大に近づくときの極限における要素ごとのノルムです。

${\displaystyle \|A\|_{\max }=\max _{i,j}|a_{ij}|.}$

このノルムは乗法未満ではありませんが、右辺を に変更すると乗法未満になります。 ${\displaystyle {\sqrt {mn}}\max _{i,j}\vert a_{ij}\vert }$

一部の文献（ 「通信複雑性」など）では、最大ノルムの別の定義（-ノルムとも呼ばれる）が因数分解ノルムを指していることに注意してください。 ${\displaystyle \gamma _{2}}$

${\displaystyle \gamma _{2}(A)=\min _{U,V:A=UV^{T}}\|U\|_{2,\infty }\|V\|_{2,\infty }=\min _{U,V:A=UV^{T}}\max _{i,j}\|U_{i,:}\|_{2}\|V_{j,:}\|_{2}}$

シャッテンpノルムは、 pノルムを行列の特異値のベクトルに適用するときに生じる。 ^[2]行列の特異値がσ _iで表される場合、シャッテンpノルムは次のように定義される。 ${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \|A\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{p}(A)\right)^{1/p}.}$

これらのノルムは、誘導された p ノルムやエントリごとのpノルムと表記法を共有していますが、異なります。

すべてのシャッテンノルムは、約乗法です。また、ユニタリ不変であり、すべての行列とすべてのユニタリ行列およびに対して成り立ちます。 ${\displaystyle \|A\|=\|UAV\|}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

最もよく知られているケースは、p = 1、2、∞です。p = 2の場合は、前に紹介したフロベニウスノルムになります。p = ∞の場合は、スペクトルノルムになります。これは、ベクトル2ノルムによって誘導される演算子ノルムです（上記を参照）。最後に、p = 1の場合は、次のように定義される核ノルム（トレースノルム、またはKy Fan 'n'ノルム^[7]とも呼ばれます）になります。

${\displaystyle \|A\|_{*}=\operatorname {trace} \left({\sqrt {A^{*}A}}\right)=\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}(A),}$

ここで、は となる半正定値行列を表します。より正確には、は半正定値行列であるため、その平方根は明確に定義されます。核ノルムはランク関数 の凸包であるため、数学的最適化で低ランク行列を探すために よく使用されます。${\displaystyle {\sqrt {A^{*}A}}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle BB=A^{*}A}$${\displaystyle A^{*}A}$${\displaystyle \|A\|_{*}}$${\displaystyle {\text{rank}}(A)}$

フォン・ノイマンのトレース不等式とユークリッド空間のヘルダー不等式を組み合わせると、シャッテンノルムのヘルダー不等式のバージョンが得られます。 ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$

${\displaystyle \left|\operatorname {trace} (A'B)\right|\leq \|A\|_{p}\|B\|_{q},}$

特に、これはシャッテンノルム不等式を意味する。

${\displaystyle \|A\|_{F}^{2}\leq \|A\|_{p}\|A\|_{q}.}$

行列ノルムは、ローナー順序に関して単調である場合に単調であると呼ばれる。したがって、行列ノルムが増加する場合、 ${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle A\preccurlyeq B\Rightarrow \|A\|\leq \|B\|.}$

フロベニウスノルムとスペクトルノルムは単調ノルムの例である。^[8]

行列ノルムのもう一つの発想源は、行列を重み付き有向グラフの隣接行列として考えることから生まれます。[ 9] いわゆる「カットノルム」は、関連するグラフが二部グラフにどれだけ^近い かを測定します。ここ で、A ∈ K ^{m × n です}。^{[9] [10] [11]} 同等の定義（定数係数まで）では、条件2| S | > n & 2| T | > m ; S = T ; またはS ∩ T = ∅が課されます。^[10]$${\displaystyle \|A\|_{\Box }=\max _{S\subseteq [n],T\subseteq [m]}{\left|\sum _{s\in S,t\in T}{A_{t,s}}\right|}}$$

カットノルムは誘導演算子ノルム‖· _‖∞→1と同等であり、それ自体はグロタンディークノルムと呼ばれる別のノルムと同等である。^[11]

グロタンディークノルムを定義するには、まず線形演算子K ¹ → K ¹は単なるスカラーであり、したがって任意のK ^k → K ^k上の線形演算子に拡張されることに注意する。さらに、 K ⁿとK ^mの基底を任意に選択すると、任意の線形演算子K ⁿ → K ^mは、各行列要素をスカラー乗算によってK ^kの要素に乗せることで、線形演算子( K ^k ) ⁿ → ( K ^k ) ^mに拡張される。グロタンディークノルムは、拡張された演算子のノルムであり、記号で表すと次のようになる。^[11] $${\displaystyle \|A\|_{G,k}=\sup _{{\text{each }}u_{j},v_{j}\in K^{k};\|u_{j}\|=\|v_{j}\|=1}{\sum _{j\in [n],\ell \in [m]}{(u_{j}\cdot v_{j})A_{\ell ,j}}}}$$

グロタンディークノルムは基底（通常は標準基底とされる）とkの選択に依存します。

任意の 2 つの行列ノルムとに対して、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$

${\displaystyle r\|A\|_{\alpha }\leq \|A\|_{\beta }\leq s\|A\|_{\alpha }}$

正の数rとsに対して、すべての行列 に対して成り立ちます。言い換えると、 上のすべてのノルムは同値であり、上に同じ位相を誘導します。ベクトル空間が有限次元を持つため、これは当てはまります。 ${\displaystyle A\in K^{m\times n}}$${\displaystyle K^{m\times n}}$${\displaystyle K^{m\times n}}$${\displaystyle K^{m\times n}}$ ${\displaystyle m\times n}$

さらに、上の任意の行列ノルムに対して、が任意の に対して乗法行列ノルム未満となるような唯一の正の実数が存在する。すなわち、 ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \ell \|\cdot \|}$${\displaystyle \ell \geq k}$

${\displaystyle k=\sup\{\Vert AB\Vert \,:\,\Vert A\Vert \leq 1,\Vert B\Vert \leq 1\}.}$

を満たす他の部分乗法行列ノルムが存在しない場合、部分乗法行列ノルムは最小であると言われます。 ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }<\|\cdot \|_{\alpha }}$

ここで、ベクトルpノルムによって誘導されるノルムについてもう一度説明します(上記の「誘導ノルム」のセクションを参照)。 ${\displaystyle \|A\|_{p}}$

階数の行列については、次の不等式が成り立つ：^{[12] [13]}${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle r}$

• ${\displaystyle \|A\|_{2}\leq \|A\|_{F}\leq {\sqrt {r}}\|A\|_{2}}$
• ${\displaystyle \|A\|_{F}\leq \|A\|_{*}\leq {\sqrt {r}}\|A\|_{F}}$
• ${\displaystyle \|A\|_{\max }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {mn}}\|A\|_{\max }}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\|A\|_{\infty }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {m}}\|A\|_{\infty }}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {m}}}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|A\|_{1}.}$

• 二重規範
• 対数ノルム

• James W. Demmel、「応用数値線形代数」、セクション 1.7、SIAM 発行、1997 年。
• Carl D. Meyer著「行列解析と応用線形代数」SIAM出版、2000年。[1]
• John Watrous、「量子情報理論」、2.3 演算子の規範、講義ノート、ウォータールー大学、2011 年。
• ケンドール・アトキンソン著『数値解析入門』、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社、1989年出版