ラデマッハ分布

ラデマッハー

サポート	${\displaystyle k\in \{-1,1\}\,}$
ＰＭＦ	${\displaystyle f(k)=\left\{{\begin{matrix}1/2&{\mbox{if }}k=-1,\\1/2&{\mbox{if }}k=+1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{matrix}}\right.}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle F(k)={\begin{cases}0,&k<-1\\1/2,&-1\leq k<1\\1,&k\geq 1\end{cases}}}$
平均	${\displaystyle 0\,}$
中央値	${\displaystyle 0\,}$
モード	該当なし
分散	${\displaystyle 1\,}$
歪度	${\displaystyle 0\,}$
過剰尖度	${\displaystyle -2\,}$
エントロピ	${\displaystyle \ln(2)\,}$
MGF の	${\displaystyle \cosh(t)\,}$
CF	${\displaystyle \cos(t)\,}$

確率論と統計学において、ラーデマッハ分布（ハンス・ラーデマッハにちなんで名付けられた）は、ランダム変量Xが +1になる確率が50%、-1になる確率が50%の離散確率分布である。 ^[1]

ラデマッハ分布変数の系列（つまり、合計）は、ステップ サイズが 1 である単純な対称ランダム ウォークと見なすことができます 。

この分布の 確率質量関数は

${\displaystyle f(k)=\left\{{\begin{matrix}1/2&{\mbox{if }}k=-1,\\1/2&{\mbox{if }}k=+1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{matrix}}\right.}$

ディラックのデルタ関数に関しては、

${\displaystyle f(k)={\frac {1}{2}}\left(\delta \left(k-1\right)+\delta \left(k+1\right)\right).}$

確率論では、ベルンシュタイン不等式などの集中不等式やトマシェフスキーの予想のような反集中不等式など、 iidラデマッハー変数の合計を分析することに関してさまざまな結果が得られています。

{ x _i } をラーデマッハー分布に従う確率変数の集合とする。{ a _i } を実数の列とする。すると

${\displaystyle \Pr \left(\sum _{i}x_{i}a_{i}>t||a||_{2}\right)\leq e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}}$

ここで、|| a || ₂は数列{ ai _}のユークリッドノルム、t > 0は実数、Pr( Z )は事象Zの確率である。^[2]

Y = Σ x _i a _iとし、Y をバナッハ空間におけるほぼ確実に収束する級数とする。t > 0 かつs ≥ 1 のとき、^[3]

${\displaystyle \Pr \left(||Y||>st\right)\leq \left[{\frac {1}{c}}\Pr(||Y||>t)\right]^{cs^{2}}}$

ある定数cに対して。

pを正の実数とすると、ヒンチン不等式は[ ^4]

${\displaystyle c_{1}\left[\sum {\left|a_{i}\right|^{2}}\right]^{\​​frac {1}{2}}\leq \left(E\left[\left|\sum {a_{i}x_{i}}\right|^{p}\right]\right)^{\frac {1}{p}}\leq c_{2}\left[\sum {\left|a_{i}\right|^{2}}\right]^{\​​frac {1}{2}}}$

ここで、c ₁とc _{2 は}pのみに依存する定数です。

p ≥ 1の場合、${\displaystyle c_{2}\leq c_{1}{\sqrt {p}}.}$

1986年、ボグスワフ・トマシェフスキは、独立したラデマッハ変数の和の分布に関する問題を提案しました。この問題に関する一連の研究^{[5] [6]は、} 2020年にネイサン・ケラーとオハッド・クラインによる次の予想の証明に結実しました。^[7]

予想。とを独立したラデマッハ変数とする。すると、 ${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}}$${\displaystyle a_{1}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}=1}$${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle \Pr[|X|\leq 1]\geq 1/2.}$

例えば、のとき、Van Zuijlenによって初めて示された次の境界が得られます。^[8]${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=1/{\sqrt {n}}}$

${\displaystyle \Pr \left(\left|{\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}}{\sqrt {n}}}\right|\leq 1\right)\geq 0.5.}$

この境界は明確であり、正規分布から導出される境界よりも優れています (およそ Pr > 0.31)。

Rademacher分布はブートストラップに使用されています。

Rademacher 分布は、正規分布していて相関がないということは独立を意味しないことを示すために使用できます。

ラデマッハ分布から独立してサンプリングされた成分を持つランダムベクトルは、さまざまな確率的近似に役立ちます。たとえば、

• ハッチンソントレース推定量^[9]は、要素が直接アクセスできないが、行列ベクトル積を介して暗黙的に定義される行列のトレースを効率的に近似するために使用できます。
• SPSAは、計算コストが低く、導関数を必要としない確率的勾配近似であり、数値最適化に役立ちます。

対称化不等式では、ラーデマッハ確率変数が使用されます。

• ベルヌーイ分布: X がラーデマッハ分布に従う場合、 はベルヌーイ(1/2)分布に従います。${\displaystyle {\frac {X+1}{2}}}$
• ラプラス分布: X がラーデマッハ分布を持ち、Y ~ Exp(λ) がXから独立している場合、XY ~ Laplace(0, 1/λ) となります。