べき等行列

線型代数 において、べき等行列とは、それ自身を掛け合わせたときにそれ自身になる行列のことである。 ^{[1] [2]}つまり、行列はのときのみべき等である。この積が定義されるためには、は必ず正方行列でなければならない。このように見ると、べき等行列は行列環のべき等元である。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{2}=A}$${\displaystyle A^{2}}$${\displaystyle A}$

べき等行列 の例は次のとおりです。${\displaystyle 2\times 2}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}3&-6\\1&-2\end{bmatrix}}}$$

べき等行列 の例は次のとおりです。${\displaystyle 3\times 3}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{bmatrix}}}$$

行列がべき等であれば、 ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

• ${\displaystyle a=a^{2}+bc,}$
• ${\displaystyle b=ab+bd,}$そう示唆するか${\displaystyle b(1-a-d)=0}$${\displaystyle b=0}$${\displaystyle d=1-a,}$
• ${\displaystyle c=ca+cd,}$そう示唆するか${\displaystyle c(1-a-d)=0}$${\displaystyle c=0}$${\displaystyle d=1-a,}$
• ${\displaystyle d=bc+d^{2}.}$

したがって、行列がべき等であるための必要条件は、対角行列であるか、そのトレースが1 に等しいことです。べき等対角行列の場合、およびは1 または 0 のいずれかでなければなりません。 ${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle a}$${\displaystyle d}$

の場合、行列は冪等となり、 aは二次方程式を満たす。${\displaystyle b=c}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$

${\displaystyle a^{2}-a+b^{2}=0,}$または${\displaystyle \left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4}}}$

これは中心が(1/2, 0)で半径が1/2の円です。角度θで表すと、

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}}$冪等です。

しかし、これは必要条件ではない。任意の行列 ${\displaystyle b=c}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}}$はべき等です。${\displaystyle a^{2}+bc=a}$

唯一の非特異なべき等行列は単位行列です。つまり、非単位行列がべき等である場合、その独立した行（および列）の数は、その行（および列）の数よりも少なくなります。

これは、 Aがフルランク（非特異）であると仮定して と書き、 をあらかじめ乗算してを得ることからわかります。 ${\displaystyle A^{2}=A}$${\displaystyle A^{-1}}$${\displaystyle A=IA=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I}$

べき等行列を単位行列から減算すると、結果もべき等になります。これは、

${\displaystyle (I-A)(I-A)=I-A-A+A^{2}=I-A-A+A=I-A.}$

行列Aがべき等である場合、すべての正の整数 n に対して となります。これは、帰納法による証明を使用して示すことができます。明らかに、に対してという結果が得られます。 と仮定します。すると、Aはべき等であるため となります。したがって、帰納法の原理により、結果は次のようになります。 ${\displaystyle A^{n}=A}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle A^{1}=A}$${\displaystyle A^{k-1}=A}$${\displaystyle A^{k}=A^{k-1}A=AA=A}$

べき等行列は常に対角化可能です。^[3]その固有値は 0 または 1 です。 が何らかのべき等行列の非ゼロの固有ベクトルとその関連固有値である場合、次の式が成り立ちます。これはさらに、べき等行列の行列式が常に 0 または 1 であることを意味します。前述のように、行列式が 1 に等しい場合、行列は逆行列であるため単位行列となります。 ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda }$${\textstyle \lambda \mathbf {x} =A\mathbf {x} =A^{2}\mathbf {x} =A\lambda \mathbf {x} =\lambda A\mathbf {x} =\lambda ^{2}\mathbf {x} ,}$${\displaystyle \lambda \in \{0,1\}.}$

べき等行列のトレースは、その行列の主対角線上の要素の合計であり、行列のランクに等しいため、常に整数になります。これにより、ランクを簡単に計算できます。また、要素が具体的にわかっていない行列のトレースを簡単に決定できます (これは統計学で役立ちます。たとえば、標本分散を母分散の推定値として使用する際の偏りの度合いを確立する場合に役立ちます)。

回帰分析では、行列 は、従属変数のベクトルを共変量行列 に回帰して得られた残差を生成することが知られています。(「応用」のセクションを参照してください。) ここで、を の列のサブセットから形成された行列とし、 とします。と が両方ともべき等であることは簡単に示せますが、 であるというのは少々意外な事実です。 これは、つまり、 の列の回帰による残差が0であるためです。は のサブセットであるため、 は完全に補間できます(直接代入により であることが簡単に示せます)。 この結果から、他の 2 つの重要な結果が導かれます。1 つは が対称かつべき等であること、もう 1 つは、つまり がに直交していることです。 これらの結果は、たとえば F 検定の導出で重要な役割を果たします。 ${\displaystyle M=I-X(X'X)^{-1}X'}$${\displaystyle e}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M_{1}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle MM_{1}=M}$${\displaystyle MX_{1}=0}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle MX=0}$${\displaystyle (M_{1}-M)}$${\displaystyle (M_{1}-M)M=0}$${\displaystyle (M_{1}-M)}$${\displaystyle M}$

べき等行列の類似行列もすべてべき等です。 べき等性は基底の変更の下でも保存されます。これは、べき等である変換された行列を で乗算することで示されます。 ${\displaystyle SAS^{-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (SAS^{-1})^{2}=(SAS^{-1})(SAS^{-1})=SA(S^{-1}S)AS^{-1}=SA^{2}S^{-1}=SAS^{-1}}$

べき等行列は回帰分析や計量経済学で頻繁に登場する。例えば、通常の最小二乗法では、回帰問題は残差の二乗和（予測誤差） e _iを最小化するように係数推定値のベクトルβを選択することである。行列形式では、

最小化${\displaystyle (y-X\beta )^{\textsf {T}}(y-X\beta )}$

ここで、は従属変数の観測値のベクトルであり、は各列が独立変数の1つに関する観測値の列である行列である。結果として得られる推定値は ${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}=\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}y}$

ここで上付き文字Tは転置を表し、残差ベクトルは^[2]

${\displaystyle {\hat {e}}=y-X{\hat {\beta }}=y-X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}y=\left[I-X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}\right]y=My.}$

ここで、 と（後者はハット行列として知られています）は両方ともべき等かつ対称な行列であり、この事実により残差の二乗和を計算するときに簡略化が可能になります。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}}$

${\displaystyle {\hat {e}}^{\textsf {T}}{\hat {e}}=(My)^{\textsf {T}}(My)=y^{\textsf {T}}M^{\textsf {T}}My=y^{\textsf {T}}MMy=y^{\textsf {T}}My.}$

のべき等性は、推定値の分散を決定する場合など、他の計算でも役割を果たします。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle {\hat {\beta }}}$

べき等線形演算子は、そのヌル空間⁠ ⁠に沿った範囲空間⁠ ⁠上の射影演算子です。は、べき等かつ対称である場合にのみ、直交射影演算子です。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R(P)}$ ${\displaystyle N(P)}$${\displaystyle P}$

• 冪等性
• ニルポテント
• 射影（線形代数）
• 帽子マトリックス