特異な痕跡

可分ヒルベルト空間上の作用素の両側イデアルJ上に、非零トレース φ が存在するのは、その交換子部分空間の余次元がゼロでない場合である。無限個の線形独立な非零特異トレースを許容するイデアルが存在する。例えば、弱トレースクラス作用素のイデアルの交換子部分空間はトレースクラス作用素のイデアルを含み、弱トレースクラスの交換子部分空間内のすべての正作用素はトレースクラスである。^{[ 12 ]} その結果、弱トレースクラスイデアル上のすべてのトレースは特異であり、弱トレースクラスイデアルの交換子部分空間の余次元は無限である。^{[ 6 ] : 191}弱トレースクラスイデアル上のすべての特異トレースがディクスミエトレースであるとは限らない。^{[ 6 ] : 316}

正方行列のトレースは、その固有値の合計です。リドスキーの公式はこの結果を関数解析に拡張し、トレースクラス演算子Aのトレースは、その固有値の合計で与えられると述べています。^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\rm {Tr}}(A)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda (n,A)=\sum (\lambda (A)).}$

2イデアルJの正作用素上のトレース φ を特異値に適用される対称汎関数として特徴付ける ( 1 ) は、 J内の任意の作用素上のトレース φ は、 J内のすべての作用素の固有値がカルキン数列空間jに属する場合に限り、固有値列に適用される同じ対称汎関数によって与えられるという記述に改善できる。^{[ 14 ]} 特に、有界作用素AがJに属する場合、 J内に有界作用素Bが存在し、

すべての自然数nに対して、 J上の各トレース φ に対して、カルキン空間j上に一意の対称関数fが存在し、

ここで、λ( A ) は、 J内の演算子Aの固有値の列を、固有値の絶対値が減少するように並べ替えたものです。Aが準冪零である場合、λ( A ) はゼロ列になります。ほとんどの両側イデアルは、すべてのバナッハ イデアルと準バナッハ イデアルを含め、性質 ( 2 ) を満たします。

式（３）は、特異なトレースが演算子の漸近スペクトル挙動を測定するという正確な記述である。

正方行列のトレースは、その対角要素の和です。関数解析では、トレースクラス演算子に対応する式は次のようになります。

${\displaystyle {\rm {Tr}}(A)=\sum _{n=0}^{\infty }\langle Ae_{n},e_{n}\rangle =\sum (\{\langle Ae_{n},e_{n}\rangle \}_{n=0}^{\infty })}$

ここで、{ e _n } _{n =0} ^∞は、可分ヒルベルト空間Hの任意の正規直交基底です。特異トレースは、任意の基底に対して同等の定式化を持ちません。φ( A )=0 の場合のみ、演算子Aは一般に次の条件を満たします。

${\displaystyle \varphi (A)={\rm {f}}(\{\langle Ae_{n},e_{n}\rangle \}_{n=0}^{\infty })}$

特異トレースφと任意の正規直交基底{ e _n } _{n =} ^0∞に対して 。^{[ 6 ]： 242}

積のトレースを計算する際には、積の固有値を決定するのが難しいため、リドスキーの定式化の代わりに、対角化の定式化がよく用いられます。例えば、量子統計力学では、観測量Sの期待値は、固定されたトレースクラスのエネルギー密度演算子Tに対して、次の式で計算されます。

${\displaystyle \langle S\rangle ={\rm {Tr}}(ST)=\sum _{n=0}^{\infty }\langle Se_{n},e_{n}\rangle \lambda (n,T)=v_{T}(\{\langle Se_{n},e_{n}\rangle \}_{n=0}^{\infty })}$

ここで、v _{T は}( l _∞ ) _* ≅ l ₁に属します。期待値は、期待値 ⟨ Se _n , e _n ⟩ と、システムが束縛量子状態e _nにある確率 ⟨ P _n ⟩ = λ( n , T ) から計算されます。ここで、P _nは、エネルギー固有状態e _nによって張られる 1 次元部分空間への射影演算子です。積 λ( n , ST ) の固有値には、同等の解釈はありません。

積の特異なトレースに関する結果がある。^{[ 15 ]} Sが有界でTが自己共役であり、両側イデアルJに属する積STの場合、

${\displaystyle \varphi (ST)={\rm {f}}(\{\langle Se_{n},e_{n}\rangle \lambda (n,T)\}_{n=0}^{\infty })=v_{\varphi ,T}(\{\langle Se_{n},e_{n}\rangle \}_{n=0}^{\infty })}$

J上の任意のトレース φ に対して。正規直交基底 { e _n } _{n =0} ^∞はTe _n = μ( n , T ) e _n、n = 0,1,2...となるように順序付けられなければならない。φ が特異で φ( T ) = 1 の場合、 v _φ、Tは収束列cの無限遠極限を拡張するl _∞上の線形汎関数である。この場合の期待値 ⟨ S ⟩ = φ( ST ) は、各nに対して ⟨ P _n ⟩ = 0となる性質、つまり束縛量子状態にある確率がないという性質を持つ。

${\displaystyle \langle S\rangle ={\text{``limit at infinity''}}\langle Se_{n},e_{n}\rangle }$

特異な痕跡、対応原理、および古典的極限の間の関連性につながった。 ^{[ 6 ]： ch 12}

• 有界作用素。ポール・ハルモスは1954年に、分離可能な無限次元ヒルベルト空間上のすべての有界作用素は2つの交換子の和であることを示した。^{[ 17 ]}つまり、Com( B ( H )) = B ( H )であり、 B ( H )の交換子部分空間の余次元はゼロである。有界線形作用素は、至るところで定義されたトレースを許容しない。この条件は重要である。フォン・ノイマン代数 として、B ( H )は半有限（強く稠密に定義された）トレースを許容する。

交換子部分空間の現代的な調査では、そのスペクトル特性を検証します。以下のイデアルは、カルキン対応シーケンス空間からの正のシーケンスのチェザロ平均がシーケンス空間に戻るため、痕跡を持ちません。これは、イデアルとその交換子部分空間が等しいことを示しています。

• コンパクト作用素。交換子部分空間 Com( K ( H )) = K ( H ) は、コンパクト線形作用素を表す。コンパクト作用素のイデアルはトレースを持たない。
• シャッテンpイデアル。交換子部分空間 Com( L _p ) = L _p、p > 1、ここでL _pはシャッテンpイデアルを表す。

${\displaystyle L_{p}=\{A\in K(H):\left(\sum _{n=0}^{\infty }\mu (n,A)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}<\infty \},}$

また、μ( A )はコンパクト作用素Aの特異値の列を表す。p > 1の場合のシャッテンイデアルはトレースを持たない。

• ローレンツpイデアルまたは弱L _pイデアル。交換子部分空間 Com( L _{p ,∞} ) = L _{p ,∞}、p > 1、ここで

${\displaystyle L_{p,\infty }=\{A\in K(H):\mu (n,A)=O(n^{-{\frac {1}{p}}})\}}$

は弱L _pイデアルです。弱L _pイデアル ( p > 1) はトレースを持ちません。弱L _pイデアルは、凹関数ψ( n ) = n ^{1−1/ p}を持つローレンツ イデアル (下記) と等しくなります。

• 有限ランク演算子。スペクトル条件から、演算子トレースTrの核と有限ランク演算子の交換子部分空間が等しいこと、ker Tr = Com( F ( H )) が確認できる。したがって、交換子部分空間 Com( F ( H )) はF ( H )において余次元 1 を持つ。スケーリングを除いて、Tr はF ( H )上の唯一のトレースである。
• トレースクラス演算子。トレースクラス演算子L ₁は、Com( L _{1 ) が ker Tr に厳密に含まれます。したがって、}交換子部分空間の余次元は 1 より大きく、無限であることが示されています。^{[ 18 ]}スケーリングを除いて Tr は、ノルム ||A|| _{1 = Tr(|A|) に対する}L ₁上の唯一の連続トレースですが、トレースクラス演算子のイデアルは、無限に多くの線形独立で非自明な特異トレースを許容します。
• 弱いトレースクラス演算子。Com( L _{1 ,∞} ) ₊ = ( L ₁ ) _{+なので、弱い}L ₁イデアルの交換子部分空間の余次元は無限です。弱いトレースクラス演算子上のすべてのトレースはトレースクラス演算子上で消滅するため、特異です。弱いトレースクラス演算子は、イデアル上のすべてのトレースが特異でなければならない最小のイデアルを形成します。^{[ 18 ]}ディクスミエ トレースは、弱いトレースクラス演算子上のトレースの明示的な構成を提供します。

${\displaystyle {\rm {Tr}}_{\omega }(A)=\omega \left(\left\{{\frac {1}{\log(1+n)}}\sum _{k=0}^{n}\lambda (k,A)\right\}_{n=0}^{\infty }\right),\quad A\in L_{1,\infty }.}$

この公式は、すべての弱トレースクラス作用素Aに対して有効であり、絶対値の降順に並べられた固有値を含みます。また、ω は通常の極限のl _∞への任意の拡張であり、ディクスミエの元の定式化のように膨張不変である必要はありません。弱トレースクラスイデアル上のすべての特異トレースがディクスミエトレースであるとは限りません。^{[ 6 ] : 316}

• kテンソル弱トレースクラスイデアル。弱L _pイデアル ( p > 1) は、上記の説明にあるようにトレースを持ちません。これらは、弱トレースクラスイデアルL _{1 ,∞}上のトレースの高階因数分解に適した設定ではありません。自然数k ≥ 1 の場合、イデアルは

${\displaystyle E_{\otimes k}=\{A\in K(H):\mu (n,A)=O(\log ^{k-1}(n)/n)\}}$

適切な設定を形成する。それらは無限余次元の交換子部分空間を持ち、E _{⊗ k -1} ⊂ Com( E _{⊗ k} ) となるような鎖を形成する（ただし、 E ₀ = L ₁という慣例に従う）。E _{⊗ k}上のディクスミエ トレースは次の形式をとる 。

${\displaystyle {\rm {Tr}}_{\omega }^{k}(A)=\omega \left(\left\{{\frac {1}{\log ^{k}(1+n)}}\sum _{j=0}^{n}\lambda (j,A)\right\}_{n=0}^{\infty }\right),\quad A\in E_{\otimes k}.}$

• ローレンツψイデアル。 ディクスミエトレースの自然な設定は、凹増加関数ψ : [0,∞) → [0,∞)のローレンツψイデアル上である。

${\displaystyle L_{\psi }=\{A\in K(H):{\frac {1}{\psi (1+n)}}\sum _{j=0}^{n}\mu (n,A)<\infty \}.}$

通常の極限をl _{∞まで拡張する ω が}いくつか存在し、

${\displaystyle {\rm {Tr}}_{\omega }^{\psi }(A)=\omega \left(\left\{{\frac {1}{\psi (1+n)}}\sum _{j=0}^{n}\lambda (j,A)\right\}_{n=0}^{\infty }\right),\quad A\in L_{\psi }}$

は、次の場合に限り特異なトレースである^{[ 6 ] : 225}

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {\psi (2n)}{\psi (n)}}=1.}$

μ( A )=ψ' を満たす任意のコンパクト作用素Aによって生成される主イデアルは、 L _ψ内の「小イデアル」と呼ばれます。kテンソル弱トレースクラスイデアルは、ψ = log ^kを満たすローレンツイデアル内の小イデアルです。

• 完全対称イデアルはローレンツイデアルを一般化したものです。ディクスミエトレースは、スケーリングを除いてローレンツイデアル上のすべての完全対称トレースを形成し、一般的な完全対称イデアル上の完全対称トレースの弱い*稠密部分集合を形成します。完全対称トレースは、完全対称イデアル上の正のトレースの厳密な部分集合であることが知られています。 ^{[ 6 ] : 109}したがって、ディクスミエトレースはローレンツイデアル上の正のトレースの完全な集合ではありません。