スーパートレース

超代数理論において、Aが可換超代数、Vが自由右A超加群、T がVからそれ自身への自己準同型である場合、Tの超トレースstr( T ) は次のトレース図によって定義されます。

より具体的には、 Tを偶数と奇数の部分空間に分解した後、 ブロック行列形式で次のように書き出すと、

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}T_{00}&T_{01}\\T_{10}&T_{11}\end{pmatrix}}}$

そしてスーパートレース

str( T ) = T ₀₀の通常のトレース− T ₁₁の通常のトレース。

_{スーパートレースが}基底に依存しないことを示しましょう。e ₁、...、e _{p を}偶数基底ベクトル、e p ₊₁、...、e _{p + q}を奇数基底ベクトルとします。すると、 Aの要素であるTの成分は次のように定義されます。

${\displaystyle T(\mathbf {e} _{j})=\mathbf {e} _{i}T_{j}^{i}.\,}$

T ⁱ _jのグレーディングは、T、e _i、e _j mod 2のグレーディングの合計です。

e _1'、...、e _p'、e _{( p +1)'}、...、e _{( p + q )'}への基底の変更は、スーパーマトリックスによって与えられる。

${\displaystyle \mathbf {e} _{i'}=\mathbf {e} _{i}A_{i'}^{i}}$

そして逆スーパー行列

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\mathbf {e} _{i'}(A^{-1})_{i}^{i'},\,}$

もちろん、AA ⁻¹ = A ⁻¹ A = 1（恒等式）です。

これで、スーパートレースが基底に依存しないことを明示的に確認できる。Tが偶数 の場合、

${\displaystyle \operatorname {str} (A^{-1}TA)=(-1)^{|i'|}(A^{-1})_{j}^{i'}T_{k}^{j}A_{i'}^{k}=(-1)^{|i'|}(-1)^{(|i'|+|j|)(|i'|+|j|)}T_{k}^{j}A_{i'}^{k}(A^{-1})_{j}^{i'}=(-1)^{|j|}T_{j}^{j}=\operatorname {str} (T).}$

Tが奇数 の場合、

${\displaystyle \operatorname {str} (A^{-1}TA)=(-1)^{|i'|}(A^{-1})_{j}^{i'}T_{k}^{j}A_{i'}^{k}=(-1)^{|i'|}(-1)^{(1+|j|+|k|)(|i'|+|j|)}T_{k}^{j}(A^{-1})_{j}^{i'}A_{i'}^{k}=(-1)^{|j|}T_{j}^{j}=\operatorname {str} (T).}$

通常のトレースは基底に依存しないので、 Z ₂段階設定で使用する適切なトレースはスーパートレースです。

スーパートレースは、次の性質を満たす。

${\displaystyle \operatorname {str} (T_{1}T_{2})=(-1)^{|T_{1}||T_{2}|}\operatorname {str} (T_{2}T_{1})}$

End( V ) のすべてのT ₁、T ₂に対して。特に、スーパーコミュテータのスーパートレースはゼロです。

実際、可換超代数 A 上の任意の結合超代数 E に対して、より一般的には、超交換子上で消える線型写像 tr: E -> A として超トレースを定義することができます。 [ 1 ]このような超^{トレースは一意に定義されませんが、少なくとも}Aの要素による乗算によって常に変更できます。

超対称量子場理論では、作用積分は対称変換（超対称変換と呼ばれる）の集合の下で不変であり、その代数は超代数であるが、超トレースはさまざまな用途がある。このような文脈では、理論の質量行列の超トレースは、異なるスピンの粒子の質量行列のトレースのスピンの合計として表すことができる。^[2]

${\displaystyle \operatorname {str} [M^{2}]=\sum _{s}(-1)^{2s}(2s+1)\operatorname {tr} [m_{s}^{2}].}$

超ポテンシャルに繰り込み可能な項のみが現れる異常のない理論では、超対称性が自発的に破れた場合でも、上記の超トレースが消えることが示されます。

1ループで生じる有効ポテンシャル（コールマン・ワインベルグポテンシャル^[3]と呼ばれることもある）への寄与は、スーパートレースで表すこともできる。与えられた理論の質量行列が である場合、1ループポテンシャルは次のように表される。 ${\displaystyle M}$

${\displaystyle V_{eff}^{1-loop}={\dfrac {1}{64\pi ^{2}}}\operatorname {str} {\bigg [}M^{4}\ln {\Big (}{\dfrac {M^{2}}{\Lambda ^{2}}}{\Big )}{\bigg ]}={\dfrac {1}{64\pi ^{2}}}\operatorname {tr} {\bigg [}m_{B}^{4}\ln {\Big (}{\dfrac {m_{B}^{2}}{\Lambda ^{2}}}{\Big )}-m_{F}^{4}\ln {\Big (}{\dfrac {m_{F}^{2}}{\Lambda ^{2}}}{\Big )}{\bigg ]}}$

ここで、およびは理論におけるボゾン的自由度とフェルミオン的自由度に対するそれぞれのツリーレベルの質量行列であり、はカットオフスケールです。 ${\displaystyle m_{B}}$${\displaystyle m_{F}}$${\displaystyle \Lambda}$

• ベレジニアン