橋脚骨

幾何学において、二等辺三角形の等しい辺の向かい合う角はそれ自体等しいという定理は、ラテン語で「ロバの橋」を意味するポンス・アシノールム（/ ˈ p ɒ n z ˌ æ s ɪ ˈ n ɔːr ə m / PONZ ass-ih- NOR -əm）として知られており、より説明的には二等辺三角形の定理である。この定理はユークリッドの『原論』第1巻の命題5に登場している。^[1]その逆もまた真で、三角形の2つの角が等しい場合、それらの向かい合う辺もまた等しい。

Pons asinorum は、批判的思考力のテストとして機能する問題や課題の比喩としても使用され、「ロバの橋」が有能な推論者と無能な推論者を区別する能力を指しています。この文脈で最初に使用されたのは 1645 年です。^[2]

pons asinorumという名前には 2 つの一般的な説明があり、最も単純なのは、使用されている図が物理的な橋に似ているというものです。しかし、より一般的な説明は、これが読者の知能の要素における最初の実際のテストであり、それに続くより難しい命題への「橋」として機能するというものです。^[3]

二等辺三角形の定理を表す中世の別の用語はエレフーガであり、ロジャー・ベーコンによれば、これはギリシャ語のエレギア（悲惨）とラテン語のフーガ（逃亡）に由来し、つまり「悪党の逃亡」を意味する。この語源は疑わしいが、チョーサーがこの定理を「悪党の逃亡」と呼んだことにも反映されている。^[4]

デュルカーノンという名前は、ユークリッドの『第一巻』の第47番目の命題、通称ピタゴラスの定理に付けられたもので、アラビア語の「二本の角の持ち主」を意味する「 Dhū 'l qarnain ذُو ٱلْقَرْنَيْن」に由来する。これは定理の図では図の上部に角のような2つの小さな正方形が描かれていたためである。この用語は同様にジレンマの比喩として使われてきた。^[4]ポンス・アシノラムという名前自体がピタゴラスの定理に時々使われている。^[5]

カール・フリードリヒ・ガウスはかつて、オイラーの等式を理解することが、誰かが一流の数学者になれるかどうかを示す基準として同様の役割を果たすかもしれないと示唆したとされている。^[6]

ユークリッドの橋のアシノラムに関する記述には、三角形の等しい辺を底辺より下に延長すると、延長部分と底辺の間の角度も等しいという 2 番目の結論が含まれています。ユークリッドの証明では、これらの延長部分に補助線を引きます。しかし、ユークリッドの解説者プロクロスが指摘するように、ユークリッドは 2 番目の結論を決して使用せず、代わりに三角形の辺に補助線を引くことで証明をいくらか簡略化でき、残りの証明もほぼ同じように進めることができます。

ユークリッドがなぜこの定理に第二の結論を加えたのかについては、証明が複雑になるという理由で多くの憶測と議論がなされてきた。プロクロスが示したもっともらしい説明の1つは、第二の結論は、ユークリッドがすべてのケースをカバーしていない後の命題の証明に対する反論に使用できるというものである。^[7]この証明は、今日では辺-角-辺（SAS）と呼ばれる、原論の以前の命題に大きく依存しており、これは、2組の対応する辺とその内角がそれぞれ合同な2つの三角形が与えられた場合、それらの三角形は合同であるというものである。

プロクロスによるユークリッドの証明の変形は次のように進みます。^[8] ⁠ ⁠ を${\displaystyle \triangle ABC}$、⁠ ⁠${\displaystyle AB\cong AC}$同値の辺を持つ二等辺三角形とします。⁠ ⁠辺に沿った任意の点を選び、⁠ ⁠上に点⁠ ⁠ を構築して、同値の線分⁠ ⁠ ⁠を作ります。補助線分⁠ ⁠ ⁠、⁠ ⁠、および⁠ ⁠を描きます。 ⁠ ⁠ 辺-角-辺により、三角形⁠ ⁠。したがって⁠ ⁠ ⁠、⁠ ⁠、および⁠ ⁠。同値の線分を引くと、⁠ ⁠ 。これにより、 ⁠ ⁠ ⁠、再び辺-角-辺により、別の合同な三角形のペアが作成されます。したがって⁠ ⁠ ⁠および⁠ ⁠。同値の角を引くと、⁠ ⁠。最後に⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 、辺-角-辺の 3 回目の適用により。したがって、証明されるべきものでした 。${\displaystyle D}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle E}$${\displaystyle AC}$${\displaystyle AD\cong AE}$${\displaystyle BE}$${\displaystyle DC}$${\displaystyle DE}$${\displaystyle \triangle BAE\cong \triangle CAD}$${\displaystyle \angle ABE\cong \angle ACD}$${\displaystyle \angle ADC\cong \angle AEB}$${\displaystyle BE\cong CD}$${\displaystyle BD\cong CE}$${\displaystyle \triangle DBE\cong \triangle ECD}$${\displaystyle \angle BDE\cong \angle CED}$${\displaystyle \angle BED\cong \angle CDE}$${\displaystyle \angle BDC\cong \angle CEB}$${\displaystyle \triangle BDC\cong \triangle CEB}$${\displaystyle \angle CBD\cong \angle BCE}$

プロクロスは、アレクサンドリアのパップスに帰せられる、はるかに短い証明を与えている。これはより単純なだけでなく、追加の構成をまったく必要としない。証明方法は、三角形とその鏡像に辺-角-辺を適用することである。より近代の著者は、前の命題に与えられた証明方法を模倣して、これを三角形を持ち上げてひっくり返し、それ自身の上に置くと説明した。^{[9] [10]} この方法は、チャールズ・ドジソンによってユークリッドとその現代のライバルの中で「アイルランドの雄牛」と呼ばれ、三角形が同時に2つの場所に存在することを要求するように見えるため揶揄されている。^[11]

証明は以下の通りである。^[12] ABC を二等辺三角形とし、ABとAC をその辺が等しいものとする。三角形ABCとACBを考える。ここでACBは、頂点A、C、Bがそれぞれ元の三角形 のA、B、Cに対応する2 番目の三角形である。は自身と等しく、AB  =  ACかつAC  =  ABであるため、辺-角-辺の関係により三角形ABCとACBは合同である。特に、。^[13]${\displaystyle \angleA}$${\displaystyle \angle B=\angle C}$

標準的な教科書的な方法は、Aにおける角の二等分線を描くことである。^[14]これはユークリッドの証明よりも簡単であるが、ユークリッドは命題9まで角の二等分線の構築を提示していない。そのため、循環論法の可能性を避けるために、ユークリッドの命題の提示順序を変更する必要があるだろう。

証明は次のように進みます。^[15]前と同じように、三角形ABCでAB  =  ACとします。 の角の二等分線を作成し、 BCとXで交わるように延長します。AB  =  ACであり、AX はそれ自身に等しいです。さらに、 なので、辺-角-辺を適用すると、三角形BAXと三角形CAX は合同です。したがって、 BとCの角度は等しいことがわかります。 ${\displaystyle \angleBAC}$${\displaystyle \angle BAX=\angle CAX}$

ルジャンドルは『幾何学原論』で同様の構成を用いているが、X をBCの中点としている。^[16]証明も同様であるが、 side-angle-side の代わりにside-side-sideを使用する必要があり、side-side-side はユークリッドによって『原論』の後半まで与えられていない。

1876年、アメリカ合衆国議会議員だったジェームズ・A・ガーフィールド（後の大統領）は、台形を使った証明を考案し、ニューイングランド教育ジャーナルに掲載した。^[17]数学史家ウィリアム・ダナムは、ガーフィールドの台形に関する研究は「実に巧妙な証明」だったと書いている。^[18]ジャーナルによると、ガーフィールドは「数学的な遊びや議会の他の議員との議論の中で」この証明にたどり着いたという。^[19]

二等辺三角形の定理は、実数または複素数上の内積空間で成立する。そのような空間では、ベクトルx 、 y 、 zが与えられ、${\displaystyle x+y+z=0}$${\displaystyle \|x\|=\|y\|,}$${\displaystyle \|x-z\|=\|y-z\|.}$

かつθ が2 つのベクトル間の角度であるため、この定理の内積空間形式の結論は、角度の等価性に関する記述と同等です。 ${\displaystyle \|x-z\|^{2}=\|x\|^{2}-2x\cdot z+\|z\|^{2}}$${\displaystyle x\cdot z=\|x\|\|z\|\cos \theta ,}$

批判的思考力のテストにおける比喩として の橋の用途には、次のものがあります。

• リチャード・オーンガーヴィルの 14 世紀の『フィロビブロン』には、「Quot Euclidis discipulos Retrojecit Elefuga quasi scopulos eminens et abruptus, qui nullo scalarum suffragio scandi posset! Durus, inquiunt, est his sermo; quis Potest eum audire?」という一節があり、定理を次のように比較しています。断崖絶壁はしごはスケーリングに役立つ可能性があり、何人のジオメーター候補者が断られたかを尋ねます。^[4]
• pons asinorumという用語は、橋とテストの両方の意味において、三段論法の中間項を見つけるための比喩として使用されます。 [ ^4]
• 18世紀の詩人トーマス・キャンベルは「ポンス・アシノラム」というユーモラスな詩を書いた。この詩では、幾何学の授業で兵士の一団が要塞に突撃するかのように定理を攻撃するが、この戦いでは犠牲者が出なかった。^[20]
• 経済学者ジョン・スチュアート・ミルはリカードの 地代法を経済学の橋と呼んだ。^[21]
• フィンランド語の aasinsiltaとスウェーデン語の åsnebryggaは、2 つの議論またはトピック間の、ほとんど論理的ではないが完全には論理的ではない、希薄で不自然なつながりを、それらの間のぎこちない移行として使用する文学技法です。真面目な文章では、意識の流れ、またはCauserieスタイルの文章に正しく属するため、文体上の誤りと見なされます。典型的な例としては、トピックが関連している理由を説明せずに次のセクションの内容を伝えることでセクションを終了すること、何気ない言及を詳細な扱いに拡張すること、トピック間に不自然なつながりを見つけること (例:「赤ワインを買いました。赤い液体と言えば、明日は世界献血者の日です」) などがあります。
• オランダ語では、ezelsbruggetje (「ロバの小さな橋」) は記憶術を表す言葉です。ドイツ語の Eselsbrückeも同様です。
• チェコ語では、oslí můstekには 2 つの意味があり、2 つのトピック間の意図的なつながり、または記憶術のいずれかを表します。

数学の伝説として根強いものがあり、人工知能プログラムがこの定理の独創的でよりエレガントな証明を発見したと主張している。^{[22] [23]}実際、マービン・ミンスキーは、機械的な定理証明器が行うことをシミュレートすることで、パップスの証明（彼が知らなかった）を再発見したと述べている。^{[24] [10]}

• ユークリッド、解説と翻訳、TL ヒース著、 Elements Vol. 1 (1908 Cambridge) Google ブックス
• ユークリッド、プロクロスの注釈、 T.テイラー 編訳『原論』第2巻（1789年）Googleブックス

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Wikisource にはこの記事に関連する原文があります:

ユークリッドの原論の命題5

• PlanetMathの Pons asinorum 。
• DE ジョイスによるユークリッドの原論の解説