線形演算子は自身の随伴演算子に等しい
数学 において 、 内積を持つ 複素ベクトル空間 V 上の 自己 随伴作用素は 、それ自身の 随伴である 線型写像 A ( V からそれ自身への)である 。 つまり、 すべての ∊ V に対してである。V が与えられた 正規直交基底を持つ 有限次元 である場合、これは A の 行列 が エルミート行列 、つまりその 共役転置 A ∗ に等しいという条件と同等である 。有限次元 スペクトル定理 により、 V は 正規直交基底 を持ち、 この基底に対する A の行列は 実数 を要素とする 対角行列になる。この記事では、この 概念 の 一般化を 任意次元の
ヒルベルト空間 上の作用素に 適用することについて扱う。
⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
⟨ あ x 、 ええ ⟩ = ⟨ x 、 あ ええ ⟩
{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }
x 、 ええ
{\displaystyle x,y}
自己随伴演算子は 関数解析 や 量子力学 で用いられる。量子力学では、 位置 、 運動量 、 角運動量 、 スピン などの物理的 観測量 がヒルベルト空間上の自己随伴演算子によって表現される量子力学の ディラック・フォン・ノイマン定式化 においてその重要性が増す。特に重要なのは、次式で定義される
ハミルトニアン 演算子 である。
H ^
{\displaystyle {\hat {H}}}
H ^
ψ = −
ℏ
2
2 メートル
∇
2
ψ + 五 ψ 、
{\displaystyle {\hat {H}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi ,}
これは観測量として、実ポテンシャル場 V における質量 m の粒子の 全 エネルギー に対応する。 微分演算子は、 非有界演算子 の重要なクラスである 。
無限次元ヒルベルト空間上の自己随伴作用素の構造は、本質的に有限次元の場合と似ています。つまり、作用素が自己随伴であるためには、それらが 実数値の 乗算作用素と ユニタリ 同値である必要があります。適切な修正を加えると、この結果は無限次元空間上の非有界な作用素に拡張できます。どこでも定義される自己随伴作用素は必ず有界であるため、非有界な場合はドメインの問題にさらに注意する必要があります。これについては、以下で詳しく説明します。
定義 を ヒルベルト空間 とし、 稠密な 領域を持つ 非有界 （ つまり必ずしも有界ではない） 線型作用素 と します。 この条件は、有限次元空間上のすべての線型作用素に対して となる ため、 が 有限次元 のときに自動的に成立します。
H
{\displaystyle H}
あ
{\displaystyle A}
ドム あ ⊆ H 。
{\displaystyle \operatorname {Dom} A\subseteq H.}
H
{\displaystyle H}
ドム あ = H
{\displaystyle \operatorname {Dom} A=H}
（任意の）演算子の グラフ は 集合である。 演算子が 拡張される とは、 次のように記述される 。
あ
{\displaystyle A}
グ （ あ ） = { （ x 、 あ x ） ∣ x ∈ ドム あ } 。
{\displaystyle G(A)=\{(x,Ax)\mid x\in \operatorname {Dom} A\}.}
B
{\displaystyle B}
あ
{\displaystyle A}
グ （ あ ） ⊆ グ （ B ） 。
{\displaystyle G(A)\subseteq G(B).}
あ ⊆ B 。
{\displaystyle A\subseteq B.}
内積は第2引数 に関して 共役線形 であるとする 。 随伴演算子は、 次の 要素から成る 部分空間に作用する 。
⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
あ
∗
{\displaystyle A^{*}}
ドム
あ
∗
⊆ H
{\displaystyle \operatorname {Dom} A^{*}\subseteq H}
ええ
{\displaystyle y}
⟨ あ x 、 ええ ⟩ = ⟨ x 、
あ
∗
ええ ⟩ 、 ∀ x ∈ ドム あ 。
{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle ,\quad \forall x\in \operatorname {Dom} A.}
稠密に定義された 演算子 は 、 、すなわち かつ すべて の に対してであるとき、 対称 （または エルミート ） と呼ばれます 。同様に、 が対称であることは、
あ
{\displaystyle A}
あ ⊆
あ
∗
{\displaystyle A\subseteq A^{*}}
ドム あ ⊆ ドム
あ
∗
{\displaystyle \operatorname {Dom} A\subseteq \operatorname {Dom} A^{*}}
あ x =
あ
∗
x
{\displaystyle Ax=A^{*}x}
x ∈ ドム あ
{\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A}
あ
{\displaystyle A}
⟨ あ x 、 ええ ⟩ = ⟨ x 、 あ ええ ⟩ 、 ∀ x 、 ええ ∈ ドム あ 。
{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,\quad \forall x,y\in \operatorname {Dom} A.}
は に稠密な ので 、対称演算子は常に 閉包可能 である（つまり、 の閉包は 演算子のグラフである）。 が の閉拡大である 場合、 の 最小の閉拡大は に含まれなければならない 。したがって、
Dom
A
∗
⊇
Dom
A
{\displaystyle \operatorname {Dom} A^{*}\supseteq \operatorname {Dom} A}
H
{\displaystyle H}
G
(
A
)
{\displaystyle G(A)}
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
A
{\displaystyle A}
A
∗
∗
{\displaystyle A^{**}}
A
{\displaystyle A}
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
A
⊆
A
∗
∗
⊆
A
∗
{\displaystyle A\subseteq A^{**}\subseteq A^{*}}
対称演算子の場合と
A
=
A
∗
∗
⊆
A
∗
{\displaystyle A=A^{**}\subseteq A^{*}}
閉じた対称演算子の場合。
稠密に定義された演算子は、 が 対称で の 場合に限り 自己 随伴 と呼ばれます 。同様に、閉じた対称演算子は、 が対称である 場合に限り自己随伴です 。 が 自己随伴である場合、 は すべての に対して実数です 。つまり、
A
{\displaystyle A}
A
=
A
∗
{\displaystyle A=A^{*}}
A
{\displaystyle A}
Dom
A
=
Dom
A
∗
{\displaystyle \operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} A^{*}}
A
{\displaystyle A}
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
A
{\displaystyle A}
⟨
x
,
A
x
⟩
{\displaystyle \left\langle x,Ax\right\rangle }
x
∈
Dom
A
{\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A}
⟨
x
,
A
x
⟩
=
⟨
A
x
,
x
⟩
¯
=
⟨
x
,
A
x
⟩
¯
∈
R
,
∀
x
∈
Dom
A
.
{\displaystyle \langle x,Ax\rangle ={\overline {\langle Ax,x\rangle }}={\overline {\langle x,Ax\rangle }}\in \mathbb {R} ,\quad \forall x\in \operatorname {Dom} A.}
対称演算子は、 の閉包が 自己随伴である場合に 本質的に自己随伴で あると言われます。同様に、 が 固有 の自己随伴拡張を持つ場合、 は本質的に自己随伴です。実際的には、本質的に自己随伴演算子を持つことは、自己随伴演算子を持つこととほぼ同じくらい良いです。なぜなら、自己随伴演算子を得るには閉包を取るだけでよいからです。
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
物理学では、エルミート という用語は 対称演算子と自己随伴演算子の両方を指します。この 2 つの間の微妙な違いは、通常見過ごされています。
有界自己随伴演算子 をヒルベルト空間 と 対称作用素とする。ヘリンガー・テプリッツの定理によれば 、 ならば は 必ず 有界 となる。 [5] 有界作用素
が 自己随伴であるのは、
H
{\displaystyle H}
A
:
Dom
(
A
)
→
H
{\displaystyle A:\operatorname {Dom} (A)\to H}
Dom
(
A
)
=
H
{\displaystyle \operatorname {Dom} (A)=H}
A
{\displaystyle A}
A
:
H
→
H
{\displaystyle A:H\to H}
⟨
A
x
,
y
⟩
=
⟨
x
,
A
y
⟩
,
∀
x
,
y
∈
H
.
{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,\quad \forall x,y\in H.}
あらゆる有界演算子は 複素 形式 で表すことができ 、ここで と が有界自己随伴演算子である。
T
:
H
→
H
{\displaystyle T:H\to H}
T
=
A
+
i
B
{\displaystyle T=A+iB}
A
:
H
→
H
{\displaystyle A:H\to H}
B
:
H
→
H
{\displaystyle B:H\to H}
あるいは、 ヒルベルト空間 が 複素数であれば、すべての 正の 有界線型作用素は 自己随伴である。
A
:
H
→
H
{\displaystyle A:H\to H}
H
{\displaystyle H}
プロパティ で定義される 有界自己随伴演算子は 以下の性質を持つ:
A
:
H
→
H
{\displaystyle A:H\to H}
Dom
(
A
)
=
H
{\displaystyle \operatorname {Dom} \left(A\right)=H}
A
:
H
→
Im
A
⊆
H
{\displaystyle A:H\to \operatorname {Im} A\subseteq H}
の 像 が稠密である 場合、可逆である。
A
{\displaystyle A}
H
.
{\displaystyle H.}
演算子 ノルム は次のように与えられる。
‖
A
‖
=
sup
{
|
⟨
x
,
A
x
⟩
|
:
‖
x
‖
=
1
}
{\displaystyle \left\|A\right\|=\sup \left\{|\langle x,Ax\rangle |:\|x\|=1\right\}}
が の 固有値 である 場合 、 ; 固有値は実数であり、対応する 固有ベクトル は直交します。
λ
{\displaystyle \lambda }
A
{\displaystyle A}
|
λ
|
≤
sup
{
|
⟨
x
,
A
x
⟩
|
:
‖
x
‖
≤
1
}
{\displaystyle |\lambda |\leq \sup \left\{|\langle x,Ax\rangle |:\|x\|\leq 1\right\}}
有界自己随伴作用素は必ずしも固有値を持つわけではない。しかし、が コンパクトな自己随伴作用素 である場合 、それは常に固有値 とそれに対応する正規化された固有ベクトルを持つ。
A
{\displaystyle A}
|
λ
|
=
‖
A
‖
{\displaystyle |\lambda |=\|A\|}
自己随伴作用素のスペクトル を非 有界演算子とする。 の解決 集合 （または 正規集合 ）は 次のように定義される。
A
:
Dom
(
A
)
→
H
{\displaystyle A:\operatorname {Dom} (A)\to H}
A
{\displaystyle A}
ρ
(
A
)
=
{
λ
∈
C
:
∃
(
A
−
λ
I
)
−
1
bounded and densely defined
}
.
{\displaystyle \rho (A)=\left\{\lambda \in \mathbb {C} \,:\,\exists (A-\lambda I)^{-1}\;{\text{bounded and densely defined}}\right\}.}
が有界である場合 、定義は 上で 全単射 となる 。 の スペクトル は補集合として定義される。
A
{\displaystyle A}
A
−
λ
I
{\displaystyle A-\lambda I}
H
{\displaystyle H}
A
{\displaystyle A}
σ
(
A
)
=
C
∖
ρ
(
A
)
.
{\displaystyle \sigma (A)=\mathbb {C} \setminus \rho (A).}
有限次元では、 （複素） 固有値 のみで構成されます 。 自己随伴演算子のスペクトルは常に実数（つまり ）ですが、実スペクトルを持つ非自己随伴演算子も存在します。 [13] ただし、有界（ 正規 ）演算子の場合、スペクトルが実数になるのは、 演算子が自己随伴である 場合のみです。 これは、たとえば、実スペクトルを持つ非自己随伴演算子は必ず有界ではないことを意味します。
σ
(
A
)
⊆
C
{\displaystyle \sigma (A)\subseteq \mathbb {C} }
σ
(
A
)
⊆
R
{\displaystyle \sigma (A)\subseteq \mathbb {R} }
予備として、 と を で定義します 。すると、すべての と すべてのに対して、
S
=
{
x
∈
Dom
A
∣
‖
x
‖
=
1
}
,
{\displaystyle S=\{x\in \operatorname {Dom} A\mid \Vert x\Vert =1\},}
m
=
inf
x
∈
S
⟨
A
x
,
x
⟩
{\displaystyle \textstyle m=\inf _{x\in S}\langle Ax,x\rangle }
M
=
sup
x
∈
S
⟨
A
x
,
x
⟩
{\displaystyle \textstyle M=\sup _{x\in S}\langle Ax,x\rangle }
m
,
M
∈
R
∪
{
±
∞
}
{\displaystyle m,M\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}
λ
∈
C
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }
x
∈
Dom
A
,
{\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A,}
‖
(
A
−
λ
)
x
‖
≥
d
(
λ
)
⋅
‖
x
‖
,
{\displaystyle \Vert (A-\lambda )x\Vert \geq d(\lambda )\cdot \Vert x\Vert ,}
どこ
d
(
λ
)
=
inf
r
∈
[
m
,
M
]
|
r
−
λ
|
.
{\displaystyle \textstyle d(\lambda )=\inf _{r\in [m,M]}|r-\lambda |.}
実際、 コーシー・シュワルツの不等式 により 、
x
∈
Dom
A
∖
{
0
}
.
{\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A\setminus \{0\}.}
‖
(
A
−
λ
)
x
‖
≥
|
⟨
(
A
−
λ
)
x
,
x
⟩
|
‖
x
‖
=
|
⟨
A
x
‖
x
‖
,
x
‖
x
‖
⟩
−
λ
|
⋅
‖
x
‖
≥
d
(
λ
)
⋅
‖
x
‖
.
{\displaystyle \Vert (A-\lambda )x\Vert \geq {\frac {|\langle (A-\lambda )x,x\rangle |}{\Vert x\Vert }}=\left|\left\langle A{\frac {x}{\Vert x\Vert }},{\frac {x}{\Vert x\Vert }}\right\rangle -\lambda \right|\cdot \Vert x\Vert \geq d(\lambda )\cdot \Vert x\Vert .}
の 場合 、 は 以下に有界で あるといわれます 。
λ
∉
[
m
,
M
]
,
{\displaystyle \lambda \notin [m,M],}
d
(
λ
)
>
0
,
{\displaystyle d(\lambda )>0,}
A
−
λ
I
{\displaystyle A-\lambda I}
証拠 を自己随伴とし、 と表記すると、 次 の ことを証明すれば十分である。
A
{\displaystyle A}
R
λ
=
A
−
λ
I
{\displaystyle R_{\lambda }=A-\lambda I}
λ
∈
C
.
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} .}
σ
(
A
)
⊆
[
m
,
M
]
.
{\displaystyle \sigma (A)\subseteq [m,M].}
目標は、の存在と有界性を証明し 、であることを証明することである。 まず 、であることを示し 、
λ
∈
C
∖
[
m
,
M
]
.
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} \setminus [m,M].}
R
λ
−
1
,
{\displaystyle R_{\lambda }^{-1},}
Dom
R
λ
−
1
=
H
.
{\displaystyle \operatorname {Dom} R_{\lambda }^{-1}=H.}
ker
R
λ
=
{
0
}
{\displaystyle \ker R_{\lambda }=\{0\}}
Im
R
λ
=
H
.
{\displaystyle \operatorname {Im} R_{\lambda }=H.}
上で示したように、 は下に制限されます。つまり、 の自明性は次の ようになります 。
R
λ
{\displaystyle R_{\lambda }}
‖
R
λ
x
‖
≥
d
(
λ
)
⋅
‖
x
‖
,
{\displaystyle \Vert R_{\lambda }x\Vert \geq d(\lambda )\cdot \Vert x\Vert ,}
d
(
λ
)
>
0.
{\displaystyle d(\lambda )>0.}
ker
R
λ
{\displaystyle \ker R_{\lambda }}
実際に 、
Im
R
λ
=
H
.
{\displaystyle \operatorname {Im} R_{\lambda }=H.}
Im
R
λ
{\displaystyle \operatorname {Im} R_{\lambda }}
は閉じている。これを証明するには、何らかの に収束する シーケンスを選択する。は 基本 なので 。したがって、何らかの に収束する。さらに 、 および これまでの議論は任意の対称演算子に対して成立する。自己随伴性から は 閉じていることが分かる ので、したがって
y
n
=
R
λ
x
n
∈
Im
R
λ
{\displaystyle y_{n}=R_{\lambda }x_{n}\in \operatorname {Im} R_{\lambda }}
y
∈
H
.
{\displaystyle y\in H.}
‖
x
n
−
x
m
‖
≤
1
d
(
λ
)
‖
y
n
−
y
m
‖
,
{\displaystyle \|x_{n}-x_{m}\|\leq {\frac {1}{d(\lambda )}}\|y_{n}-y_{m}\|,}
x
n
{\displaystyle x_{n}}
x
∈
H
.
{\displaystyle x\in H.}
y
n
+
λ
x
n
=
A
x
n
{\displaystyle y_{n}+\lambda x_{n}=Ax_{n}}
y
n
+
λ
x
n
→
y
+
λ
x
.
{\displaystyle y_{n}+\lambda x_{n}\to y+\lambda x.}
A
{\displaystyle A}
x
∈
Dom
A
=
Dom
R
λ
,
{\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} R_{\lambda },}
A
x
=
y
+
λ
x
∈
Im
A
,
{\displaystyle Ax=y+\lambda x\in \operatorname {Im} A,}
y
=
R
λ
x
∈
Im
R
λ
.
{\displaystyle y=R_{\lambda }x\in \operatorname {Im} R_{\lambda }.}
Im
R
λ
{\displaystyle \operatorname {Im} R_{\lambda }}
は で稠密です。 の自己随伴性 (すなわち ) は を意味し 、したがって です 。 それに続く包含は を意味し 、したがって、
H
.
{\displaystyle H.}
A
{\displaystyle A}
A
∗
=
A
{\displaystyle A^{*}=A}
R
λ
∗
=
R
λ
¯
{\displaystyle R_{\lambda }^{*}=R_{\bar {\lambda }}}
(
Im
R
λ
)
⊥
=
ker
R
λ
¯
{\displaystyle \left(\operatorname {Im} R_{\lambda }\right)^{\perp }=\ker R_{\bar {\lambda }}}
λ
¯
∈
C
∖
[
m
,
M
]
{\displaystyle {\bar {\lambda }}\in \mathbb {C} \setminus [m,M]}
d
(
λ
¯
)
>
0
{\displaystyle d({\bar {\lambda }})>0}
ker
R
λ
¯
=
{
0
}
.
{\displaystyle \ker R_{\bar {\lambda }}=\{0\}.}
演算子は 単射であることが証明されたので、 存在し、どこでも定義されます。 のグラフは 集合です。 は閉じている ので（ であるため）、 も閉じています。 閉グラフ定理 により 、 は有界なので、
R
λ
:
Dom
A
→
H
{\displaystyle R_{\lambda }\colon \operatorname {Dom} A\to H}
R
λ
−
1
{\displaystyle R_{\lambda }^{-1}}
R
λ
−
1
{\displaystyle R_{\lambda }^{-1}}
{
(
R
λ
x
,
x
)
∣
x
∈
Dom
A
}
.
{\displaystyle \{(R_{\lambda }x,x)\mid x\in \operatorname {Dom} A\}.}
R
λ
{\displaystyle R_{\lambda }}
A
{\displaystyle A}
R
λ
−
1
.
{\displaystyle R_{\lambda }^{-1}.}
R
λ
−
1
{\displaystyle R_{\lambda }^{-1}}
λ
∉
σ
(
A
)
.
{\displaystyle \lambda \notin \sigma (A).}
定理 — 実スペクトルを持つ対称演算子は自己随伴である
証拠
A
{\displaystyle A}
は対称なので、任意の に対して および と なります 。 の 場合、 および 演算子は 両方とも一対一です。
A
⊆
A
∗
{\displaystyle A\subseteq A^{*}}
A
−
λ
I
⊆
A
∗
−
λ
I
{\displaystyle A-\lambda I\subseteq A^{*}-\lambda I}
λ
∈
C
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }
σ
(
A
)
⊆
[
m
,
M
]
.
{\displaystyle \sigma (A)\subseteq [m,M].}
λ
∉
[
m
,
M
]
{\displaystyle \lambda \notin [m,M]}
λ
¯
∉
[
m
,
M
]
{\displaystyle {\bar {\lambda }}\notin [m,M]}
{
A
−
λ
I
,
A
−
λ
¯
I
}
:
Dom
A
→
H
{\displaystyle \{A-\lambda I,A-{\bar {\lambda }}I\}:\operatorname {Dom} A\to H}
A
−
λ
I
=
A
∗
−
λ
I
.
{\displaystyle A-\lambda I=A^{*}-\lambda I.}
確かに、 です。つまり、 の場合、 は 単射ではありません (つまり )。しかし 、 であり、したがって です。 これは、単射性と矛盾します。
H
=
Im
(
A
−
λ
I
)
⊆
Im
(
A
∗
−
λ
I
)
{\displaystyle H=\operatorname {Im} (A-\lambda I)\subseteq \operatorname {Im} (A^{*}-\lambda I)}
Dom
(
A
−
λ
I
)
⊊
Dom
(
A
∗
−
λ
I
)
{\displaystyle \operatorname {Dom} (A-\lambda I)\subsetneq \operatorname {Dom} (A^{*}-\lambda I)}
A
∗
−
λ
I
{\displaystyle A^{*}-\lambda I}
ker
(
A
∗
−
λ
I
)
≠
{
0
}
{\displaystyle \ker(A^{*}-\lambda I)\neq \{0\}}
Im
(
A
−
λ
¯
I
)
⊥
=
ker
(
A
∗
−
λ
I
)
{\displaystyle \operatorname {Im} (A-{\bar {\lambda }}I)^{\perp }=\ker(A^{*}-\lambda I)}
Im
(
A
−
λ
¯
I
)
≠
H
.
{\displaystyle \operatorname {Im} (A-{\bar {\lambda }}I)\neq H.}
この等式は、 ie が自己随伴である ことを示しています。実際、すべての および に対して、
A
−
λ
I
=
A
∗
−
λ
I
{\displaystyle A-\lambda I=A^{*}-\lambda I}
A
=
A
∗
,
{\displaystyle A=A^{*},}
A
{\displaystyle A}
A
∗
⊆
A
.
{\displaystyle A^{*}\subseteq A.}
x
∈
Dom
A
∗
{\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A^{*}}
y
=
A
∗
x
,
{\displaystyle y=A^{*}x,}
A
∗
x
=
y
⇔
(
A
∗
−
λ
I
)
x
=
y
−
λ
x
⇔
(
A
−
λ
I
)
x
=
y
−
λ
x
⇔
A
x
=
y
.
{\displaystyle A^{*}x=y\Leftrightarrow (A^{*}-\lambda I)x=y-\lambda x\Leftrightarrow (A-\lambda I)x=y-\lambda x\Leftrightarrow Ax=y.}
スペクトル定理 物理学の文献では、スペクトル定理は、自己随伴演算子が固有ベクトルの正規直交基底を持つと述べられることが多い。しかし、物理学者は「連続スペクトル」という現象をよく知っている。したがって、物理学者が「正規直交基底」と言うときは、古典的な意味での正規直交基底か 、 その連続類似体のいずれかを意味する。たとえば、 運動量演算子 の場合、物理学者は、固有ベクトルは関数 であり 、明らかにヒルベルト空間 には存在しないと言うだろう。（物理学者は、固有ベクトルは「正規化不可能」であると言うだろう。）物理学者は、通常の クロネッカーデルタを ディラックデルタ関数 に 置き換えた後、 これらの「一般化固有ベクトル」は の「連続的な意味での正規直交基底」を形成すると言うだろう 。
P
=
−
i
d
d
x
{\textstyle P=-i{\frac {d}{dx}}}
f
p
(
x
)
:=
e
i
p
x
{\displaystyle f_{p}(x):=e^{ipx}}
L
2
(
R
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
L
2
(
R
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
δ
i
,
j
{\displaystyle \delta _{i,j}}
δ
(
p
−
p
′
)
{\displaystyle \delta \left(p-p'\right)}
これらの記述は数学者にとって当惑させるかもしれませんが、フーリエ変換を使用することで厳密にすることができます。フーリエ変換では、 これらの関数が に含まれていなくても、一般 関数を関数 の「重ね合わせ」（つまり積分）として表すことができます。フーリエ変換は運動量演算子を「対角化」します。つまり、運動量演算子を （ はフーリエ変換の変数 ）の乗算の演算子に変換します 。
L
2
{\displaystyle L^{2}}
e
i
p
x
{\displaystyle e^{ipx}}
L
2
{\displaystyle L^{2}}
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
スペクトル定理は一般に、演算子が乗算演算子とユニタリに等しいことを示すことによって演算子を「対角化」する可能性として同様に表現できます。スペクトル定理の他のバージョンも同様に、自己随伴演算子が問題のヒルベルト空間に実際には存在しない「固有ベクトル」を持つ可能性があるという考えを捉えることを目的としています。
まず、を σ 有限測度空間 とし 、 上の 可測関数 とする。すると、 によって定義される
演算子 は、
(
X
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}
h
:
X
→
R
{\displaystyle h:X\to \mathbb {R} }
X
{\displaystyle X}
T
h
:
Dom
T
h
→
L
2
(
X
,
μ
)
{\displaystyle T_{h}:\operatorname {Dom} T_{h}\to L^{2}(X,\mu )}
T
h
ψ
(
x
)
=
h
(
x
)
ψ
(
x
)
,
∀
ψ
∈
Dom
T
h
,
{\displaystyle T_{h}\psi (x)=h(x)\psi (x),\quad \forall \psi \in \operatorname {Dom} T_{h},}
どこ
Dom
T
h
:=
{
ψ
∈
L
2
(
X
,
μ
)
|
h
ψ
∈
L
2
(
X
,
μ
)
}
,
{\displaystyle \operatorname {Dom} T_{h}:=\left\{\psi \in L^{2}(X,\mu )\;|\;h\psi \in L^{2}(X,\mu )\right\},}
は乗算演算子 と呼ばれる 。 任意の乗算演算子は自己随伴演算子である。
第二に、 ヒルベルト空間とにおける 稠密 な領域を持つ2つの演算子 とが ユニタリ 同値で あるための必要十分条件は、 次の ユニタリ変換 が存在する場合である:
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
Dom
A
⊆
H
1
{\displaystyle \operatorname {Dom} A\subseteq H_{1}}
Dom
B
⊆
H
2
{\displaystyle \operatorname {Dom} B\subseteq H_{2}}
H
1
{\displaystyle H_{1}}
H
2
{\displaystyle H_{2}}
U
:
H
1
→
H
2
{\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}}
U
Dom
A
=
Dom
B
,
{\displaystyle U\operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} B,}
U
A
U
−
1
ξ
=
B
ξ
,
∀
ξ
∈
Dom
B
.
{\displaystyle UAU^{-1}\xi =B\xi ,\quad \forall \xi \in \operatorname {Dom} B.}
ユニタリ同値で と が 有界である場合、 となります。 が 自己随伴である 場合、 も自己随伴です 。
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
‖
A
‖
H
1
=
‖
B
‖
H
2
{\displaystyle \|A\|_{H_{1}}=\|B\|_{H_{2}}}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
定理 — 可分ヒルベルト空間上の 任意 の自己随伴作用素は 、乗算作用素とユニタリ同値である。つまり、
A
{\displaystyle A}
U
A
U
−
1
ψ
(
x
)
=
h
(
x
)
ψ
(
x
)
,
∀
ψ
∈
U
Dom
(
A
)
{\displaystyle UAU^{-1}\psi (x)=h(x)\psi (x),\quad \forall \psi \in U\operatorname {Dom} (A)}
スペクトル定理は、有界および非有界自己随伴演算子の両方に対して成り立つ。後者の証明は、 ユニタリ演算子 に対するスペクトル定理への還元によって得られる。 [21] が による乗算である場合 、 のスペクトルは の 本質 的な範囲 にちょうど一致すること に注意する必要がある 。
T
{\displaystyle T}
h
{\displaystyle h}
T
{\displaystyle T}
h
{\displaystyle h}
スペクトル定理のより完全なバージョンも存在し、直接積分を含み、「一般化固有ベクトル」の概念を伴う。
関数微積分 スペクトル定理の応用の 1 つは、関数計算 を定義することです 。つまり、 が実数直線上の関数であり、 が 自己随伴演算子である場合、演算子 を定義します。スペクトル定理は、 が による乗算の演算子として表される場合 、 は 合成 による乗算の演算子であること を示しています 。
f
{\displaystyle f}
T
{\displaystyle T}
f
(
T
)
{\displaystyle f(T)}
T
{\displaystyle T}
h
{\displaystyle h}
f
(
T
)
{\displaystyle f(T)}
f
∘
h
{\displaystyle f\circ h}
量子力学からの1つの例は、 が ハミルトン演算子 である場合です 。 が固有値 を持つ 固有ベクトルの真の正規直交基底を持つ場合 、 は次のような 固有値を持つ唯一の有界演算子として定義できます 。
T
{\displaystyle T}
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
e
j
{\displaystyle e_{j}}
λ
j
{\displaystyle \lambda _{j}}
f
(
H
^
)
:=
e
−
i
t
H
^
/
ℏ
{\displaystyle f({\hat {H}}):=e^{-it{\hat {H}}/\hbar }}
f
(
λ
j
)
:=
e
−
i
t
λ
j
/
ℏ
{\displaystyle f(\lambda _{j}):=e^{-it\lambda _{j}/\hbar }}
f
(
H
^
)
e
j
=
f
(
λ
j
)
e
j
.
{\displaystyle f({\hat {H}})e_{j}=f(\lambda _{j})e_{j}.}
関数計算の目標は、この考え方を、 が連続スペクトルを持つ場合 （つまり、 が正規化可能な固有ベクトルを持たない場合）に拡張することです。
T
{\displaystyle T}
T
{\displaystyle T}
次のような表記法を導入するのが慣例となっている。
E
(
λ
)
=
1
(
−
∞
,
λ
]
(
T
)
{\displaystyle \operatorname {E} (\lambda )=\mathbf {1} _{(-\infty ,\lambda ]}(T)}
ここで、 は 区間 の 指示関数 です 。射影演算子 E(λ) の族は、 T の 恒等式の解決 と呼ばれます。さらに、 T の 次の スティルチェス積分 表現が証明できます。
1
(
−
∞
,
λ
]
{\displaystyle \mathbf {1} _{(-\infty ,\lambda ]}}
(
−
∞
,
λ
]
{\displaystyle (-\infty ,\lambda ]}
T
=
∫
−
∞
+
∞
λ
d
E
(
λ
)
.
{\displaystyle T=\int _{-\infty }^{+\infty }\lambda d\operatorname {E} (\lambda ).}
量子力学では、 ディラック記法は スペクトル定理と ボレル関数計算の 両方の結合表現として用いられる。つまり、 H が自己随伴で fが ボレル関数 であれば 、
f
(
H
)
=
∫
d
E
|
Ψ
E
⟩
f
(
E
)
⟨
Ψ
E
|
{\displaystyle f(H)=\int dE\left|\Psi _{E}\rangle f(E)\langle \Psi _{E}\right|}
と
H
|
Ψ
E
⟩
=
E
|
Ψ
E
⟩
{\displaystyle H\left|\Psi _{E}\right\rangle =E\left|\Psi _{E}\right\rangle }
ここで、積分はH のスペクトル全体にわたって行われます 。この表記は、 H が 固有ベクトル Ψ E によって対角化されることを示唆しています。このような表記は純粋に 形式的 です。恒等式の解決 ( 射影値測度 と呼ばれることもある) は、ランク 1 射影 に形式的に似ています 。ディラック表記では、(射影) 測定は、両方とも純粋に形式的なオブジェクトである 固有値 と 固有状態 によって記述されます。予想されるように、これは恒等式の解決に進むと消えてしまいます。後者の定式化では、 システムが測定前に で準備されている場合、測定は の スペクトル測度 を使用して記述されます。あるいは、固有状態の概念を保存して、単に形式的ではなく厳密にしたい場合は、状態空間を適切な リグされたヒルベルト空間 で置き換えることができます。
|
Ψ
E
⟩
⟨
Ψ
E
|
{\displaystyle \left|\Psi _{E}\right\rangle \left\langle \Psi _{E}\right|}
|
Ψ
⟩
{\displaystyle |\Psi \rangle }
|
Ψ
⟩
{\displaystyle |\Psi \rangle }
f = 1 の場合 、定理は 1 の分解と呼ばれます。
I
=
∫
d
E
|
Ψ
E
⟩
⟨
Ψ
E
|
{\displaystyle I=\int dE\left|\Psi _{E}\right\rangle \left\langle \Psi _{E}\right|}
がエルミート H と歪エルミート（ 歪エルミート行列 を参照）演算子の 和である場合 、双 直交 基底関数
を定義する。
H
eff
=
H
−
i
Γ
{\displaystyle H_{\text{eff}}=H-i\Gamma }
−
i
Γ
{\displaystyle -i\Gamma }
H
eff
∗
|
Ψ
E
∗
⟩
=
E
∗
|
Ψ
E
∗
⟩
{\displaystyle H_{\text{eff}}^{*}\left|\Psi _{E}^{*}\right\rangle =E^{*}\left|\Psi _{E}^{*}\right\rangle }
スペクトル定理は次のように書きます。
f
(
H
eff
)
=
∫
d
E
|
Ψ
E
⟩
f
(
E
)
⟨
Ψ
E
∗
|
{\displaystyle f\left(H_{\text{eff}}\right)=\int dE\left|\Psi _{E}\right\rangle f(E)\left\langle \Psi _{E}^{*}\right|}
(このような演算子が 散乱理論 でどのように現れるかについては、 フェシュバッハ-ファノ分割を 参照してください)。
スペクトル 定理は 自己随伴作用素にのみ適用され、対称作用素には一般には適用されない。しかし、この時点で、固有ベクトルの正規直交基底を持つ対称（具体的には本質的に自己随伴）作用素の簡単な例を示すことができる。複素ヒルベルト空間 L 2 [0,1]と 微分作用素を考える。
A
=
−
d
2
d
x
2
{\displaystyle A=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}}
は、 [0, 1]上の すべての複素数値の無限 微分可能 関数 f から成り、境界条件を満たす。
D
o
m
(
A
)
{\displaystyle \mathrm {Dom} (A)}
f
(
0
)
=
f
(
1
)
=
0.
{\displaystyle f(0)=f(1)=0.}
すると、 内積の 部分積分は A が対称であることを示す。 [注1] A の固有関数 は正弦波である。
f
n
(
x
)
=
sin
(
n
π
x
)
n
=
1
,
2
,
…
{\displaystyle f_{n}(x)=\sin(n\pi x)\qquad n=1,2,\ldots }
実固有値は n 2 π 2です。正弦関数のよく知られた直交性は、 A が対称であることの結果として生じます 。
演算子 Aには コンパクトな 逆演算子があることがわかります。 つまり、対応する微分方程式 Af = g は、何らかの積分演算子 (したがってコンパクトな演算子) G によって解かれます。コンパクトな対称演算子 Gには、 L 2 で完全な固有ベクトルの可算な族があります 。同じことが A にも言えます。
純粋な点スペクトル H 上の 自己随伴演算子 A が純粋な 点スペクトル を持つのは、 H が A の固有ベクトルからなる 正規直交基底 { e i } i ∈ I を持つ場合のみです 。
例 調和振動子のハミルトニアンは2次ポテンシャル Vを 持ち、
−
Δ
+
|
x
|
2
.
{\displaystyle -\Delta +|x|^{2}.}
このハミルトニアンは純粋な点スペクトルを持ち、これは量子力学における束縛状態 ハミルトニアン の典型である。 [ 説明が必要 ] 前の例で指摘したように、非有界対称演算子がヒルベルト空間基底を形成する固有ベクトルを持つための十分な条件は、コンパクトな逆演算子を持つことである。
対称演算子と自己随伴演算子 対称演算子と (本質的に) 自己随伴演算子の区別は微妙ですが、自己随伴性はスペクトル定理の仮説であるため、区別は重要です。ここでは、区別の具体的な例をいくつか説明します。
境界条件 ヒルベルト空間が有界領域上の関数の空間である場合、これらの区別は量子物理学のよく知られた問題に関係している。境界 条件 を指定せずに、運動量演算子やハミルトン演算子などの演算子を有界領域上で定義することはできない。数学的に言えば、境界条件を選択することは、演算子の適切な領域を選択することと同じである。たとえば、ヒルベルト空間（区間 [0,1] 上の平方積分可能な関数の空間）を考えてみよう。 プランク定数を 1 に設定して、通常の式でこの空間上の
運動量演算子 A を 定義しよう。
L
2
(
[
0
,
1
]
)
{\displaystyle L^{2}([0,1])}
A
f
=
−
i
d
f
d
x
.
{\displaystyle Af=-i{\frac {df}{dx}}.}
ここで、 A の領域を指定する必要があります 。これは境界条件を選択することを意味します。
Dom
(
A
)
=
{
smooth functions
}
,
{\displaystyle \operatorname {Dom} (A)=\left\{{\text{smooth functions}}\right\},}
A は 対称では ありません (部分積分の境界項が消えないため)。
もし私たちが選ぶなら
Dom
(
A
)
=
{
smooth functions
f
∣
f
(
0
)
=
f
(
1
)
=
0
}
,
{\displaystyle \operatorname {Dom} (A)=\left\{{\text{smooth functions}}\,f\mid f(0)=f(1)=0\right\},}
部分積分を使うと、 A が対称であることが簡単に確認できます。この演算子は本質的に自己随伴ではありません。 [24]しかし、基本的には A の領域に境界条件を指定しすぎたため 、随伴の領域が大きくなりすぎたためです（下の例も参照）。
具体的には、 A の領域を上記のように選択すると、 A の 閉包の領域 は
A
c
l
{\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}
Dom
(
A
c
l
)
=
{
functions
f
with two derivatives in
L
2
∣
f
(
0
)
=
f
(
1
)
=
0
}
,
{\displaystyle \operatorname {Dom} \left(A^{\mathrm {cl} }\right)=\left\{{\text{functions }}f{\text{ with two derivatives in }}L^{2}\mid f(0)=f(1)=0\right\},}
一方、 A の 随伴関数の定義域 は
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
Dom
(
A
∗
)
=
{
functions
f
with two derivatives in
L
2
}
.
{\displaystyle \operatorname {Dom} \left(A^{*}\right)=\left\{{\text{functions }}f{\text{ with two derivatives in }}L^{2}\right\}.}
つまり、閉包の領域は A 自体の領域と同じ境界条件を持ちますが、滑らかさの仮定が緩いだけです。一方、 A には「多すぎる」境界条件があるため、 には「少なすぎる」（実際にはこの場合はまったくありません） 。 を部分積分 で計算すると、 は 区間の両端で消えるため、 部分積分の境界項を打ち消すための の境界条件は必要ありません。したがって、十分に滑らかな関数は の領域にあり 、 となります 。 [25]
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
⟨
g
,
A
f
⟩
{\displaystyle \langle g,Af\rangle }
f
∈
Dom
(
A
)
{\displaystyle f\in \operatorname {Dom} (A)}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
g
{\displaystyle g}
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
A
∗
g
=
−
i
d
g
/
d
x
{\displaystyle A^{*}g=-i\,dg/dx}
閉包のドメインと随伴のドメインが一致しないので、 A は 本質的に自己随伴ではありません。結局のところ、一般的な結果では、 の随伴のドメインは A の随伴のドメインと同じになります 。したがって、この場合、 の随伴のドメインはそれ自体 のドメインよりも大きく 、 が自己随伴ではないことを示しています。 これは、定義により、 A が本質的に自己随伴ではないことを意味します。
A
c
l
{\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}
A
c
l
{\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}
A
c
l
{\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}
A
c
l
{\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}
前述の例の問題点は、 A のドメインに課した境界条件が多すぎることです 。ドメインのより良い選択は、周期境界条件を使用することです。
Dom
(
A
)
=
{
smooth functions
f
∣
f
(
0
)
=
f
(
1
)
}
.
{\displaystyle \operatorname {Dom} (A)=\{{\text{smooth functions}}\,f\mid f(0)=f(1)\}.}
この領域では、 Aは 本質的に自己随伴である。 [26]
この場合、領域の問題がスペクトル定理に及ぼす影響を理解できます。最初の領域の選択（境界条件なし）を使用すると、 のすべての関数は 固有値 を持つ固有ベクトルになる ため、スペクトルは複素平面全体になります。2 番目の領域の選択（ディリクレ境界条件あり）を使用すると、 A に は固有ベクトルがまったくありません。3 番目の領域の選択（周期境界条件あり）を使用すると、 A の固有ベクトルの正規直交基底、つまり関数を見つけることができます。したがって、この場合、 A が自己随伴となるような領域を見つけること は妥協です。領域は、 A が対称となるように十分小さく、 となるように十分大きくする必要があります 。
f
β
(
x
)
=
e
β
x
{\displaystyle f_{\beta }(x)=e^{\beta x}}
β
∈
C
{\displaystyle \beta \in \mathbb {C} }
−
i
β
{\displaystyle -i\beta }
f
n
(
x
)
:=
e
2
π
i
n
x
{\displaystyle f_{n}(x):=e^{2\pi inx}}
D
(
A
∗
)
=
D
(
A
)
{\displaystyle D(A^{*})=D(A)}
特異ポテンシャルを持つシュレーディンガー作用素 対称演算子と（本質的に）自己随伴演算子の区別のより微妙な例は、量子力学における シュレーディンガー演算子 から来ます。ポテンシャルエネルギーが特異である場合、特にポテンシャルが下方に無制限である場合、関連するシュレーディンガー演算子は本質的に自己随伴ではない可能性があります。たとえば、1次元では、演算子
H
^
:=
P
2
2
m
−
X
4
{\displaystyle {\hat {H}}:={\frac {P^{2}}{2m}}-X^{4}}
は、滑らかで急速に減衰する関数の空間上で本質的に自己随伴ではない。 [27] この場合、本質的な自己随伴性の失敗は、基礎となる古典システムの病理を反映している。つまり、 ポテンシャルを持つ古典粒子は有限時間内に無限に逃げる。この演算子は 一意の 自己随伴を持たないが、「無限遠での境界条件」を指定することによって得られる自己随伴拡張を許容する。（ は実演算子であるため、複素共役と可換である。したがって、欠陥指数は自動的に等しくなり、これが自己随伴拡張を持つための条件である。）
−
x
4
{\displaystyle -x^{4}}
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
この場合、最初に 滑らかで急速に減衰する関数の空間で定義すると、随伴関数は「同じ」演算子（つまり、同じ式で与えられる）になりますが、最大の可能な領域、つまり
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
Dom
(
H
^
∗
)
=
{
twice differentiable functions
f
∈
L
2
(
R
)
|
(
−
ℏ
2
2
m
d
2
f
d
x
2
−
x
4
f
(
x
)
)
∈
L
2
(
R
)
}
.
{\displaystyle \operatorname {Dom} \left({\hat {H}}^{*}\right)=\left\{{\text{twice differentiable functions }}f\in L^{2}(\mathbb {R} )\left|\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-x^{4}f(x)\right)\in L^{2}(\mathbb {R} )\right.\right\}.}
すると、が対称演算子でない ことを示すことができ、これは確かに が 本質的に自己随伴でないことを暗示しています。実際、 は純虚数固有値を持つ固有ベクトルを持ちますが、 [28] [29] これは対称演算子ではあり得ません。この奇妙な現象は、 の 2 つの項の間の相殺によって可能になります。 の領域には、 も も 個別に にはない 関数があります が、 に現れるそれらの組み合わせ は に含まれます 。これにより、 と が どちらも対称演算子であるにもかかわらず、 が非対称になることができます。反発ポテンシャル を 閉じ込めポテンシャル に 置き換えた場合は、このような相殺は発生しません 。
H
^
∗
{\displaystyle {\hat {H}}^{*}}
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
H
^
∗
{\displaystyle {\hat {H}}^{*}}
H
^
∗
{\displaystyle {\hat {H}}^{*}}
f
{\displaystyle f}
H
^
∗
{\displaystyle {\hat {H}}^{*}}
d
2
f
/
d
x
2
{\displaystyle d^{2}f/dx^{2}}
x
4
f
(
x
)
{\displaystyle x^{4}f(x)}
L
2
(
R
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
H
^
∗
{\displaystyle {\hat {H}}^{*}}
L
2
(
R
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
H
^
∗
{\displaystyle {\hat {H}}^{*}}
d
2
/
d
x
2
{\displaystyle d^{2}/dx^{2}}
X
4
{\displaystyle X^{4}}
−
x
4
{\displaystyle -x^{4}}
x
4
{\displaystyle x^{4}}
量子力学における非自己随伴演算子 量子力学では、観測可能量は自己随伴演算子に対応する。1 パラメータユニタリ群に関するストーンの定理 によれば、自己随伴演算子はまさに 時間発展 演算子のユニタリ群の無限小生成子である。しかし、多くの物理的問題は、ハミルトニアンが対称であるだけの微分演算子を含む時間発展方程式として定式化される。そのような場合、ハミルトニアンは本質的に自己随伴であるか（この場合、物理的問題には一意の解がある）、または異なるタイプの境界条件または無限遠条件に対応するハミルトニアンの自己随伴拡張を見つけようとする。
例。 ポテンシャルを持つ1次元シュレーディンガー作用素は、最初は滑らかでコンパクトに支えられた関数上で定義され、 0 < α ≤ 2 では本質的に自己随伴であるが、 α > 2 ではそうではない 。
V
(
x
)
=
−
(
1
+
|
x
|
)
α
{\displaystyle V(x)=-(1+|x|)^{\alpha }}
の本質的な自己随伴性の破綻は、 ポテンシャルを持つ粒子の古典力学にも同様の現象がある 。古典粒子は有限時間内に無限大に逃げる。 [32]
α
>
2
{\displaystyle \alpha >2}
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
例: 半直線上を移動する粒子には 自己随伴運動量演算子は存在しない。しかし、 半直線上の「自由」粒子のハミルトニアンは、異なるタイプの境界条件に対応するいくつかの自己随伴拡張を持つ。物理的には、これらの境界条件は原点における粒子の反射に関連している。
p
{\displaystyle p}
p
2
{\displaystyle p^{2}}
例
本質的に自己随伴ではない対称演算子 まずヒルベルト空間 と微分作用素
を考える。
L
2
[
0
,
1
]
{\displaystyle L^{2}[0,1]}
D
:
ϕ
↦
1
i
ϕ
′
{\displaystyle D:\phi \mapsto {\frac {1}{i}}\phi '}
[0,1]上の連続微分可能な複素数値関数の空間上で定義され、境界条件を満たす
ϕ
(
0
)
=
ϕ
(
1
)
=
0.
{\displaystyle \phi (0)=\phi (1)=0.}
すると、 Dは対称演算子となり、 部分積分 によって示されます 。空間 N + 、 N − （以下で定義）は、それぞれ方程式の
分布 解によって与えられます。
−
i
u
′
=
i
u
−
i
u
′
=
−
i
u
{\displaystyle {\begin{aligned}-iu'&=iu\\-iu'&=-iu\end{aligned}}}
これらはL 2 [0, 1]にあります 。これらの解空間のそれぞれは1次元であり、それぞれ関数 x → e −x と x → e x によって生成されることがわかります。これは、 Dが 本質的に自己随伴ではないことを示していますが、 [34] 自己随伴拡張を持っています。これらの自己随伴拡張は、ユニタリマッピングの空間 N + → N −によってパラメータ化され、この場合は単位円 T になります 。
この場合、本質的な自己随伴性の失敗は、 のドメインの定義における境界条件の「誤った」選択によるものです 。 は1次演算子なので、 が 対称であることを保証するために必要な境界条件は1つだけです。 上記の境界条件を単一の境界条件に置き換えた場合、
D
{\displaystyle D}
D
{\displaystyle D}
D
{\displaystyle D}
ϕ
(
0
)
=
ϕ
(
1
)
{\displaystyle \phi (0)=\phi (1)}
、 すると、 D は 依然として対称であり、事実上、本質的に自己随伴になります。この境界条件の変更により、 D の特定の本質的に自己随伴な拡張が得られます。その他の本質的に自己随伴な拡張は、形式の境界条件を課すことから生じます 。
ϕ
(
1
)
=
e
i
θ
ϕ
(
0
)
{\displaystyle \phi (1)=e^{i\theta }\phi (0)}
この簡単な例は、対称微分作用素P の開集合 M 上の自己随伴拡張に関する一般的な事実を示している 。それらは、固有値空間間のユニタリ写像によって決定される。
N
±
=
{
u
∈
L
2
(
M
)
:
P
dist
u
=
±
i
u
}
{\displaystyle N_{\pm }=\left\{u\in L^{2}(M):P_{\operatorname {dist} }u=\pm iu\right\}}
ここで P dist は P の分布拡張です 。
定数係数演算子 次に定数係数 を持つ微分作用素の例を挙げる 。
P
(
x
→
)
=
∑
α
c
α
x
α
{\displaystyle P\left({\vec {x}}\right)=\sum _{\alpha }c_{\alpha }x^{\alpha }}
はR n 上の実 係数の 多項式であり、αは（有限の） 多重インデックス 集合にわたって変化する 。したがって
α
=
(
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
)
{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}
そして
x
α
=
x
1
α
1
x
2
α
2
⋯
x
n
α
n
.
{\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}.}
また、次のような表記も使用します。
D
α
=
1
i
|
α
|
∂
x
1
α
1
∂
x
2
α
2
⋯
∂
x
n
α
n
.
{\displaystyle D^{\alpha }={\frac {1}{i^{|\alpha |}}}\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\partial _{x_{2}}^{\alpha _{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}.}
このとき
、 R n 上のコンパクト台を持つ無限微分可能関数の空間上で定義される 演算子 P (D) は、
P
(
D
)
ϕ
=
∑
α
c
α
D
α
ϕ
{\displaystyle P(\operatorname {D} )\phi =\sum _{\alpha }c_{\alpha }\operatorname {D} ^{\alpha }\phi }
は本質的にL 2 ( R n )上で自己随伴である 。
定理 — P を R n 上の実係数の多項式関数 とし、 F をユニタリ写像 L 2 ( R n ) → L 2 ( R n )として考えるフーリエ変換と します 。このとき、 F * P (D) F は 本質的に自己随伴であり、その唯一の自己随伴拡張は関数 P による乗算の演算子です。
より一般的には、コンパクト台を持つ無限微分可能な複素数値関数に作用する線型微分作用素を考える。M が R n の開集合である場合、
P
ϕ
(
x
)
=
∑
α
a
α
(
x
)
[
D
α
ϕ
]
(
x
)
{\displaystyle P\phi (x)=\sum _{\alpha }a_{\alpha }(x)\left[D^{\alpha }\phi \right](x)}
ここで、 α は （必ずしも定数ではない）無限微分可能関数である。P は 線形演算子である。
C
0
∞
(
M
)
→
C
0
∞
(
M
)
.
{\displaystyle C_{0}^{\infty }(M)\to C_{0}^{\infty }(M).}
P に対応する別の微分作用素、すなわち P の 形式的随伴作用素 が存在する。
P
∗
f
o
r
m
ϕ
=
∑
α
D
α
(
a
α
¯
ϕ
)
{\displaystyle P^{\mathrm {*form} }\phi =\sum _{\alpha }D^{\alpha }\left({\overline {a_{\alpha }}}\phi \right)}
定理 — P の随伴 P * は 、形式的随伴の適切な部分空間への分布拡張の制限です 。具体的には、
L
2
{\displaystyle L^{2}}
dom
P
∗
=
{
u
∈
L
2
(
M
)
:
P
∗
f
o
r
m
u
∈
L
2
(
M
)
}
.
{\displaystyle \operatorname {dom} P^{*}=\left\{u\in L^{2}(M):P^{\mathrm {*form} }u\in L^{2}(M)\right\}.}
スペクトル多重度理論 自己随伴演算子の乗算表現は、非常に便利ですが、標準的な表現ではありません。これは、この表現から自己随伴演算子 A と Bがユニタリ同値であるかどうかを判断する基準を抽出するのは簡単ではないことを示しています。ここで説明する最も細かい表現には、スペクトル多重度が含まれます。この結果の輪は、 スペクトル多重度の ハーン - ヘリンガー 理論と呼ばれます 。
まず 均一重複度 を定義します。
定義 . 自己随伴演算子 A は 一様重複度 n を持ち、 n は 1 ≤ n ≤ ωとなるべきであり、 A が 関数 f ( λ ) = λ による乗算の演算子 M f とユニタリ同値である場合に限る 。
L
μ
2
(
R
,
H
n
)
=
{
ψ
:
R
→
H
n
:
ψ
measurable and
∫
R
‖
ψ
(
t
)
‖
2
d
μ
(
t
)
<
∞
}
{\displaystyle L_{\mu }^{2}\left(\mathbf {R} ,\mathbf {H} _{n}\right)=\left\{\psi :\mathbf {R} \to \mathbf {H} _{n}:\psi {\text{ measurable and }}\int _{\mathbf {R} }\|\psi (t)\|^{2}d\mu (t)<\infty \right\}}
ここで H n は n 次元のヒルベルト空間である。M f の定義域は R 上の ベクトル値関数 ψ から成り、
∫
R
|
λ
|
2
‖
ψ
(
λ
)
‖
2
d
μ
(
λ
)
<
∞
.
{\displaystyle \int _{\mathbf {R} }|\lambda |^{2}\ \|\psi (\lambda )\|^{2}\,d\mu (\lambda )<\infty .}
非負の可算加法測度 μ 、 ν は 、互いに素なボレル集合上でサポートされている場合にのみ、
互いに特異です 。
定理 — A を 可分 ヒルベルト空間 H 上の自己随伴作用素と する 。すると R 上に可算加法的有限測度の ω 列（そのうちのいくつかは 0 になることもある）
が存在し
、その測度は対ごとに特異であり、 A は関数 f ( λ ) = λ による乗算の作用素とユニタリ同値である 。
{
μ
ℓ
}
1
≤
ℓ
≤
ω
{\displaystyle \left\{\mu _{\ell }\right\}_{1\leq \ell \leq \omega }}
⨁
1
≤
ℓ
≤
ω
L
μ
ℓ
2
(
R
,
H
ℓ
)
.
{\displaystyle \bigoplus _{1\leq \ell \leq \omega }L_{\mu _{\ell }}^{2}\left(\mathbf {R} ,\mathbf {H} _{\ell }\right).}
この表現は、次の意味で一意です。同じ A の任意の 2 つの表現については、対応する測度は、同じ測度 0 の集合を持つという意味で同等です。
直接積分 スペクトル多重度定理は、 ヒルベルト空間の
直接積分の言語を使用して再定式化することができます。
定理 — [35] 可分ヒルベルト空間上の任意の自己随伴作用素は、関数λ↦λによる乗算とユニタリ同値である。
∫
R
⊕
H
λ
d
μ
(
λ
)
.
{\displaystyle \int _{\mathbf {R} }^{\oplus }H_{\lambda }\,d\mu (\lambda ).}
スペクトル定理の乗算演算子バージョンとは異なり、直接積分バージョンは、 μ の測度同値類（またはそれと同値な測度0の集合）が一意に決定され、測定可能な関数が μ に関してほぼすべての点で決定されるという意味で一意です 。 [36] 関数は 演算子の
スペクトル多重度関数 です。
λ
↦
d
i
m
(
H
λ
)
{\displaystyle \lambda \mapsto \mathrm {dim} (H_{\lambda })}
λ
↦
dim
(
H
λ
)
{\displaystyle \lambda \mapsto \operatorname {dim} \left(H_{\lambda }\right)}
ここで、自己随伴演算子の分類結果を述べることができる。2つの自己随伴演算子がユニタリ同値であるためには、(1)それらのスペクトルが集合として一致すること、(2)それらの直接積分表現に現れる測度が同じ測度ゼロの集合を持つこと、(3)それらのスペクトル多重度関数が直接積分における測度に関してほぼすべての点で一致することが必要である。 [37]
例: ラプラシアンの構造 R n 上のラプラシアン は演算子
Δ
=
∑
i
=
1
n
∂
x
i
2
.
{\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{n}\partial _{x_{i}}^{2}.}
上で述べたように、ラプラシアンはフーリエ変換によって対角化されます。実際には、ラプラシアンの負の値 −Δ は非負の演算子であるため、ラプラシアンの負の 値 を考える方が自然です( 楕円演算子を 参照)。
定理 — n = 1の場合 、 −Δ は一様重複度 を持ち 、それ以外の場合は −Δ は一様重複度 を持ちます 。さらに、測度 μ mult は[0, ∞) 上のルベーグ測度と見なすことができます。
mult
=
2
{\displaystyle {\text{mult}}=2}
mult
=
ω
{\displaystyle {\text{mult}}=\omega }
参照
^ 読者は部分積分を 2 回実行し、与えられた境界条件によって 部分積分の境界項が消えることを確認する必要があります。
Dom
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Dom} (A)}
注記
^ ホール 2013 系 9.9 ^ ホール 2013 セクション 9.4 ^ ホール 2013 セクション 10.4 ^ ホール 2013 提案 9.27 ^ ホール 2013 提案 9.28 ^ ホール 2013 例 9.25 ^ ホール 2013 定理 9.41 ^ ベレジン＆シュビン 1991年 85ページ ^ ホール 2013 セクション 9.10 ^ ホール 2013 第 2 章、演習 4 ^ ホール 2013 セクション 9.6 ^ ホール 2013 定理 7.19 および 10.9 ^ ホール 2013 提案 7.22 ^ ホール 2013 提案 7.24
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![{\displaystyle \textstyle d(\lambda )=\inf _{r\in [m,M]}|r-\lambda |.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d92c0075f640055ee05f208cff7d0eb5c1aa3d1)
![{\displaystyle \lambda \notin [m,M],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94864422412bd77ab07e765ad798125a83791211)
![{\displaystyle \sigma (A)\subseteq [m,M].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3d8c4cbb35b6217b1ab903ac009dc768599e872)
![{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} \setminus [m,M].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1c5bd3a88cb4856b6162ac0c39751dbeec8760)
![{\displaystyle {\bar {\lambda }}\in \mathbb {C} \setminus [m,M]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8193661812bae563e4b930f49d32e9f52b87f4a8)
![{\displaystyle \lambda \notin [m,M]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fcebfa11197896efed0f87b780ec7e9d8e6f32e)
![{\displaystyle {\bar {\lambda }}\notin [m,M]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f33d598ef767cb5198d2560850bf6f1123750d82)
![{\displaystyle \operatorname {E} (\lambda )=\mathbf {1} _{(-\infty ,\lambda ]}(T)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022bb945fef59c169f93cfeb742089f84fa239c7)
![{\displaystyle \mathbf {1} _{(-\infty ,\lambda ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f096c90dc73c631fb13a97dd2d2cea5b4767e9f4)
![{\displaystyle (-\infty ,\lambda ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4f5ce764cc6e62b6a918fd346f93b63dcc17659)
![{\displaystyle L^{2}([0,1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c2586b254365ca72d662d9e6485fdee8026912)
![{\displaystyle L^{2}[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cec70e845808e22e359ab32ed7c3c0d946fab70)
}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc913455d867f36cc9360c93c2e416954f3f96c)
