対称演算子の拡張

関数解析では、ヒルベルト空間に作用する対称演算子の拡張に関心があります。特に重要なのは、自己随伴拡張の存在、および場合によっては明示的な構成です。この問題は、たとえば、量子力学における観測量の形式表現に対して自己随伴性の領域を指定する必要がある場合に発生します。この問題の解の他の応用は、さまざまなモーメント問題に見られます。

この記事では、このタイプの関連する問題をいくつか説明します。共通のテーマは、各問題には、対応する解のパラメータ化を与える演算子理論的な特徴付けがあるということです。より具体的には、さまざまな要件を持つ対称演算子の自己随伴拡張を見つけることは、適切な部分等長変換のユニタリ拡張を見つけることと同等です。

をヒルベルト空間とする。稠密な領域に作用する線型作用素が対称的であるとは、 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (A)}$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,\quad \forall x,y\in \operatorname {dom} (A).}$

の場合、ヘリンガー・テプリッツの定理によれば、 は有界演算子であり、その場合 は自己随伴であり、拡張問題は自明です。一般に、対称演算子 は、その随伴 の定義域が にある場合、自己随伴です。 ${\displaystyle \operatorname {dom} (A)=H}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {dom} (A^{*})}$${\displaystyle \operatorname {dom} (A)}$

非有界演算子を扱う場合、問題の演算子が閉じていると仮定できることが望ましい場合がよくあります。現在の文脈では、すべての対称演算子は閉じることが できるというのは便利な事実です。つまり、 はの閉包と呼ばれる最小の閉じた拡大を持ちます。これは、対称仮定とリース表現定理を呼び出すことで示されます。とその閉包は同じ閉じた拡大を持つため、対象の対称演算子は常に閉じていると仮定できます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

次のセクションでは、対称演算子が密に定義され、閉じていると仮定します。

ヒルベルト空間上の演算子が対称である場合、どのような場合に自己随伴拡張を持つのでしょうか。一意の自己随伴拡張を持つ演算子は本質的に自己随伴であると言われます。同様に、演算子の閉包 (グラフがのグラフの閉包である演算子) が自己随伴である場合、演算子は本質的に自己随伴です。一般に、対称演算子は多くの自己随伴拡張を持つことも、まったく持たないこともあります。したがって、自己随伴拡張の分類が必要です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle H}$${\displaystyle A}$

本質的自己随伴性の最初の基本基準は次の通りである: ^[1]

同様に、演算子が自明な核を持つ場合、かつその場合に限り、が本質的に自己随伴である。^[2]つまり、複素固有値を持つ固有ベクトルを持つ場合、かつその場合に限り、が自己随伴でなくなる。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}\pm i}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle \pm i}$

この問題を見る別の方法は、自己随伴演算子のケーリー変換^{と欠陥指数によって提供される。 [3]}

${\displaystyle W(A)}$はその定義域上で等長である。さらに、は において稠密である。 ${\displaystyle \operatorname {ran} (1-W(A))}$${\displaystyle A}$

逆に、任意の稠密に定義された作用素が（必ずしも閉じている必要はない）領域上で等長であり、稠密であるとき、（唯一の）稠密に定義された対称作用素が存在する。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle 1-U}$

${\displaystyle S(U):\operatorname {ran} (1-U)\to \operatorname {ran} (1+U)}$

そのような

${\displaystyle S(U)(x-Ux)=i(x+Ux),\quad x\in \operatorname {dom} (U).}$

マッピングと は互いの逆です。つまり、 です。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S(W(A))=A}$

このマッピングはケイリー変換と呼ばれます。これは、部分的に定義された等長変換を任意の対称密定義演算子に関連付けます。マッピングとが単調であることに注意してください。つまり、が密定義対称演算子 を拡張する対称演算子である場合、 はを拡張し、 についても同様です。 ${\displaystyle A\mapsto W(A)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle S}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle W(B)}$${\displaystyle W(A)}$${\displaystyle S}$

これにより、自己随伴拡張を持つ ための必要十分条件が次のように直ちに得られます。${\displaystyle A}$

ヒルベルト空間上の部分的に定義された等長演算子は、のノルム閉包への一意の等長拡張を持ちます。 閉じた領域を持つ部分的に定義された等長演算子は、部分等長変換と呼ばれます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \operatorname {dom} (V)}$

Aの欠陥部分空間を次のように 定義する。

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{+}&=\operatorname {ran} (A+i)^{\perp }\\K_{-}&=\operatorname {ran} (A-i)^{\perp }\end{aligned}}}$

この言語では、定理によって与えられた自己随伴拡張問題の記述は次のように言い換えることができる：対称演算子が自己随伴拡張を持つためには、欠陥部分空間とが同じ次元を持つ必要がある。^[4]${\displaystyle A}$${\displaystyle K_{+}}$${\displaystyle K_{-}}$

部分等長変換の欠陥指数は、定義域と値域の 直交補集合の次元として定義されます。${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}n_{+}(V)&=\dim \operatorname {dom} (V)^{\perp }\\n_{-}(V)&=\dim \operatorname {ran} (V)^{\perp }\end{aligned}}}$

演算子の対称拡張とそのケイリー変換の等長拡張の間には一対一の関係があることがわかります。対称拡張が自己随伴となるのは、対応する等長拡張がユニタリである場合のみです。

対称演算子は、その欠陥指数が両方ともゼロである場合に限り、一意の自己随伴拡張を持ちます。このような演算子は本質的に自己随伴であると言われます。本質的に自己随伴ではない対称演算子でも、標準的な自己随伴拡張を持つ場合があります。これは、非負対称演算子 (またはより一般的には、下方に有界である演算子) の場合に当てはまります。これらの演算子には常に標準的に定義されたフリードリヒ拡張があり、これらの演算子に対して標準的な関数計算を定義できます。解析で発生する多くの演算子は下方に有界であるため (ラプラシアン演算子の負など)、これらの演算子の本質的随伴性の問題はそれほど重要ではありません。

が対称稠密に定義されていると仮定する。すると、 の任意の対称拡張はの制限となる。実際、と はの定義を適用することで対称となる。この概念からフォン・ノイマンの公式が導かれる: ^[5]${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B\subseteq A^{*}}$${\displaystyle \operatorname {dom} (A^{*})}$

ヒルベルト空間を考える。境界上で消える絶対連続関数の部分空間上で、演算子を次のように 定義する。${\displaystyle L^{2}([0,1])}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle Af=i{\frac {d}{dx}}f.}$

部分積分は対称であることを示します。その随伴は、境界条件のない絶対連続関数であるのと同じ演算子です。Aを拡張することは境界条件を変更することになり、それによって が拡大および縮小し、2 つが一致するまで続くこと がわかります。${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle \operatorname {dom} (A^{*})}$${\displaystyle \operatorname {dom} (A)}$${\displaystyle \operatorname {dom} (A^{*})}$

直接計算により、およびは次式で与えられる1次元部分空間であること が分かる。${\displaystyle K_{+}}$${\displaystyle K_{-}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{+}&=\operatorname {span} \{\phi _{+}=c\cdot e^{x}\}\\K_{-}&=\operatorname {span} \{\phi _{-}=c\cdot e^{-x}\}\end{aligned}}}$

ここで は正規化定数である。の自己随伴拡張は円群によってパラメータ化される。によって定義される 各ユニタリ変換に対して、${\displaystyle c}$${\displaystyle A_{\alpha }}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {T} =\{\alpha \in \mathbb {C} :|\alpha |=1\}}$ ${\displaystyle U_{\alpha }:K_{-}\to K_{+}}$

${\displaystyle U_{\alpha }(\phi _{-})=\alpha \phi _{+}}$

ドメインに 対応する拡張子がある${\displaystyle A_{\alpha }}$

${\displaystyle \operatorname {dom} (A_{\alpha })=\{f+\beta (\alpha \phi _{-}-\phi _{+})|f\in \operatorname {dom} (A),\;\beta \in \mathbb {C} \}.}$

ならば、 は絶対連続であり、 ${\displaystyle f\in \operatorname {dom} (A_{\alpha })}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \left|{\frac {f(0)}{f(1)}}\right|=\left|{\frac {e\alpha -1}{\alpha -e}}\right|=1.}$

逆に、が絶対連続であり、ある に対して である場合、 は上記の領域にあります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f(0)=\gamma f(1)}$${\displaystyle \gamma \in \mathbb {T} }$${\displaystyle f}$

自己随伴演算子は量子力学における 運動量演算子のインスタンスです。${\displaystyle A_{\alpha }}$

すべての部分等長変換は、おそらくより大きな空間上でユニタリ演算子に拡張できます。したがって、すべての対称演算子は、おそらくより大きな空間上で自己随伴拡張を持ちます。

対称演算子は、次の場合に 正と呼ばれます。${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \geq 0,\quad \forall x\in \operatorname {dom} (A).}$

そのような に対してはすべて が存在することが知られています。したがって、すべての正対称演算子には自己随伴拡張があります。この方向でのより興味深い質問は、に正の自己随伴拡張があるかどうかです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {dim} K_{+}=\operatorname {dim} K_{-}}$${\displaystyle A}$

2つの正の演算子と に対して、${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\leq B}$

${\displaystyle (A+1)^{-1}\geq (B+1)^{-1}}$

有界演算子の意味で。

一般的な対称演算子の拡張問題は、本質的には部分等長変換をユニタリーに拡張することですが、正対称演算子の場合、問題は縮約を拡張することになります。つまり、2 × 2 自己随伴縮約の特定の未知のエントリを「埋める」ことによって、正対称演算子の正の自己随伴拡張が得られます。

関連する結果を述べる前に、まずいくつかの用語を整理する。に作用する縮約 に対して、その欠陥演算子を次のように 定義する。${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&D_{\Gamma }\;=(1-\Gamma ^{*}\Gamma )^{\frac {1}{2}}\\&D_{\Gamma ^{*}}=(1-\Gamma \Gamma ^{*})^{\frac {1}{2}}\end{aligned}}}$

の欠陥空間は ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {D}}_{\Gamma }\;=\operatorname {ran} (D_{\Gamma })\\&{\mathcal {D}}_{\Gamma ^{*}}=\operatorname {ran} (D_{\Gamma ^{*}})\end{aligned}}}$

欠陥演算子は の非ユニタリー性を示し、欠陥空間はいくつかのパラメータ化における一意性を保証する。この仕組みを使うと、一般的な行列縮約の構造を明示的に記述することができる。ここでは 2 × 2 の場合だけが必要である。すべての 2 × 2 縮約は次のように一意に表現できる。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma ={\begin{bmatrix}\Gamma _{1}&D_{\Gamma _{1}^{*}}\Gamma _{2}\\\Gamma _{3}D_{\Gamma _{1}}&-\Gamma _{3}\Gamma _{1}^{*}\Gamma _{2}+D_{\Gamma _{3}^{*}}\Gamma _{4}D_{\Gamma _{2}}\end{bmatrix}}}$

それぞれが短縮形です。 ${\displaystyle \Gamma _{i}}$

一般的な対称演算子のケイリー変換は、この特殊なケースに適用できます。すべての非負数に対して、 ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \left|{\frac {a-1}{a+1}}\right|\leq 1.}$

これは、すべての正対称演算子に縮約を 割り当てることを示唆している。${\displaystyle A}$

${\displaystyle C_{A}:\operatorname {ran} (A+1)\rightarrow \operatorname {ran} (A-1)\subset H}$

定義

${\displaystyle C_{A}(A+1)x=(A-1)x.\quad {\mbox{i.e.}}\quad C_{A}=(A-1)(A+1)^{-1}.\,}$

行列表現を持つ^{[説明が必要]}

${\displaystyle C_{A}={\begin{bmatrix}\Gamma _{1}\\\Gamma _{3}D_{\Gamma _{1}}\end{bmatrix}}:\operatorname {ran} (A+1)\rightarrow {\begin{matrix}\operatorname {ran} (A+1)\\\oplus \\\operatorname {ran} (A+1)^{\perp }\end{matrix}}.}$

に射影された要素が自己随伴であることは簡単に検証できる。演算子は次のように書ける。 ${\displaystyle \Gamma _{1}}$${\displaystyle C_{A}}$${\displaystyle \operatorname {ran} (A+1)=\operatorname {dom} (C_{A})}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=(1+C_{A})(1-C_{A})^{-1}\,}$

となる。が拡張する縮約であり、その定義域への射影が自己随伴である場合、その逆ケーリー変換 ${\displaystyle \operatorname {dom} (A)=\operatorname {ran} (C_{A}-1)}$${\displaystyle {\tilde {C}}}$${\displaystyle C_{A}}$

${\displaystyle {\tilde {A}}=(1+{\tilde {C}})(1-{\tilde {C}})^{-1}}$

上で定義される は、 の正対称拡大です。対称性は、 の自身の領域への射影が自己随伴であることから得られ、正値は収縮性から得られます。逆もまた真です。 の正対称拡大が与えられた場合、そのケーリー変換は、前述の「部分的な」自己随伴性を満たす収縮です。 ${\displaystyle \operatorname {ran} (1-{\tilde {C}})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

ケイリー変換のユニタリー性基準は、正の演算子の自己随伴性によって置き換えられます。

したがって、正対称演算子の自己随伴拡張を見つけることは、「行列完成問題」になります。具体的には、列縮約を2 × 2 自己随伴縮約に埋め込む必要があります。これは常に実行可能であり、このような縮約の構造によって、すべての可能な拡張のパラメーター化が提供されます。 ${\displaystyle C_{A}}$

前の節により、のすべての自己随伴拡張は次の形をとる。 ${\displaystyle C_{A}}$

${\displaystyle {\tilde {C}}(\Gamma _{4})={\begin{bmatrix}\Gamma _{1}&D_{\Gamma _{1}}\Gamma _{3}^{*}\\\Gamma _{3}D_{\Gamma _{1}}&-\Gamma _{3}\Gamma _{1}\Gamma _{3}^{*}+D_{\Gamma _{3}^{*}}\Gamma _{4}D_{\Gamma _{3}^{*}}\end{bmatrix}}.}$

したがって、 の自己随伴正拡大は、の欠陥空間上の自己随伴縮約と全単射に対応します。縮約と はそれぞれ正拡大とを生み出します。これらは、 の最小および最大の正拡大であり、次の意味では ${\displaystyle A}$${\displaystyle \Gamma _{4}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\Gamma _{3}^{*}}}$${\displaystyle \Gamma _{3}}$${\displaystyle {\tilde {C}}(-1)}$${\displaystyle {\tilde {C}}(1)}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A_{\infty }}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A_{0}\leq B\leq A_{\infty }}$

の任意の正の自己随伴拡大に対して成り立つ。演算子はのフリードリヒ拡大であり、は のフォン・ノイマン・クライン拡大である。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{\infty }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A}$

増加演算子についても同様の結果が得られます。

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• Gr. Arsene および A. Gheondea、「行列収縮の完了」、J. Operator Theory 7 (1982)、179-189。
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