剛体

物理学において、剛体（剛体オブジェクトとも呼ばれる）^[2]は、変形がゼロまたは無視できる固体である。剛体 上の任意の2点間の距離は、外部から加えられる力やモーメントに関係なく、時間的に一定のままである。剛体は通常、質量の連続分布として考えられている。

特殊相対性理論の研究では、完全な剛体は存在せず、物体が剛体であるとみなせるのは、光速に近い速度で運動していない場合に限られます。量子力学では、剛体は通常、質点の集合体として考えられます。たとえば、分子（質点である電子と原子核から成る）は、しばしば剛体と見なされます（分子を剛体回転子として分類するを参照）。

剛体の位置は、剛体を構成するすべての粒子の位置です。この位置の記述を簡略化するために、剛体が剛体であるという特性、つまり剛体を構成するすべての粒子が互いに同じ距離を維持するという特性を利用します。剛体が剛体である場合、少なくとも 3 つの非共線粒子の位置を記述するだけで十分です。これにより、選択した 3 つの粒子に対する他のすべての粒子の時間不変位置がわかっていれば、その位置を再構築できます。ただし、通常は、数学的にはより便利でありながら同等の別のアプローチが使用されます。剛体全体の位置は次のように表されます。

1. 物体の線形位置または位置、すなわち物体の粒子の1つの位置、特に基準点として選択された位置（通常は物体の質量中心または重心と一致する）、および
2. 物体の角度位置（向きまたは姿勢とも呼ばれる）。

したがって、剛体の位置には、それぞれ線状と角状の2つの要素があります。^[3]線速度と角速度、加速度、運動量、力積、運動エネルギーなど、剛体の運動を記述する他の運動量や運動エネルギーについても 同様です。^[4]

線形位置は、ベクトルによって表すことができます。ベクトルの末尾は空間内の任意の参照点(選択した座標系の原点) にあり、先端は剛体上の任意の関心点 (通常は質量の中心または重心)にあります。この参照点は、物体に固定された 座標系の原点を定義する場合があります。

剛体の向きを数値的に記述する方法はいくつかあり、3 つのオイラー角のセット、四元数、方向余弦行列（回転行列とも呼ばれる）などがあります。これらの方法はすべて、実際には、剛体に対する向きが固定されている（つまり、剛体と一緒に回転する）基底関数系（または座標系）の向きを、剛体の動きを観測する別の基底関数系（または座標系）を基準として定義します。たとえば、飛行機に対する向きが固定されている基底関数系は、3 つの直交単位ベクトルb 1 _、 b 2 _、 b 3_のセットとして定義できます。b 1_は翼の弦線に平行で前向き、b _{2 は}対称面に対して垂直で右向き、b _{3 は}外積 によって与えられます。 ${\displaystyle b_{3}=b_{1}\times b_{2}}$

一般に、剛体が動くと、その位置と向きは時間とともに変化します。運動学的な意味では、これらの変化はそれぞれ並進と回転と呼ばれます。実際、剛体の位置は、仮想的な基準位置（必ずしも運動中に剛体が実際に取る位置と一致するとは限りません）から始まる剛体の仮想的な並進と回転（回転並進）として考えることができます。

速度（線速度とも呼ばれる）と角速度は、基準フレームに対して測定されます。

剛体の線速度はベクトル量であり、その直線位置の時間変化率に等しい。したがって、それは物体に固定された基準点の速度である。純粋な並進運動（回転のない運動）の間、剛体上のすべての点は同じ速度で移動する。しかし、運動に回転が含まれる場合、物体上の任意の 2 点の瞬間速度は通常同じではない。回転体の 2 点は、瞬間的な回転軸に平行な軸上にある場合にのみ、同じ瞬間速度を持つ。

角速度は、剛体の向きが変化する角速度と剛体が回転する瞬間軸（この瞬間軸の存在は、オイラーの回転定理によって保証されています）を記述するベクトル量です、常に同じ角速度を経験します。純粋な回転運動の間、瞬間回転軸上にある点を除いて、剛体上のすべての点の位置が変わります。向きと角速度の関係は、位置と速度の関係に直接類似しているわけではありません。角速度は、向きの時間変化率ではありません。なぜなら、角速度を取得するために 微分できる向きベクトルのような概念が存在しないからです

基準フレームNにおける剛体Bの角速度は、Nにおける剛体Dの角速度とDに対するBの角速度の合計に等しい: ^[5]

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }={}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {D} }+{}^{\mathrm {D} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }.}$

この場合、剛体と参照フレームは区別できず、完全に互換性があります。

任意の 3 つの点 P、Q、R の集合について、P から R への位置ベクトルは、P から Q への位置ベクトルと Q から R への位置ベクトルの合計です。

${\displaystyle \mathbf {r} ^{\mathrm {PR} }=\mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }+\mathbf {r} ^{\mathrm {QR} }.}$

位置ベクトルのノルムは空間距離です。ここでは、3 つのベクトルすべての座標を同じ方向の座標フレームで表現する必要があります。

基準フレームNにおける点Pの速度は、OからPまでの位置ベクトルのNにおける時間微分として定義される。 ^[6]

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }={\frac {{}^{\mathrm {N} }\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {r} ^{\mathrm {OP} })}$

ここで、O は参照フレーム N に固定された任意の点であり、d/d t演算子の左側の N は、参照フレーム N で導関数が取られることを示します。O が N で固定されている限り、結果は O の選択とは無関係です。

基準フレームNにおける点Pの加速度は、その速度のN方向の時間微分として定義される。 ^[6]

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {P} }={\frac {^{\mathrm {N} }\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }).}$

剛体B上に固定された2点PとQについて、Bが基準フレームN内で角速度を持っている場合、N内でのQの速度はN内でのPの速度の関数として表すことができます。^[7]${\displaystyle \scriptstyle {^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }}}$

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {Q} }={}^{\mathrm {N} }\!\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }.}$

ここで、はPからQへの位置ベクトルであり、^[7]座標はN（またはNと同じ方向のフレーム）で表されます。この関係は、PとQの間のノルム距離の時間的不変性から導き出すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }}$

剛体N上の2点の速度の式を時間に関して 微分すると、剛体B上の点Qの基準フレームNにおける加速度は次のように表すことができます。

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {Q} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {P} }+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \left({}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }\right)+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }}$

ここでBの基準フレームNにおける角加速度である。 ^[7]${\displaystyle \scriptstyle {{}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }}}$

前述のように、剛体B上のすべての点は固定された基準フレームN内で同じ角速度を持ち、したがって同じ角加速度を持つ。${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }}$${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }.}$

点Rが剛体B内を動いていて、Bが参照フレームN内を動いている場合、N内のRの速度は

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {Q} }+{}^{\mathrm {B} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }}$

ここでQはBに固定された点であり、興味のある瞬間にRと瞬間的に一致する。^{[8]この関係は、}剛体上に固定された2点の速度 の関係とよく組み合わせられる。

物体BがNフレーム内で動いている間に物体B内で動く点RのNフレーム内での加速度は次のように表される。

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {Q} }+{}^{\mathrm {B} }\mathbf {a} ^{\mathrm {R} }+2{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times {}^{\mathrm {B} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }}$

ここでQはBに固定された点であり、関心のある瞬間にRと瞬間的に一致する。^{[8]この式は、}剛体に固定された2点の加速度 と組み合わせられることが多い。

C が物体に付随する局所座標系 Lの原点である場合、剛体の空間加速度またはねじれ 加速度は、 Cの空間加速度として定義されます（上記の物質加速度とは対照的です）。 ここで $${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(t,\mathbf {r} _{0})=\mathbf {a} (t,\mathbf {r} _{0})-{\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {v} (t,\mathbf {r} _{0})={\boldsymbol {\psi }}_{c}(t)+{\boldsymbol {\alpha }}(t)\times A(t)\mathbf {r} _{0}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$物体の基準点に対する点/粒子の位置を局所座標系Lで表す（物体の剛性により、これは時間に依存しない）
• ${\displaystyle A(t)\,}$は方向行列であり、行列式が 1 の直交行列で、別の座標系Gの任意の基準方向に対するローカル座標系Lの方向(角度位置) を表します。この行列は、各列に 1 つずつ、 Gに対するLの軸の方向を定義する 3 つの直交単位ベクトルであると考えてください。
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(t)}$剛体の角速度を表す
• ${\displaystyle \mathbf {v} (t,\mathbf {r} _{0})}$点/粒子の全速度を表す
• ${\displaystyle \mathbf {a} (t,\mathbf {r} _{0})}$点/粒子の総加速度を表す
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}(t)}$剛体の角加速度を表す
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(t,\mathbf {r} _{0})}$点/粒子の空間加速度を表す
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{c}(t)}$剛体の空間加速度（つまり、 Lの原点の空間加速度）を表します。

2D では、角速度はスカラーであり、行列 A(t) は、角速度の時間積分である角度による xy平面での回転を単純に表します。

乗り物や歩行者などは、通常、速度の方向の変化に応じて回転します。つまり、自身の向きに応じて前進します。次に、物体が平面内で閉じた軌道をたどる場合、軌道が 1 回完了する時間間隔にわたって積分された角速度は、360° の整数倍になります。この整数は、速度の原点に対する回転数です。多角形の頂点に関連付けられた回転量を比較します。

物体に剛体接続された任意の点は、物体の直線運動を記述するための参照点（座標系Lの原点）として使用できます（直線位置、速度、加速度ベクトルは選択に応じて異なります）。

ただし、アプリケーションによっては、次のような選択肢が便利な場合があります。

• システム全体の質量の中心。これは一般に、空間内を自由に移動する物体にとって最も単純な運動をする。
• 並進運動がゼロまたは単純化される点。例：車軸またはヒンジ、ボールジョイントの中心など。

重心を基準点として使用する場合:

• （線形）運動量は回転運動とは無関係です。いつでも、運動量は剛体の総質量と並進速度の積に等しくなります。
• 質量の中心に対する角運動量は、並進運動がない場合と同じです。つまり、いつでも慣性テンソルと角速度の積に等しくなります。角速度が物体の主軸と一致する座標系に対して表される場合、角運動量の各成分は慣性モーメント（慣性テンソルの主値）と角速度の対応する成分の積になります。トルクは慣性テンソルと角加速度の積になります。
• 外力がない場合に可能な運動は、一定速度での移動、固定された主軸の周りの安定した回転、およびトルクのない歳差運動です。
• 剛体に対する正味の外力は、常に総質量と並進加速度の積に等しくなります (つまり、正味の外部トルクがゼロでない場合や物体が回転している場合でも、並進運動に対してニュートンの第 2 法則が適用されます)。
• 総運動エネルギーは、単純に並進エネルギーと回転エネルギーの合計です 。

2 つの剛体は、一方から他方への適切な回転がない場合、異なる（コピーではない）と言われます。剛体は、その鏡像がその意味で異なる場合、つまり対称性を持たないか、その対称グループに適切な回転のみが含まれる場合、キラルと呼ばれます。反対の場合、オブジェクトはアキラルと呼ばれます。つまり、鏡像はコピーであり、異なるオブジェクトではありません。このようなオブジェクトは対称面を持つ場合がありますが、必ずしもそうではありません。オブジェクトのイメージが回転バージョンとなる反射面が存在する場合もあります。後者はS _2nに適用され、 n = 1の場合は反転対称です。

（硬い）長方形の透明シートの場合、反転対称性は、片側に回転対称性のない画像があり、もう片側には上側の画像が上下逆さまに透けて見える画像があることに対応します。次の 2 つのケースを区別できます。

• 画像のあるシートの表面は対称ではありません。この場合、2 つの面は異なりますが、鏡面に対して垂直な軸を中心に 180 度回転させると、オブジェクトの鏡像は同じになります。
• 画像のあるシートの表面には対称軸があります。この場合、2 つの側面は同じであり、オブジェクトの鏡像も同じになります。これは、鏡面に対して垂直な軸を中心に 180 度回転した後も同じです。

完全な画像を持つシートは非アキラルです。ここでも 2 つのケースを区別できます。

• 画像のあるシートの表面には対称軸がなく、両側が異なります
• 画像のあるシートの表面には対称軸があり、2つの面は同じです

1点が固定された剛体（すなわち並進運動がゼロの物体）の配置空間は、回転群SO(3)の基礎となる多様体によって与えられる。固定されていない（並進運動がゼロでない）剛体の配置空間はE ⁺ (3)であり、これは3次元のユークリッド群の直接等長写像の部分群（並進と回転の組み合わせ）である。

• 角速度
• 軸の規則
• 差動回転
• 剛体力学
• 微小回転
• オイラー方程式（剛体力学）
• オイラーの法則
• 生まれつきの頑固さ
• 剛性ローター
• 剛体変換
• 幾何力学
• 古典力学（ゴールドスタイン）

• ロイ・フェザーストーン (1987)。ロボットダイナミクスアルゴリズム。Springer。ISBN 0-89838-230-0。この参考文献は、ロボットアプリケーション向けに、ねじ理論と剛体力学を効果的に組み合わせています。著者は、方程式を簡素化し、簡潔な表記を可能にするため、物質加速度の代わりに空間加速度を多用しています。
• JPL DARTSページには空間演算子代数のセクション（リンク：[2]）と広範な参考文献リスト（リンク：[3]）があります。
• Andy Ruina と Rudra Pratap (2015)。静力学と動力学入門。オックスフォード大学出版局。（リンク：[4]）。
• デニス・M・コッホマン教授、ダイナミクス講義ノート、ETHチューリッヒ。[5]

• ウィキメディア・コモンズの剛体に関するメディア
• ウィキクォートにおける剛体に関する引用