方位（幾何学）

一般に、剛体の空間における位置と向きは、主基準フレームに対する別の基準フレームの位置と向きとして定義されます。この基準フレームは剛体に対して固定されており、剛体と共に並進および回転します（剛体のローカル基準フレーム、またはローカル座標系）。このローカルフレームの向きを記述するには、少なくとも 3 つの独立した値が必要です。他の 3 つの値は、物体上の点の位置を記述します。回転軸上にある点を除き、剛体のすべての点は回転中に位置が変わります。剛体が回転対称性を持つ場合、既知の開始向きから時間とともに向きがどのように変化するかを観察することを除いて、すべての向きを区別することはできません。たとえば、線、線分、またはベクトルの空間における向きは、たとえば 2 つの方向余弦など、2 つの値だけで指定できます。もう 1 つの例は、地球上の点の位置で、これは多くの場合、経度と緯度の 2 つの角度を使用して測定される、その点と地球の中心を結ぶ線の向きを使用して記述されます。同様に、平面の向きも2つの値で表すことができ、例えば、その平面に垂直な線の向きを指定したり、走向角と傾斜角を使用したりすることができる。

剛体や平面の三次元空間における向きを表すための数学的手法に関する詳細は、以降のセクションで説明します。

二次元空間では、あらゆる物体（線、ベクトル、平面図形）の向きは、回転した角度という単一の値で表されます。回転の自由度は1つだけであり、回転の中心となる固定点も1つだけです。

次元がdの場合、回転対称性を持たないオブジェクトの向きを指定するには、 d ( d − 1) / 2 個の独立した値が必要です。

方向を表す最初の試みは、レオンハルト・オイラーによるものとされています。彼は、互いに回転できる3つの基準座標系を想像し、固定された基準座標系から始めて3回の回転を行うことで、空間内の任意の基準座標系が得られることに気づきました（2回の回転で垂直軸を固定し、もう1回の回転で他の2つの軸を固定します）。これらの3つの回転の値は、オイラー角と呼ばれます。

テイト・ブライアン角

これらは、ヨー、ピッチ、ロールとも呼ばれる3つの角度で、航法角とカルダン角とも呼ばれます。数学的には、これらは12通りのオイラー角の組のうち6通りの組み合わせを構成し、その順序は飛行機などの乗り物の向きを表すのに最適です。航空宇宙工学では、これらは通常オイラー角と呼ばれます。

オイラーはまた、2つの回転の合成は、異なる固定軸を中心とした1つの回転と等価であることに気づいた（オイラーの回転定理）。したがって、前述の3つの角度の合成は、ただ1つの回転に等しくなければならないが、その軸は行列が開発されるまで計算が複雑であった。

この事実に基づき、彼は回転軸上のベクトルと角度の値に等しい大きさのベクトルを用いて、あらゆる回転をベクトル的に記述する方法を導入した。したがって、あらゆる向きは、基準座標系からその向きへと導く回転ベクトル（オイラーベクトルとも呼ばれる）によって表すことができる。向きを表すために用いられる回転ベクトルは、一般的に向きベクトル、または姿勢ベクトルと呼ばれる。

軸角度表現と呼ばれる同様の方法では、回転軸に沿った単位ベクトルと、角度を示す別の値を使用して回転または向きを表します（図を参照）。

行列の導入に伴い、オイラーの定理は書き換えられました。回転は、回転行列または方向余弦行列と呼ばれる直交行列によって記述されます。回転行列は、向きを表すために用いられる場合、一般的に方向行列または姿勢行列と呼ばれます。

上述のオイラーベクトルは回転行列の固有ベクトルです（回転行列は一意の実固有値を持ちます）。2つの回転行列の積は回転の合成を表します。したがって、これまでと同様に、向きは初期座標系から目的の座標系への回転として表すことができます。

n次元空間における非対称物体の構成空間はSO( n ) × Rn^である。物体に接ベクトルの基底を付加することで、向きを視覚化することができる。各ベクトルが指す方向によって、その向きが決定される。

回転を表す別の方法として、回転四元数（バーソルとも呼ばれる）を用いる方法があります。これらは回転行列や回転ベクトルと同等です。回転ベクトルに関しては、行列との間でより簡単に変換できます。向きを表すために回転四元数を用いる場合、通常は向き四元数または姿勢四元数と呼ばれます。

剛体の姿勢とは、例えば、固定された基準座標系に対する剛体内の固定されたフレームの向きによって記述される、剛体の向きのことである。姿勢は姿勢座標によって記述され、少なくとも 3 つの座標から構成される。^{[ 2 ]} 剛体の向きを決定する 1 つの方法は、剛体軸の回転に基づいている。剛体の固定された基準座標系の軸を中心に 3 回連続して回転させることで、剛体のオイラー角が決定される。^{[ 3 ] [ 4 ]}別の方法は、ロール、ピッチ、ヨーに基づいているが、^{[ 5 ]}これらの用語は公称姿勢からの増分偏差も指す。