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簡単に言うと、ポストモダン・ポートフォリオ理論（PMPT ）は、マーコウィッツとシャープによる伝統的なモダン・ポートフォリオ理論（MPT）の拡張版です。どちらの理論も、合理的な投資家が分散投資を用いて投資ポートフォリオを最適化するための分析手法を提供します。PMPTとMPTの本質的な違いは、PMPTが将来の特定の義務を履行するために投資で得られるべき収益率を重視するのに対し、MPTはリスクフリーレートに対する絶対収益率のみに関心を寄せている点です。
PMPTという概念の下で最初に発表された文献は、ソフトウェア開発会社Investment Technologies, LLCの代表であるブライアン・M・ロムとキャスリーン・W・ファーガソンによって、1993年冬号と1994年秋号の『The Journal of Investing』に掲載された。
しかし、PMPTの応用によって生まれたソフトウェアツールは実務家にとって革新的なものであった一方で、これらのアプリケーションに具現化された多くのアイデアや概念は、世界中の学術機関や研究機関において長年にわたり輝かしい実績を誇っていた。
実証研究は1981年にサンフランシスコ州立大学の年金研究所（PRI）で始まった。ハル・フォーシー博士とフランク・ソルティーノ博士は、1977年に発表されたピーター・フィッシュバーンの理論を年金基金運用に適用しようとしていた。その結果、資産配分モデルが生まれ、PRIは1988年にブライアン・ロムに販売ライセンスを与えた。ロム氏はPMPTという用語を作り出し、自社が開発したポートフォリオ最適化およびパフォーマンス測定ソフトウェアの販売に使い始めた。これらのシステムはPRIの下方リスクアルゴリズムに基づいて構築されていた。ソルティーノとケンブリッジ大学のスティーブン・サッチェルは、PMPTに関する最初の本を共著した。これはポートフォリオ管理の大学院セミナーのテキストとして意図されたものだった。ソルティーノによるより最近の本は、実務家向けに書かれたものである。主要な学術誌への最初の論文は、ソルティーノと当時シェル石油オランダにいたロバート・ファン・デル・メール博士との共著だった。これらの概念は、ソルティーノ、ロム、そして現在は解散したソロモン・ブラザーズ・スカンクワークスのメンバーを含む人々による記事や学会発表によって広く知られるようになった。
ソルティーノは、その基礎理論の主な貢献者は以下の通りだと主張している。
ハリー・マーコウィッツは現代ポートフォリオ理論（MPT）の基礎を築き、その最大の功績は投資意思決定のための正式なリスク／リターン・フレームワークを確立したことである（マーコウィッツ・モデルを参照）。投資リスクを定量的に定義することで、マーコウィッツは投資家に資産選択とポートフォリオ管理への数学的アプローチを提供した。しかし、オリジナルのMPTの定式化には重要な限界がある。
MPTの主な限界は、以下の2つの仮定にある。
言い換えれば、現代ポートフォリオ理論（MPT）は、必ずしも投資市場の実態を反映しているとは限らないリスクとリターンの指標によって制約を受けている。
正規分布を仮定することは、対称性ゆえに実際上の大きな制約となります。分散（またはその平方根である標準偏差）を用いると、予想を上回るリターンに関する不確実性と、予想を下回るリターンに関する不確実性が等しく考慮されることになります。さらに、投資収益のパターンをモデル化するために正規分布を用いると、上昇余地が大きい投資結果が、実際よりもリスクが高いように見えてしまいます。逆に、下落余地が優勢な分布では、同様の歪みが生じます。結果として、投資ポートフォリオの構築と評価に従来の現代ポートフォリオ理論（MPT）の手法を用いると、投資の実態を正確にモデル化できないことが少なくありません。
投資家は、投資目標を達成するために必要な最低限のリターンを上回るリターンをリスクとはみなさないことが、長らく認識されてきた。彼らは、リスクとは悪い結果（つまり、必要な目標を下回るリターン）に関わるものであり、良い結果（つまり、目標を上回るリターン）に関わるものではないと考えており、損失は利益よりも重くのしかかる。この見解は、シャープ（1964）をはじめとする金融、経済学、心理学の研究者によって指摘されてきた。「特定の条件下では、MVAは（投資家の）行動の予測において不十分な結果をもたらすことが示される。マーコウィッツは、半分散に基づくモデルの方が望ましいと示唆しているが、計算上の大きな問題を考慮して、彼は（MV）分析を平均と標準偏差に基づいている。[ 2 ]」
ポートフォリオ理論や金融理論における近年の進歩と、計算能力の向上も、これらの限界を克服するのに貢献している。
1987年、サンフランシスコ州立大学の年金研究所は、現在も使用されているPMPTの実用的な数学的アルゴリズムを開発しました。これらの方法は、投資家が下落リスクよりも上昇リスクを好むことを認識する枠組みを提供します。同時に、投資収益のパターンに関するより堅牢なモデルである3パラメータ対数正規分布[ 3 ]が導入されました。
下方リスク（DR）は、目標半偏差（目標半分散の平方根）によって測定され、下方偏差と呼ばれます。これはパーセンテージで表されるため、標準偏差と同様の方法で順位付けが可能です。
下方リスクを直感的に捉える方法としては、目標を下回るリターンの年率標準偏差が挙げられます。もう一つの方法は、確率加重平均した目標を下回るリターンの二乗の平方根です。目標を下回るリターンを二乗すると、失敗を二乗的にペナルティする効果があります。これは、個人が意思決定を行う際の行動に関する観察結果と一致しています。
どこ
d = 下方偏差（金融業界では一般的に「下方リスク」として知られています）。注：拡張すると、d² = 下方分散となります。
t = 年間目標収益率。元々は最低許容収益率、またはMARと呼ばれていた。
r = 年間収益率の分布f ( r ) の収益率を表す確率変数、
f ( r ) =年間収益率の分布、例えば3パラメータ対数正規分布
以下に述べる理由から、この連続的な式は、収益系列から抽出した目標を下回る期間収益の標準偏差を求める、より単純な離散的な式よりも好ましい。
1. 連続形式では、投資家が投資目標を設定する際に自然な方法である年間リターンを用いて、以降のすべての計算を行うことができます。離散形式では、意味のある計算を行うために十分なデータポイントを得るには月次リターンが必要となり、そのためには年間目標を月次目標に変換する必要があります。これは、特定されるリスクの量に大きな影響を与えます。例えば、1年間毎月1%の収益を上げるという目標は、1年間で12%の収益を上げるという一見同等の目標よりもリスクが高くなります。
2. 連続形式を離散形式よりも強く好む2つ目の理由は、Sortino & Forsey (1996) によって提案されている。
「投資を行う前は、結果がどうなるかは分かりません。投資を行った後、そのパフォーマンスを測定しようとしても、分かるのは結果であって、起こり得た結果ではありません。この不確実性に対処するために、私たちは起こりうるリターンの範囲と、それらのリターンを推定する際の確率について、妥当な推定値があると仮定します。統計的には、この不確実性の形状を確率分布と呼びます。言い換えれば、月次または年次の離散的な値だけを見ても、全体像は把握できないのです。」
観測されたデータを用いて分布を作成する手法は、従来のパフォーマンス測定の基本です。例えば、月次リターンを用いてファンドの平均値と標準偏差を計算します。これらの値と正規分布の特性を用いることで、損失が発生する可能性（実際にはマイナスのリターンが観測されていなくても）、あるいは全リターンの3分の2が含まれる範囲（この範囲を特定する具体的なリターンが必ずしも発生していなくても）といったことを予測できます。こうした予測が可能になるのは、正規分布が連続的な形式であり、そのよく知られた特性を仮定しているからです。
PMPTでは、同様のプロセスが採用されます。
ロム氏の会社であるインベストメント・テクノロジーズ社が1993年に開発したソルティーノ比率は、PMPT評価基準における最初の新しい要素でした。その定義は以下のとおりです。
どこ
r = 年率換算収益率、
t = 目標収益率、
d = 下方リスク。
以下の表は、この比率が投資成果のランキング手段として、従来のシャープレシオよりも明らかに優れていることを示しています。この表は、ソルティーノ比率とシャープレシオの両方を用いて、いくつかの主要指数のリスク調整済み比率を示しています。データは1992年から1996年までの5年間を対象とし、月次トータルリターンに基づいています。ソルティーノ比率は、9.0%の目標値に対して計算されています。
これら2つの比率を用いて導き出せる異なる結論の例として、リーマン・アグリゲートとMSCI EAFEの比較を見てみましょう。シャープレシオを用いるとリーマンの方が上位にランクインしますが、ソルティーノレシオを用いるとEAFEの方が上位にランクインします。多くの場合、リスク調整後の指標によって、運用会社や指数のランキングは異なります。tの値によって、これらのパターンはさらに変化します。例えば、tがリスクフリーレートに近い場合、米国短期国債のソルティーノレシオはS&P 500のソルティーノレシオよりも高くなりますが、シャープレシオは変わりません。
2008年3月、クイーンズランド投資公社とクイーンズランド工科大学の研究者らは、歪んだ収益分布の場合、ポートフォリオリスクの尺度として、シャープレシオよりもソルティーノレシオの方が優れていることを示した。[ 4 ]
ボラティリティ歪度は、RomとFergusonがPMPTの枠組みで導入した2番目のポートフォリオ分析統計量です。これは、分布の全分散のうち、平均を上回るリターンによる割合と、平均を下回るリターンによる割合の比率を測定します。したがって、分布が対称である場合（MPTで想定されている正規分布の場合など）、ボラティリティ歪度は1.00になります。1.00より大きい値は正の歪度を示し、1.00より小さい値は負の歪度を示します。従来の統計的歪度（すなわち、分布の3次モーメント）と密接に関連していますが、PMPTの著者らは、ボラティリティ歪度の方が、これらのツールの主な実務ユーザーである非統計学者にとって直感的に理解しやすいという利点があると主張しています。
歪度の重要性は、リターン系列が非正規分布（つまり歪度が高い）であるほど、シャープレシオなどの従来のMPT指標によって真のリスクが歪められるという点にある。したがって、非対称な設計であるヘッジ戦略やデリバティブ戦略が近年登場したことで、MPT指標は実質的に役に立たなくなり、PMPTは対象となるリターンに含まれる真の情報をより多く捉えることができるようになった。多くの一般的な市場指数や株式・債券投資信託のリターンは、必ずしも正規分布で正確に表されるとは限らない。
データ：1991年1月から1996年12月までの月次リターン。
初期の文献に関する包括的な調査については、R. Libby と PC Fishburn [1977] を参照のこと。
