ポートフォリオ最適化

ポートフォリオの最適化は、多くの場合、2 つの段階で行われます。1 つは保有する資産クラスのウェイトを最適化すること、もう 1 つは同じ資産クラス内の資産のウェイトを最適化することです。前者の例としては、株式と債券に配分する割合を選択することが挙げられ、後者の例としては、株式サブポートフォリオに配分する株式 X、Y、Z の割合を選択することが挙げられます。株式と債券は、根本的に異なる財務特性を持ち、異なるシステマティックリスクを持つため、別々の資産クラスとみなすことができます。ポートフォリオの一部をそれぞれのクラスに保有することである程度の分散効果が得られ、各クラス内でさまざまな特定の資産を保有することでさらに分散効果が得られます。このような 2 段階の手順を使用することで、個々の資産レベルと資産クラスレベルの両方で非システマティックリスクを排除できます。効率的なポートフォリオの具体的な式については、^{[ 6 ]}平均分散分析におけるポートフォリオの分離を参照してください。

ポートフォリオ最適化のアプローチの一つとして、最終的なポートフォリオ資産額に基づいて定義されるフォン・ノイマン＝モルゲンシュテルン効用関数を指定する方法がある。この効用の期待値を最大化することが目的となる。低いリターンよりも高いリターンを好む傾向を反映するため、この目的関数は資産額に対して増加関数となり、リスク回避の傾向を反映するため凹関数となる。保有可能な資産が多数存在する現実的な効用関数を扱う場合、このアプローチは理論的には最も妥当であるものの、計算負荷が高くなる可能性がある。

ハリー・マーコウィッツ^{[ 7 ]は}、追加の線形制約や保有資産の上限と下限を扱うことができる二次計画法の一般的な手順である「クリティカルライン法」を開発した。さらに、このアプローチは、効率的なポートフォリオの集合全体を決定する方法を提供する。その適用は後にウィリアム・シャープによって詳しく説明された^{[ 8 ]}。

多数の資産にわたるポートフォリオの最適化は複雑かつ大規模であるため、一般的にコンピュータによって行われます。この最適化の中心となるのは、ポートフォリオ内の資産の収益率に関する共分散行列の構築です。

技術には以下が含まれます。

• 線形計画法^{[ 9 ] [ 10 ]}
• 二次計画法
• 非線形計画法
• 混合整数計画法
• メタヒューリスティック手法^{[ 11 ]}
• 多段階ポートフォリオ最適化のための確率的プログラミング^{[ 12 ]}
• コピュラベースの手法^{[ 13 ]}
• 主成分分析に基づく手法
• 決定論的グローバル最適化
• 遺伝的アルゴリズム^{[ 14 ]}

投資家は、法律によって一部の資産の保有を禁じられている場合があります。場合によっては、制約のないポートフォリオ最適化によって一部の資産の空売りにつながる可能性があります。しかし、空売りは禁止されている場合もあります。また、資産を保有することに伴う税負担が大きすぎるため、保有が非現実的な場合もあります。このような場合、最適化プロセスには適切な制約を課す必要があります。

取引コストとは、ポートフォリオの比率を変更するために発生する取引コストのことです。最適なポートフォリオは時間とともに変化するため、頻繁に再最適化を行うインセンティブが働きます。しかし、取引頻度が高すぎると取引コストも高くなるため、最適な戦略は、取引コストの回避と、時代遅れのポートフォリオ比率に固執することの回避というトレードオフを適切に考慮した、再最適化と取引の頻度を見つけることです。これは、リバランスを行わない場合に株式比率が時間とともにベンチマークから乖離していくトラッキングエラーという概念と関連しています。

集中リスクとは、単一のポジションまたはセクターへのエクスポージャーが、不利な事象が発生した場合にポートフォリオ全体に重大な損失をもたらすほど大きい場合に生じるリスクを指します。集中リスクに関して制約を設けずにポートフォリオを最適化すると、最適なポートフォリオはあらゆるリスク資産ポートフォリオになり得るため、単一の資産のみに投資するポートフォリオになることを妨げるものはありません。集中リスクの管理は、包括的なリスク管理フレームワークの一部であるべきであり^{[ 16 ]}、そのようなリスクを低減するために、最適なポートフォリオの個々の構成要素に割り当てられるウェイトに上限制限を設ける制約を追加することが可能です。

ポートフォリオ最適化へのさまざまなアプローチでは、リスクの測定方法が異なります。従来の標準偏差やその二乗（分散）は堅牢なリスク指標ではありませんが、その他の指標としては、ソルティーノ比率、CVaR（条件付きバリュー・アット・リスク）、統計的分散などがあります。

投資は将来を見据えた活動であるため、リターンの共分散は観測するのではなく予測する必要があります。 ここではブラック・リッターマンモデルがよく用いられます。このモデル^{[ 17 ]}は、市場が示唆する（つまり過去の）リターンと共分散を、ベイズ的手法を用いてポートフォリオマネージャーの特定の資産に対する「見解」に基づいて更新し、リターンと共分散行列の事後推定値を生成します。これらはその後、最適化ツールに渡されます。（あるいは、モデルが示唆するウェイトは、マネージャーの「見解」に合致するリターンを達成するという意味で最適です。）

ポートフォリオ最適化では、投資家がリスク回避的な傾向を持ち、株価が過去の値や予測値と実際の値との間に大きな乖離を示す可能性があることを前提としています。特に、金融危機は株価変動の相関関係が著しく高まることが特徴であり、分散投資のメリットを著しく損なう可能性があります。^{[ 18 ]}

平均分散最適化フレームワークでは、分散共分散行列の正確な推定が極めて重要です。ガウスコピュラと適切に指定された周辺分布を用いたモンテカルロシミュレーションを使用する定量的手法が有効です。 ^{[ 19 ]}自己回帰、非対称ボラティリティ、歪度、尖度 などの株式リターンの経験的特性をモデリングプロセスで考慮できるようにすることが重要です。これらの属性を考慮しないと、負のバイアス（真の値の最大70%）を持つ相関、分散、共分散に深刻な推定誤差が生じる可能性があります。^{[ 20 ]}

投資ポートフォリオにおけるテールリスクの最小化に焦点を当てた他の最適化戦略（例：バリュー・アット・リスク、条件付きバリュー・アット・リスク）は、リスク回避型の投資家の間で人気があります。テールリスクへのエクスポージャーを最小限に抑えるには、大規模な資産ポートフォリオ全体でテール依存性（左テール）を低減できるヴァイン・コピュラを用いたモンテカルロ・シミュレーションによる資産収益の予測（例：クレイトン、ローテッド・ガンベル）が最も適しています。^{[ 21 ]}（テール）リスク・パリティは、資本配分ではなくリスク配分に焦点を当てています。

ヘッジファンドマネージャーは、あらゆる投資家の効用関数を使用してポートフォリオを最適化できる「フルスケール最適化」を適用してきました。^{[ 22 ]} このような手法は、リスク選好がテールリスクの低減、投資ポートフォリオの収益分布における負の歪度とファットテールの最小化を含む現代の投資家にとって、より実用的で適しているとされています。 ^{[ 23 ]} このような手法で高次モーメント効用関数を使用する場合、非対称依存性を考慮した同時分布の予測を可能にする手法を使用する必要があります。同時分布に非対称依存性を組み込むことを可能にする適切な手法は、クレイトン正準ヴァインコピュラです。コピュラ（確率論）§ 定量ファイナンスを参照してください。

階層的リスクパリティ（HRP）など、ポートフォリオ構築における最新の機械学習アプローチの中には、グラフベースの手法を用いて、従来の平均分散ポートフォリオに比べてサンプル外パフォーマンスを向上させるものがあります。これらの手法は、資産共分散行列から最大全域木を推定し、資産間の依存関係の本質的な構造を捉えつつ、弱い、あるいはノイズとなる可能性のあるリンクを剪定することを目指します。この階層的クラスタリングプロセスにより、より堅牢で解釈しやすいポートフォリオ配分が可能になります。

その他のアプローチとしては、長期的な期待値を最大化するためにケリーのアプローチを採用したユニバーサルポートフォリオアルゴリズムや、その後のオンラインポートフォリオ選択、そして最終的な資産が所定の「安全水準」を下回る確率が許容範囲内であることを保証しようとする確率制約付きポートフォリオ選択などがある。

投資家グループは、個別に投資する代わりに、総資本を共同ポートフォリオに投資し、その後、（不確実な）投資利益を、各自の効用／リスク選好に最も適した方法で分配することを選択するかもしれない。少なくとも期待効用モデル^{[ 24 ]}と平均偏差モデル^{[ 25 ]}においては、各投資家は通常、個々の投資から得られる最適なポートフォリオよりも厳密に高く評価する割合を得ることができることがわかっている。