ベータ（金融）

金融において、ベータ（βまたは市場ベータ、ベータ係数）は、株式市場全体の動きに比例した個々の株価の予想される増加または減少を測定する統計です。ベータは、少量追加された個々の資産がポートフォリオの市場リスクに及ぼす影響を示すために使用できます。これは、資産の分散不可能なリスク、システマティックリスク、または市場リスクを指します。ベータは、固有リスクの尺度ではありません。

ベータは、株式市場に対する投資のヘッジ比率です。たとえば、市場ベータが 2.0 の株式の市場リスクをヘッジするには、投資家は株式に投資した 1,000 ドルごとに株式市場で 2,000 ドルを空売りします。このようにして保証され、株式市場全体の動きが平均して合計ポジションに影響を与えることはなくなります。ベータは、分散化によって軽減されなかった市場ポートフォリオのリスクに対する個々の投資の寄与を測定します。投資が単独で保持される場合のリスクを測定するものではありません。

資産のベータは、市場全体、通常はS&P 500と比較されます。定義により、時価総額加重市場指数に対するすべての投資可能資産のすべての市場ベータの時価総額加重平均は1 です。資産のベータが 1 を超える場合、そのリターンは平均して市場ポートフォリオのリターンと 1 対 1 を超えて変動することを示します。つまり、市場よりも変動が大きいということです。実際には、マイナスのベータ (市場が下落すると上昇する傾向がある) を持つ株式はほとんどありません。ほとんどの株式のベータは 0 から 3 の間です。^[1]

ほとんどの債券商品と商品はベータが低いかゼロになる傾向があり、コール オプションはベータが高くなる傾向があり、プット オプションとショート ポジション、および一部のインバース ETF はベータがマイナスになる傾向があります。

時々観察される資産の市場ベータは、資産の収益率と（通常は時価総額加重の）株式市場指数の収益率との線形回帰によって定義されます（また、線形回帰によって最もよく得られます）。 ${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle t}$${\displaystyle r_{i,t}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle r_{m,t}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle r_{i,t}=\alpha _{i}+\beta _{i}\cdot r_{m,t}+\varepsilon _{t}}$

ここで、 は二乗誤差が最小化されるべき不偏誤差項です。この係数はアルファと呼ばれることが多いです。 ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$

通常の最小二乗解は次のようになります。

${\displaystyle \beta _{i}={\frac {\operatorname {Cov} (r_{i},r_{m})}{\operatorname {Var} (r_{m})}},}$

ここで、 および は共分散演算子と分散演算子です。異なる市場指数に関するベータは比較できません。 ${\displaystyle \operatorname {Cov} }$${\displaystyle \operatorname {Var} }$

標準偏差と分散の関係、および相関の定義を使用すると、市場ベータは次のように表すこともできます。 ${\displaystyle \sigma \equiv {\sqrt {\operatorname {Var} (r)}}}$ ${\displaystyle \rho _{a,b}\equiv {\frac {\operatorname {Cov} (r_{a},r_{b})}{\sqrt {\operatorname {Var} (r_{a})\operatorname {Var} (r_{b})}}}}$

${\displaystyle \beta _{i}=\rho _{i,m}{\frac {\sigma _{i}}{\sigma _{m}}}}$、

ここで、は 2 つのリターンの相関関係、 およびはそれぞれのボラティリティです。この式は、固有リスク ( ) が市場ベータと関連しているものの、非常に異なることが多いことを示しています。固有リスクが 0 (つまり、株式リターンが変動しない) の場合、市場ベータも 0 になります。逆は当てはまりません。コイントス賭けのベータは 0 ですが、リスクは 0 ではありません。 ${\displaystyle \rho _{i,m}}$${\displaystyle \sigma _{i}}$${\displaystyle \sigma _{m}}$${\displaystyle \sigma _{i}}$

3 つの成分を個別に推定する試みがなされてきましたが、これによって市場ベータのより正確な推定は得られませんでした。

投資家が全資金を市場に投資しており、少額を資産クラスに移したいとします。新しいポートフォリオは次のように定義されます。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle r_{p}=(1-\delta )r_{m}+\delta r_{i}.}$

分散は次のように計算できる。

${\displaystyle \operatorname {Var} (r_{p})=(1-\delta )^{2}\operatorname {Var} (r_{m})+2\delta (1-\delta )\operatorname {Cov} (r_{m},r_{i})+\delta ^{2}\operatorname {Var} (r_{i}).}$

の値が小さい場合、 の項は無視できる。 ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta ^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (r_{p})\approx (1-2\delta )\operatorname {Var} (r_{m})+2\delta \operatorname {Cov} (r_{m},r_{i}).}$

この 定義を使うと${\displaystyle \beta _{i}=\operatorname {Cov} (r_{m},r_{i})/\operatorname {Var} (r_{m}),}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (r_{p})/\operatorname {Var} (r_{m})\approx 1+2\delta (\beta _{i}-1).}$

これは、1 より大きい資産はポートフォリオの分散を増加させ、 1 未満の資産は少量追加する と分散を減少させることを示しています。${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$

市場ベータは加重、平均、加算などが可能です。つまり、ポートフォリオが資産 A 80%、資産 B 20% で構成されている場合、ポートフォリオのベータは資産 A のベータの 80% 倍と資産 B のベータの 20% 倍になります。

${\displaystyle r_{p}=w_{a}\cdot r_{a}+w_{b}\cdot r_{b}\Rightarrow \beta _{p,m}=w_{a}\cdot \beta _{a,m}+w_{b}\cdot \beta _{b,m}.}$

実際には、広範な時価総額加重市場指数は密接に連動する傾向があるため、指数の選択は個々の資産の市場ベータに比較的小さな影響しか与えません。学者は、魅力的な集約特性と資本資産価格モデル（CAPM）との密接な関係から、時価総額加重市場ポートフォリオを好む傾向があります。^[2]実務家は、S&P 500が適時に簡単に入手でき、株価指数先物でヘッジできるため、 S&P 500を好む傾向があります。

理想的なCAPMでは、ベータリスクは、投資家がリスクフリー金利よりも高い期待収益を受け取るべき唯一のリスクです。^[3] CAPMの文脈内で使用される場合、ベータは適切な期待収益率の尺度になります。企業全体の収益率は負債と株式の加重収益率であるため、レバレッジのない企業全体の市場ベータは、企業の負債ベータ（多くの場合0に近い）とレバレッジをかけた株式ベータの加重平均です。

ファンド管理では、市場へのエクスポージャーを調整すると、ファンドマネージャーが市場への特定のエクスポージャーを持っていたと仮定して受け取るべきだった要素が分離されます。たとえば、ある年に株式市場が 20% 上昇し、マネージャーが市場ベータ 2.0 のポートフォリオを持っていたとすると、特定の株式選択スキルがなければ、このポートフォリオは 40% の収益を上げていたはずです。これは、ベータを一定に保ったまま、市場モデルの アルファによって測定されます。

場合によっては、市場ベータ以外のベータが使用されることもあります。裁定価格理論(APT) のモデルには複数の要因があるため、複数のベータが必要です。( CAPM には、市場全体という 1 つのリスク要因しかないため、単純なベータのみで機能します。) たとえば、石油価格の変化に関するベータは、違いを明確にするために、「市場ベータ」ではなく「石油ベータ」と呼ばれることがあります。

投資信託の分析でよく引用されるベータは、株式市場全体ではなく、特定のファンドのベンチマークへのエクスポージャーを測定することが多い。このようなベータは、特定のファンドを市場のポートフォリオに追加するリスクではなく、投資信託のベンチマークポートフォリオの保有者に特定のファンドを追加することによるリスクを測定するものである。^[4]

公益事業株は、一般的に低ベータの例として挙げられます。これらは、安定した配当を支払う傾向があり、見通しが経済サイクルに大きく左右されないという点で、債券と類似しています。これらは依然として株式であるため、市場価格は、たとえそれが理にかなっていないとしても、株式市場全体の動向の影響を受けます。

外国株はある程度の分散化をもたらす可能性がある。S &P Global 100などの世界ベンチマークは、S&P 100などの米国のみのベンチマークよりもベータがわずかに低い。しかし、この効果は以前ほど良くはなく、さまざまな市場、特に米国と西ヨーロッパはかなり相関している。^{[引用が必要]}

デリバティブは非線形資産の例です。ベータは線形モデルに依存しますが、アウト オブ ザ マネー オプションは明らかに非線形のペイオフを持ちます。これらの場合、オプションの価格の変化は、その原資産の価格の変化に対して一定ではありません。(ボラティリティ、満期までの時間、 その他の要因についても当てはまりますが、ここではそれほど顕著ではありません。) したがって、ここでの「ベータ」は、従来の方法で計算すると、原資産の価格が変化すると常に変化します。

これを考慮して、数理ファイナンスでは特定のボラティリティベータを定義しています。 ^[5] ここで、上記と同様に、このベータはデリバティブのリターンと原資産の価値の変化との間の共分散を表し、さらに瞬間的な原資産の変化に対する修正を加えています。ボラティリティ（ファイナンス）、ボラティリティリスク、ギリシャ語（ファイナンス）§ベガを参照してください。

真のベータ (資産収益率と市場の間の真の期待関係を定義する) は、過去の収益率に基づいており、一連の可能な株式収益実現のうちの 1 つの特定の履歴のみを表す実現ベータとは異なります。真の市場ベータは、無限に多くのドローが観察された場合の平均的な結果です。平均すると、実現市場ベータの最良の予測は、真の市場ベータの最良の予測でもあります。

市場ベータの推定者は、2 つの重要な問題に取り組まなければなりません。第 1 に、基礎となる市場ベータは時間の経過とともに変化することが知られています。第 2 に、投資家は、過去の市場ベータではなく、最も可能性の高い将来のベータ実現を示す真の現行ベータの最良の予測に関心があります。

これらの問題にもかかわらず、過去のベータ推定量は依然として明らかなベンチマーク予測量です。これは、線形最小二乗推定量から近似直線の傾きとして得られます。OLS 回帰は、1～5 年分の日次、週次、または月次株式リターンで推定できます。選択は、ベータ測定の精度 (定期的な測定期間が長く、年数が長いほど、より正確な結果が得られます) と、過去の企業ベータの経時的変化 (たとえば、販売製品や顧客の変更による) の間のトレードオフによって決まります。

その他のベータ推定量は、ベータ（収益率など）が平均値に回帰する傾向を反映しており、測定誤差だけでなく、真のベータの根本的な変化や過去のランダム性によっても引き起こされます。（直感的には、昨年の収益率が高かった企業（例えば、新薬の発見）が来年も同じくらい高い収益率になるとは思わないでしょう。）このような推定量には、Blume/Bloombergベータ^[6]（多くの金融ウェブサイトでよく使用されます）、Vasicekベータ、^[7]、 Scholes–Williamsベータ、^[8]、 Dimsonベータ、^[9]、Welchベータ^{[10]などがあります。}

• ブルームベータは、 推定 OLS ベータを平均 1 に縮小し、過去の OLS ベータの 2/3 倍に 1/3 を加えた加重平均を計算します。月次収益率に基づくバージョンは、Capital IQ によって広く配布されており、すべての金融 Web サイトで引用されています。これは、将来の市場ベータをあまり予測しません。 ^{[引用が必要]}
• Vasicek ベータは、株式のボラティリティと市場全体のベータの異質性によって、過去の OLS ベータと数値 1 (またはポートフォリオがバリュー加重されていない場合は平均市場ベータ) の間の重みを変化させます。これは、基礎となる市場ベータが動かないという (違反した) 仮定の下での最適なベイズ推定値と見なすことができます。実装はやや困難です。OLS ベータよりもやや優れたパフォーマンスを発揮します。^{[引用が必要]}
• ショールズ・ウィリアムズ ベータとディムソン ベータは、取引頻度の低さが相場価格の非同期化の原因となることを考慮した推定値です。株価が終値で簡単にアナリストに公開される場合 (米国など) は、取引が適度に同期化されている場合に効率性の低下を招くため、これらの推定値はほとんど役に立ちません。ただし、頻繁な取引が見られない場合 (プライベート エクイティなど) や、取引活動がまれな市場では非常に役立ちます。
• ウェルチのベータは、日次株式リターンを同時期の日次市場リターンの -2 倍から 4 倍の範囲内に制限する、傾きウィンザライズされたベータ推定量です。株式の傾きウィンザライズされた日次リターンは に従い、ベータ推定値を -2 から 4 の間に制限します。ベータは、傾きウィンザライズされた日次株式リターンと市場リターンの加重最小二乗法 (WLS) 推定値を使用して推定されます。これは、市場ベータとヘッジの将来の実現を予測する上で、OLS ベータ、Blume ベータ、Vasicek ベータ、および Dimson ベータよりも優れています。${\displaystyle {\text{rsw}}_{i,d}\in (-2\cdot r_{m,d},4\cdot r_{m,d})}$

これらの推定値は、現在の市場ベータを明らかにしようとします。長期的な市場ベータが必要な場合は、長期にわたる平均へのさらなる回帰を考慮する必要があります。

• Bodie, Z.; Kane, A.; Marcus, AJ (2019)「効率的な分散投資」。投資の基礎（第11版）。McGraw Hill。pp. 145–191。ISBN 978-1-260-01392-4。

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