点から平面までの距離

ユークリッド空間では、点から平面までの距離は、与えられた点と平面上のその直交投影との間の距離、つまり平面上の最も近い点までの 垂直距離です。

これは、変数の変更によって原点を指定された点と一致させ、次にシフトした平面上で 原点に最も近い点を見つけることで見つけることができます。結果として得られる点は、直交座標を持ちます。 ${\displaystyle ax+by+cz=d}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle \displaystyle x={\frac {ad}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle y={\frac {bd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle z={\frac {cd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$。

原点と点の間の距離はです。 ${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

平面上で点 ( ) に最も近い点を見つけたいとします。ここで、平面は で与えられます。 、、、を定義して、を変換された変数で表される平面 として求めます。ここで、問題は、この平面上で原点に最も近い点と、その原点からの距離を求めることです。平面上の元の座標での点は、この点から、と の間、と の間、と の間の上記の関係を使用して求めることができます。元の座標での距離は、修正された座標での距離と同じです。 ${\displaystyle X_{0},Y_{0},Z_{0}}$${\displaystyle aX+bY+cZ=D}$${\displaystyle x=X-X_{0}}$${\displaystyle y=Y-Y_{0}}$${\displaystyle z=Z-Z_{0}}$${\displaystyle d=D-aX_{0}-bY_{0}-cZ_{0}}$${\displaystyle ax+by+cz=d}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle Z}$

原点に最も近い点の式は、線形代数の表記法を使用してより簡潔に表現できます。平面の定義の式はドット積であり、解に現れる式は2乗ノルムです。したがって、が与えられたベクトルである場合、平面は、 のベクトルの集合として記述でき、この平面上の原点に最も近い点はベクトルです。 ${\displaystyle ax+by+cz}$ ${\displaystyle (a,b,c)\cdot (x,y,z)}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ ${\displaystyle |(a,b,c)|^{2}}$${\displaystyle \mathbf {v} =(a,b,c)}$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =d}$

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\mathbf {v} d}{|\mathbf {v} |^{2}}}}$. ^{[1] [2]}

原点から平面までの ユークリッド距離はこの点のノルムであり、

${\displaystyle {\frac {|d|}{|\mathbf {v} |}}={\frac {|d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$。

座標またはベクトルのどちらの定式化でも、点を平面の方程式に代入することで、与えられた点が与えられた平面上にあることを確認できます。

平面上で原点に最も近い点であることを確認するには、 が平面を定義するベクトルのスカラー倍であり、したがって平面に直交していることに注目してください。したがって、が平面上の点以外の任意の点である場合、原点から への線分と から への線分は直角三角形を形成し、ピタゴラスの定理により、原点から までの距離は ${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\sqrt {|\mathbf {p} |^{2}+|\mathbf {p} -\mathbf {q} |^{2}}}}$。

は正の数でなければならないので、この距離は原点からまでの距離よりも大きくなります。^[2]${\displaystyle |\mathbf {p} -\mathbf {q} |^{2}}$${\displaystyle |\mathbf {p} |}$${\displaystyle \mathbf {p} }$

あるいは、平面の方程式を、元の とのドット積 の代わりに とのドット積 を使って書き直すことも可能です（これら2つのベクトルは互いのスカラー倍であるため）。その後、 が最も近い点であるという事実は、コーシー・シュワルツの不等式から直接導かれる結果になります。^[1]${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$

法線ベクトルを持つ点を通る-次元ユークリッド空間の超平面のベクトル方程式は、またはである。^[3] 対応する直交座標形式は、である。^[3]${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {a} \neq \mathbf {0} }$${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} =0}$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {a} =d}$${\displaystyle d=\mathbf {p} \cdot \mathbf {a} }$${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=d}$${\displaystyle d=\mathbf {p} \cdot \mathbf {a} =a_{1}p_{1}+a_{2}p_{2}+\cdots a_{n}p_{n}}$

この超平面上の任意の点に最も近い点は ${\displaystyle \mathbf {y} }$

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {y} -\left[{\dfrac {(\mathbf {y} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} }{\mathbf {a} \ cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a} =\mathbf {y} -\left[{\dfrac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d}{\mathbf {a } \cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a} }$

そして超平面から の距離は${\displaystyle \mathbf {y} }$

${\displaystyle \left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|=\left\|\left[{\dfrac {(\mathbf {y} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} }{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a} \right\|={\dfrac {\left|(\mathbf {y} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} \right|}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\dfrac {\left|\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d\right|}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}}$^[3 ]

デカルト座標で書くと、最も近い点は次 のように表される。${\displaystyle x_{i}=y_{i}-ka_{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle k={\dfrac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d}{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\dfrac {a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+\cdots a_{n}y_{n}-d}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots a_{n}^{2}}}}$、

そして超平面から の距離は${\displaystyle \mathbf {y} }$

${\displaystyle {\dfrac {\left|a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+\cdots a_{n}y_{n}-d\right|}{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots a_{n}^{2}}}}}$。

したがって、任意の点に最も近い平面上の点は次のように表される 。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle ax+by+cz=d}$${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}$${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}x=x_{1}-ka\\y=y_{1}-kb\\z=z_{1}-kc\end{array}}\right\}}$

どこ

${\displaystyle k={\dfrac {ax_{1}+by_{1}+cz_{1}-d}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$、

そして点から平面までの距離は

${\displaystyle {\dfrac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}-d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$。

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