横断的（幾何学）

幾何学において、横断線とは、同一平面上の 2 本の線 を2 つの異なる点で通過する線です。横断線は、ユークリッド平面上の 2 本以上の他の線が平行であるかどうかを判断する際に役立ちます。横断線と 2 本の線との交点により、連続する内角、連続する外角、対応する角、交互の角など、さまざまな種類の角度のペアが作成されます。ユークリッドの平行公理の結果として、2 本の線が平行である場合、連続する内角は補角であり、対応する角は等しく、交互の角は等しくなります。

左上のグラフに示すように、横断線は 8 つの角度を生成します。

• 4 2つの線、すなわちα、β、γ、δのそれぞれと、次にα ₁、β ₁、γ ₁、δ ₁と、
• そのうち 4 つは内部(2 本の線の間) にあり、すなわち α、β、γ ₁、δ _{1 で}、残りの 4 つは外部にあり、すなわち α ₁、β ₁、γ、δ です。

2本の平行線を直角に切る横断線は垂直横断線と呼ばれます。この場合、8つの角度はすべて直角です^[1]

線が平行である場合（よく考慮されるケース）には、交差線によって複数の合同な 補角が生じる。これらの角のペアには特定の名前が付けられており、以下で説明する対応角、交互角、連続角などがある。^{[2] [3] ：第87条}

交互角とは、次の 4 組の角度のことです。

• 明確な頂点を持ち、
• 横断面の反対側に位置し、
• 両方の角度が内角であるか、両方の角度が外角であるか。

1 組の 2 つの角度が合同 (大きさが等しい) であれば、他の組の角度もすべて合同です。

絶対幾何学の定理であるユークリッドの原論の命題 1.27 (したがって双曲幾何学とユークリッド幾何学の両方で有効) は、交差線の交互角のペアの角度が等しい場合、2 つの線は平行 (交差しない) であることを証明しています。

ユークリッドの平行公理によれば、2 本の線が平行であれば、交差線の交互角のペアの角度は一致する (ユークリッドの『原論』の命題 1.29 )。

対応する角度とは、次の 4 つの角度のペアです。

• 明確な頂点を持ち、
• 横断面の同じ側に位置し、
• 1 つの角度は内部で、もう 1 つの角度は外部です。

2 本の線が平行となるのは、任意の交差線の対応する角度の任意のペアの 2 つの角度が合同 (大きさが等しい) である場合のみです。

絶対幾何学の定理であるユークリッドの原論の命題 1.28 (したがって双曲幾何学とユークリッド幾何学の両方で有効) は、交差線の対応する角度のペアの角度が合同である場合、2 つの線分は平行 (交差しない) であることを証明しています。

ユークリッドの平行公理によれば、2 本の線が平行であれば、交差線の対応する 2 つの角度は等しい (ユークリッドの『原論』の命題 1.29 )。

対応する角度の 1 つのペアの角度が一致する場合、他の各ペアの角度も一致します。このページの平行線を含むさまざまな画像では、対応する角度のペアは、 α=α ₁、 β=β ₁、 γ=γ ₁、 δ=δ ₁です。

連続する内角とは、次の2組の角のことである: ^{[4] [2]}

• 明確な頂点を持ち、
• 横断面の同じ側に位置し、
• どちらもインテリアです。

2 本の線が平行となるのは、任意の交差線の連続する内角のペアの 2 つの角度が補角（合計が 180°）である場合のみです。

絶対幾何学の定理であるユークリッドの『原論』の命題 1.28 (したがって双曲幾何学とユークリッド幾何学の両方で有効) は、連続する 2 つの内角の角度が補角である場合、2 つの線は平行 (交差しない) であることを証明しています。

ユークリッドの平行公理によれば、2 本の線が平行であれば、交差線の連続する 2 つの内角の角度は補角となる (ユークリッドの『原論』の命題 1.29 )。

連続する内角の 1 組が補角である場合、他の 1 組も補角です。

一般的な位置にある三角形を形成する 3 本の線を横断線で切断すると、結果として得られる 6 つの線分の長さはメネラウスの定理を満たします。

ユークリッドの平行線公理の定式化は、横断線の観点から述べることができる。具体的には、横断線の同じ側にある内角が 2 つの直角より小さい場合、線は必ず交差する。実際、ユークリッドはギリシャ語で「横断線」と訳される同じフレーズを使用している。^{[5] : 308、nfote 1}

ユークリッドの命題 27 は、交差線が 2 本の直線と交わり、交互の内角が合同である場合、その直線は平行であると述べています。ユークリッドはこれを背理法で証明しています。直線が平行でない場合は、必ず交わり、三角形が形成されます。この場合、交互の角の 1 つは、三角形の反対側の内角であるもう 1 つの角と等しい外角です。これは、三角形の外角は常に反対側の内角よりも大きいという命題 16 と矛盾しています。^{[5] : 307  [3] : 88 条}

ユークリッドの命題 28 は、この結果を 2 つの方法で拡張します。第 1 に、交差線が 2 本の直線と交差し、対応する角が一致する場合、その直線は平行です。第 2 に、交差線が 2 本の直線と交差し、交差線の同じ側にある内角が補角である場合、その直線は平行です。これらは、交差する直線の反対角は等しい (命題 15) という事実と、直線上の隣接する角は補角である (命題 13) という事実を適用することで、前の命題から導き出されます。プロクロスが指摘したように、ユークリッドは平行線に関する 6 つの可能な基準のうち 3 つだけを示しています。^{[5] : 309–310  [3] : 89-90 条}

ユークリッドの命題 29 は、前の 2 つの命題の逆である。まず、交差線が 2 本の平行線と交わる場合、交互の内角は合同である。そうでない場合、一方が他方よりも大きいため、その補角は他方の角の補角よりも小さい。これは、交差線の同じ側に 2 直角未満の内角があることを意味し、第 5 公準に反する。命題は、2 本の平行線の交差線上では対応する角が合同であり、同じ側の内角は 2 直角に等しいと述べることで続く。これらの記述は、命題 28 が命題 27 から導かれるのと同じように導かれる。^{[5] : 311–312  [3] : 93-95 条}

ユークリッドの証明では第 5 公準が基本的に使用されているが、現代の幾何学の扱いでは代わりにプレイフェアの公理が使用されている。プレイフェアの公理を前提として命題 29 を証明するには、交差線が 2 本の平行線を横切り、交互の内角が等しくないと仮定する。交差線が最初の線と交差する点を通る 3 本目の線を引くが、その角度は交差線が 2 本目の線となす角度に等しい。これにより、1 つの点を通る 2 本の異なる線が生成され、どちらも別の線と平行になり、公理に矛盾する。^{[5] : 313  [6]}

高次元空間では、一連の直線のそれぞれと異なる点で交差する直線は、その一連の直線の横断線です。2 次元 (平面) の場合とは異なり、2 つ以上の直線の集合では横断線が存在するとは限りません。

ユークリッド 3 次元空間では、レグルスは斜めの直線Rの集合であり、 Rの各直線上の各点にはRの横断線が通り、 Rの横断線の各点にはRの直線が通ります。レグルスRの横断線の集合もレグルスであり、反対のレグルス R o と呼ばれます。この空間^では、互いに斜めの 3 本の直線は常にレグルスに延長できます。