デミング回帰

統計学において、W・エドワーズ・デミングにちなんで名付けられたデミング回帰は、 2次元データセットに対して最適な回帰直線を求める誤差変数モデルです。単純線形回帰とは異なり、x軸とy軸の両方の観測値における誤差を考慮します。これは全最小二乗法の特殊なケースであり、任意の数の予測変数とより複雑な誤差構造を許容します。

デミング回帰は、2 つの変数の誤差が独立で正規分布に従うと仮定され、それらの分散の比δが既知である誤差変数モデルの最尤推定に相当します。 ^{[ 1 ]}実際には、この比は関連するデータソースから推定される可能性がありますが、回帰手順では、この比の推定における可能性のある誤差は考慮されません。

デミング回帰は、単純線形回帰よりも計算がわずかに難しいだけです。臨床化学で使用されるほとんどの統計ソフトウェアパッケージには、デミング回帰機能が備わっています。

このモデルは、もともとδ = 1の場合を考察したAdcock (1878)によって導入され、その後、任意のδでより一般的にKummell (1879)によって導入されました。しかし、彼らのアイデアは、Koopmans (1936)によって復活し、後にDeming (1943)によってさらに広められるまで、50 年以上もの間ほとんど注目されませんでした。後者の本は臨床化学や関連分野で非常に人気を博し、その分野ではこの方法はDeming 回帰と呼ばれるようになりました。^{[ 2 ]}  

利用可能なデータ（y _i、x _i ）は、回帰直線上にある「真の」値（y _i *、x _i * ）の測定観測値であると仮定します。

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{i}&=y_{i}^{*}+\varepsilon _{i},\\x_{i}&=x_{i}^{*}+\eta _{i},\end{aligned}}}$

ここで、誤差εとηは互いに独立しており、それらの分散比は既知であると仮定する。

${\displaystyle \delta ={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{\sigma _{\eta }^{2}}}.}$

実際には、${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$パラメータは不明な場合が多く、推定が複雑になる。${\displaystyle \delta }$測定方法の際には、${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$が同じであれば、これらの分散は等しくなる可能性が高いので、${\displaystyle \delta =1}$この場合は。

私たちは「最適な」線を見つけようとしています

${\displaystyle y^{*}=\beta _{0}+\beta _{1}x^{*},}$

モデルの残差の二乗の加重和が最小になるように: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle SSR=\sum _{i=1}^{n}{\bigg (}{\frac {\varepsilon _{i}^{2}}{\sigma _{\varepsilon }^{2}}}+{\frac {\eta _{i}^{2}}{\sigma _{\eta }^{2}}}{\bigg )}={\frac {1}{\sigma _{\epsilon }^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\Big (}(y_{i}-\beta _{0}-\beta _{1}x_{i}^{*})^{2}+\delta (x_{i}-x_{i}^{*})^{2}{\Big )}\ \to \ \min _{\beta _{0},\beta _{1},x_{1}^{*},\ldots ,x_{n}^{*}}SSR}$

詳しい導出については、Jensen (2007)を参照のこと。

解は2次標本モーメントを用いて表現できる。すなわち、まず以下の量を計算する（すべての和はi  =  1からnまでである）。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {x}}&={\tfrac {1}{n}}\sum x_{i}&{\overline {y}}&={\tfrac {1}{n}}\sum y_{i},\\s_{xx}&={\tfrac {1}{n}}\sum (x_{i}-{\overline {x}})^{2}&&={\overline {x^{2}}}-{\overline {x}}^{2},\\s_{xy}&={\tfrac {1}{n}}\sum (x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})&&={\overline {xy}}-{\overline {x}}\,{\overline {y}},\\s_{yy}&={\tfrac {1}{n}}\sum (y_{i}-{\overline {y}})^{2}&&={\overline {y^{2}}}-{\overline {y}}^{2}.\end{aligned}}\,}$

最後に、モデルのパラメータの最小二乗推定値は^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\beta }}_{1}={\frac {s_{yy}-\delta s_{xx}+{\sqrt {(s_{yy}-\delta s_{xx})^{2}+4\delta s_{xy}^{2}}}}{2s_{xy}}},\\&{\hat {\beta }}_{0}={\overline {y}}-{\hat {\beta }}_{1}{\overline {x}},\\&{\hat {x}}_{i}^{*}=x_{i}+{\frac {{\hat {\beta }}_{1}}{{\hat {\beta }}_{1}^{2}+\delta }}(y_{i}-{\hat {\beta }}_{0}-{\hat {\beta }}_{1}x_{i}).\end{aligned}}}$

誤差分散が等しい場合、つまり、${\displaystyle \delta =1}$デミング回帰は直交回帰となり、データ点から回帰直線までの垂直距離の二乗和を最小化します。この場合、各観測値を点として表します。${\displaystyle z_{j}=x_{j}+iy_{j}}$複素平面（つまり点）において${\displaystyle (x_{j},y_{j})}$どこ${\displaystyle i}$は虚数単位である。と表記する。${\displaystyle S=\sum {(z_{j}-{\overline {z}})^{2}}}$データ点と重心との差の二乗の合計${\displaystyle {\overline {z}}={\tfrac {1}{n}}\sum z_{j}}$（複素座標でも表記される）は、水平方向と垂直方向の位置がデータ点のそれらの平均である点です。すると：^{[ 5 ]}

• もし${\displaystyle S=0}$すると、重心を通るすべての直線は、最適な直交近似直線となる。
• もし${\displaystyle S\neq 0}$直交回帰直線は重心を通り、原点からのベクトルに平行である。${\displaystyle {\sqrt {S}}}$。

直交回帰直線の三角関数表現は、1913年にクーリッジによって与えられた。[ 6 ^]また、距離は、より一般的な直線の式を用いて計算することもできる。${\displaystyle y=mx+k}$。

幾何平均関数関係は、 δ = σ² _x / σ² _yのデミング回帰の一例です。これは、両方の変数が同じ信頼性、つまりσ _y / σ _ε = σ _x / σ _ηを持つと仮定しています。結果として得られる傾きは、通常の最小二乗傾きと逆最小二乗傾きの幾何平均であり、既存のツールを使用して簡単に計算できます。生物学での使用が推奨されています。^{[ 10 ]}この方法は、スケーリング、変換、および変数の交換に対して不変であり、この特性を持つ唯一の一次および二次モーメントに依存する方法です。^{[ 11 ]}

ヨーク回帰は、xとyの相関誤差を許容することでデミング回帰を拡張したものである。^{[ 12 ]}

• ラインフィッティング
• 回帰希釈

注記

参考文献

• Adcock, RJ (1878). 「最小二乗法の問題」 . The Analyst . 5 (2): 53–54 . doi : 10.2307/2635758 . JSTOR 2635758 . 
• Coolidge, JL (1913 ) . 「最小二乗法の2つの幾何学的応用」。アメリカ数学月報。20 ( 6): 187–190。doi : 10.2307/2973072。JSTOR 2973072。 
• Cornbleet, PJ; Gochman, N. (1979). 「不正確な最小二乗回帰係数」 . Clinical Chemistry . 25 (3): 432–438 . doi : 10.1093/clinchem/25.3.432 . PMID 262186 . 
• デミング、W.E.（1943）。データの統計的調整。ワイリー、ニューヨーク（ドーバー出版版、1985年）。ISBN 0-486-64685-8。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
• フラー、ウェイン A. (1987).測定誤差モデル. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社. ISBN 0-471-86187-1。
• Glaister, P. (2001). "最小二乗法の再考". The Mathematical Gazette . 85 : 104–107 . doi : 10.2307/3620485 . JSTOR 3620485. S2CID 125949467 .  
• ジェンセン、アンダース・クリスチャン (2007)。「デミング回帰、MethComp パッケージ」(PDF)。デンマーク、ゲントフテ：ステノ糖尿病センター。
• Koopmans, TC (1936).経済時系列の線形回帰分析. DeErven F. Bohn、ハーレム、オランダ。
• Kummell, CH (1879). 「複数の観測量を含む観測方程式の簡略化」 . The Analyst . 6 (4): 97–105 . doi : 10.2307/2635646 . JSTOR 2635646 . 
• Linnet, K. (1993). "方法比較研究のための回帰手順の評価" . Clinical Chemistry . 39 (3): 424–432 . doi : 10.1093/clinchem/39.3.424 . PMID 8448852 . 
• Minda, D. ; Phelps, S. (2008). "三角形、楕円、および3次多項式". American Mathematical Monthly . 115 (8): 679– 689. doi : 10.1080/00029890.2008.11920581 . MR 2456092 . S2CID 15049234 .  
• Quarton, TG (2020). "ゲノム編集されたヒト細胞株を用いたセントラルドグマに沿った遺伝子発現ノイズの分離" . Nucleic Acids Research . 48 (16): 9406– 9413. doi : 10.1093/nar/gkaa668 . PMC 7498316 . PMID 32810265 .