スロープ

数学において、直線の傾きまたは勾配は、平面上の直線の方向を表す数値です。^[1]多くの場合、文字mで表され、直線上の 2 つの異なる点間の垂直方向の変化と水平方向の変化の比率(「上昇 / 下降」)として計算され、どの点を選択しても同じ数値になります。

線は、道路測量士によって設定される物理的なもの、道路や屋根の図のように絵で描かれたもの、あるいは抽象的なものである場合がある。数学的概念の応用は、地理学や土木工学における勾配に見られる。

線の傾き、傾斜、または勾配は、その傾きの絶対値です。絶対値が大きいほど、線の傾きが急になります。線の傾向は次のように定義されます。

• 「増加」または「上昇」する線は左から右に上がり、正の傾きを持ちます。${\displaystyle m>0}$
• 「減少」または「下降」線は左から右に下がり、負の傾きを持ちます。${\displaystyle m<0}$

特別な指示は次のとおりです。

• 「（正方形）対角線」の線は、傾きが 1 です。${\displaystyle m=1}$
• 「水平」線（定数関数のグラフ）の傾きはゼロです。${\displaystyle m=0}$
• 「垂直」線は、定義されていないか、または無限の傾斜を持ちます (以下を参照)。

道路上の 2 点の標高がy ₁とy ₂の場合、勾配は差 ( y ₂ − y ₁ ) = Δ yです。地球の曲率を無視すると、 2 点が固定点から水平距離x ₁とx ₂にある場合、勾配は ( x ₂ − x ₁ ) = Δ xです。2 点間の勾配は差の比率です。

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

三角法では、直線の傾きmは、その傾斜角θと正接関数によって関係付けられる。

${\displaystyle m=\tan(\theta ).}$

したがって、45° の上昇線の傾きはm = +1 となり、45° の下降線の傾きはm = −1 となります。

これを一般化すると、微分積分は、ある点における平面曲線の傾きを、その点における接線の傾きとして定義します。曲線が一連の点で近似される場合、曲線の傾きは、 2 つの近くの点の間の割線の傾きで近似できます。曲線が代数式のグラフとして与えられる場合、微積分は各点における傾きの公式を与えます。したがって、傾きは微積分とその設計への応用における中心的な概念の 1 つです。

傾きを表すのに文字mが使われる理由については明確な答えはないようですが、英語でこの文字が最初に登場したのはオブライエン（1844）^[2]で、直線の方程式を「y = mx + b」と紹介した人物で、トッドハンター（1888）^[3]の「y = mx + c」にも見られます。^[4]

x軸とy軸を含む平面上の直線の傾きは、一般的に文字mで表され、^{[5]直線上の2つの異なる点間の}y座標の変化をx座標の対応する変化で割ったものとして定義されます。これは次の式で表されます。

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {{\text{垂直}}\,{\text{変化}}}{{\text{水平}}\,{\text{変化}}}}={\frac {\text{上昇}}{\text{上昇}}}.}$

(ギリシャ文字のデルタΔ は、数学では一般に「違い」や「変化」を意味するために使用されます。)

2 つの点とがある場合、一方から他方へのの変化は(増加)、 の変化は(増加)です。両方の量を上記の式に代入すると、次の式が生成されます。 ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{2}-x_{1}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y_{2}-y_{1}}$

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}}$

この式は、軸に平行な垂直線（ゼロ除算を参照）では成立しません。垂直線では、傾きが無限大とみなされるため、垂直線の傾きは未定義とみなされます。 ${\displaystyle y}$

2つの点P  = (1, 2)とQ = (13, 8)を通る線があるとします 。 -座標の差を-座標の差で割ると、線の傾きが得られます。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {8-2}{13-1}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}.}$

傾きが正なので、線の方向は増加しています。| m | < 1 なので、傾斜はそれほど急ではありません (傾斜 < 45°)。

別の例として、点(4, 15)と点(3, 21)を通る直線を考えてみましょう。この直線の傾きは

${\displaystyle m={\frac {21-15}{3-4}}={\frac {6}{-1}}=-6.}$

傾きが負なので、線の方向は下降しています。| m | > 1 なので、この下降はかなり急です (下降 > 45°)。

例えば、点（2,8）と点（3,20）を通る直線を考えてみましょう。この直線の傾きmは、

${\displaystyle {\frac {(20-8)}{(3-2)}}=12.}$

次に、点と傾きの形式で直線の方程式を書きます。

${\displaystyle y-8=12(x-2)=12x-24.}$

または：

${\displaystyle y=12x-16.}$

この直線がx軸 となす角度θは-90°から90°までの範囲で、

${\displaystyle \theta =\arctan(12)\approx 85.2^{\circ }.}$

2 つの直線y = −3 x + 1とy = −3 x − 2を考えます。どちらの直線も傾きはm = −3です。これらは同じ直線ではありません。したがって、これらは平行線です。

2つの直線 y = −3 x + 1とy = ⁠ を考える。x/3⁠ − 2。最初の直線の傾きはm ₁ = −3。2 番目の直線の傾きはm ₂ = ⁠1/3⁠。これら 2 つの傾きの積は -1 です。したがって、これら 2 つの線は垂直です。

統計学では、与えられたデータサンプルに対する最小二乗回帰の 最も適合する直線の勾配は次のように表されます。

${\displaystyle m={\frac {rs_{y}}{s_{x}}}}$、

この量mは直線の回帰傾きと呼ばれます。量はピアソンの相関係数、はy値の標準偏差、はx値の標準偏差です。これは共分散比として書くこともできます：^[6]${\displaystyle y=mx+c}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s_{y}}$${\displaystyle s_{x}}$

${\displaystyle m={\frac {\operatorname {cov} (Y,X)}{\operatorname {cov} (X,X)}}}$

傾きの概念は微分積分学の中心です。非線形関数の場合、変化率は曲線に沿って変化します。ある点における関数の導関数は、その点における曲線の接線の傾きであり、したがってその点における関数の変化率に等しくなります。

曲線上の2点間の 距離をΔ xとΔ yとすると（それぞれx軸とy軸に沿った距離）、上記の定義で与えられる傾きは、

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$、

曲線に対する 割線の傾きです。直線の場合、任意の 2 点間の割線は直線そのものです。ただし、他の種類の曲線の場合はそうではありません。

たとえば、y = x ²と交差する(0,0) と (3,9) の割線の傾きは 3 です。 ( x = 3 ⁄ 2での接線の傾きも 3 − 平均値定理の結果です。)

2 つの点を近づけて Δ yと Δ x が減少すると、割線は曲線の接線に近づき、そのため割線の傾きは接線の傾きに近づきます。微分積分を使用すると、極限、つまり Δ yとΔ x が0に近づくにつれてΔ y /Δ xが近づく値を決定することができます。したがって、この極限は接線の正確な傾きになります。yがxに依存する場合は、 Δ xのみが 0 に近づく極限を取れば十分です。したがって、接線の傾きは、 Δ x が0 に近づくときの Δ y /Δ xの極限、つまり d y /d xです。この極限を導関数と呼びます。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

関数上の特定の点における導関数の値は、その正確な位置における接線の傾きを示します。たとえば、y = x ²とします。この関数上の点は (−2,4) です。この関数の導関数はd y ⁄ d x = 2 xです。したがって、 (−2,4) におけるyの接線の傾きは2 ⋅ (−2) = −4です。この接線の方程式は、y − 4 = (−4)( x − (−2))またはy = −4 x − 4です。

角度の考え方の拡張は傾斜の差から導かれる。せん断写像を考える。

${\displaystyle (u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}.}$

はにマッピングされます。 の傾きは0 で、 の傾きはです。 せん断マッピングにより の傾きが追加されました。 上の 2 つの点が傾き と である場合、画像 ${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle (1,v)}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle (1,v)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \{(1,y):y\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle (1,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}=(1,y+v)}$

の傾きは だけ増加しますが、傾きの差はせん断の前後で同じです。この傾きの差の不変性により、傾きは角度不変測度となり、円角（回転に対して不変）や双曲角と同等となり、スクイーズ写像の不変群 を持ちます。^{[7] [8]}${\displaystyle v}$${\displaystyle nm}$

屋根の傾斜は、伝統的に一般的に屋根勾配と呼ばれ、米国の大工や建築では、イギリス帝国単位系の名残である 1 フィートの整数分数 (幾何正接、高さ÷長さ) で表されます。他の地域では、同様の慣例に従って他の単位が使用されています。詳細については、屋根勾配を参照してください。

道路や鉄道の勾配を表す一般的な方法は 2 つあります。1 つは 0° から 90° の角度 (度単位) で表す方法で、もう 1 つは勾配をパーセンテージで表す方法です。急勾配鉄道およびラック式鉄道も参照してください。

パーセンテージで与えられた傾斜を度単位の角度に変換したり、その逆を行ったりする式は次のとおりです。

${\displaystyle {\text{角度}}=\arctan \left({\frac {\text{傾き}}{100\%}}\right)}$（これは正接の逆関数です。三角法を参照してください）

そして

${\displaystyle {\mbox{傾き}}=100\%\times \tan({\mbox{角度}}),}$

ここで、角度は度数で表され、三角関数は度数で動作します。たとえば、傾斜が 100 %または 1000 ‰の場合、角度は 45° になります。

3 つ目の方法は、1 単位の上昇を 10、20、50、または 100 の水平単位で指定することです (例: 1:10)。1:20、1:50、または 1:100 (または「1分の10」、「1 分の20」など)。1:10 は 1:20 よりも急勾配です。たとえば、20% の勾配は 1:5 または 11.3° の傾斜を意味します。

道路や鉄道には縦断勾配と横断勾配があります。

• 
  オランダの斜面警告標識
• 
  ポーランドの斜面警告標識
• 
  20 ‰の勾配を持つ全長1371メートルの鉄道。チェコ共和国
• 
  イギリス、メオルズ駅にある、両方向の傾斜を示す蒸気時代の鉄道勾配標識

傾斜や勾配の概念は、数学における他の応用を開発するための基礎としても使用されます。

• 勾配降下法、関数の最小値を見つけるための一次反復最適化アルゴリズム
• 勾配定理、勾配場を通る線積分は、曲線の端点で元のスカラー場を評価することによって評価できるという定理
• 勾配法、現在の点における関数の勾配によって定義される探索方向を持つ問題を解くアルゴリズム
• 共役勾配法、特定の線形方程式系の数値解法のアルゴリズム
• 非線形共役勾配法は、共役勾配法を非線形最適化に一般化したものである。
• 確率的勾配降下法、微分可能な目的関数を最適化するための反復法

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• 「直線の傾き（座標幾何学）」。Math Open Reference。2009年。 2016年10月30日閲覧。相互の作用