パリティ（物理学）

スカラー、擬スカラー、ベクトル、擬ベクトルの上記の分類を別の方法で記述するには、各オブジェクトが変換される表現空間を用いる方法がある。これは群準同型を用いて表すことができる。${\displaystyle \ \rho \ }$表現を定義する。${\displaystyle \ R\in {\text{O}}(3)\ ,}$

表現が制限されている場合${\displaystyle \ {\mathsf {SO}}(3)\ ,}$スカラーと擬似スカラーはどちらも同じように変換され、ベクトルと擬似ベクトルも同様です。

空間反転によって符号が反転する古典的な変数は、主にベクトルである。それらには以下が含まれる。

空間反転によって変化しない古典的な変数（主にスカラー量）には、以下のようなものがある。

量子力学では、時空変換が量子状態に作用する。パリティ変換は、${\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}}$は、一般に状態に対して作用するユニタリ演算子である。${\displaystyle \psi }$次のように：${\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}\,\psi {\left(r\right)}=e^{{i\phi }/{2}}\psi {\left(-r\right)}}$。

すると、${\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}^{2}\,\psi {\left(r\right)}=e^{i\phi }\psi {\left(r\right)}}$全体的な位相は観測できないため、演算子${\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}^{2}}$状態のパリティを2回反転させる は、時空を不変に保つため、位相によって固有状態を回転させる内部対称性である。${\displaystyle e^{i\phi }}$。 もし${\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}^{2}}$要素です${\displaystyle e^{iQ}}$位相回転の連続的な U(1) 対称群の場合、 ${\displaystyle e^{-iQ}}$これは U(1) の一部であり、したがって対称性でもある。特に、次のように定義できる。${\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}'\equiv {\hat {\mathcal {P}}}\,e^{-{iQ}/{2}}}$これも対称性なので、 と呼ぶことができます${\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}'}$パリティ演算子の代わりに${\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}}$。 ご了承ください${\displaystyle {{\hat {\mathcal {P}}}'}^{2}=1}$など${\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}'}$固有値を持つ${\displaystyle \pm 1}$固有値を持つ波動関数${\displaystyle +1}$パリティ変換の下では偶関数であり、固有値は${\displaystyle -1}$は奇関数に対応する。^{[ 1 ]}しかし、そのような対称群が存在しない場合、すべてのパリティ変換には、以外の位相である固有値が存在する可能性がある。${\displaystyle \pm 1}$。

電子波動関数では、偶数状態は通常、添え字 g でgerade (ドイツ語: 偶数) を表し、奇数状態は添え字 u でungerade (ドイツ語: 奇数) を表します。たとえば、水素分子イオン ( H + 2 )の最低エネルギー準位は次のように表記されます。${\displaystyle 1\sigma _{g}}$そして次に近い（より高い）エネルギー準位にはラベルが付けられています。${\displaystyle 1\sigma _{u}}$[ ^{2 ]​}

中心対称な外部ポテンシャル（空間反転に対して不変で、原点に対して対称なポテンシャルエネルギー）の中を移動する粒子の波動関数は、不変のままか符号が変化するかのどちらかである。これらの2つの可能な状態は、波動関数の偶状態または奇状態と呼ばれる。^{[ 3 ]}

粒子のパリティ保存の法則は、孤立した粒子の集合が明確なパリティを持つ場合、集合の進化の過程でパリティは不変であると述べている。しかし、弱い核相互作用がパリティを破るため、これは原子核のベータ崩壊には当てはまらない。^{[ 4 ]}

球対称な外部場を運動する粒子の状態のパリティは角運動量によって決定され、粒子の状態は全エネルギー、角運動量、角運動量の射影という3つの量子数によって定義される。^{[ 3 ]}

パリティがアーベル群を生成するとき${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$量子状態の線形結合は、パリティに関して偶数または奇数となるように常に取ることができます（図を参照）。したがって、そのような状態のパリティは±1です。多粒子状態のパリティは、各状態のパリティの積です。言い換えれば、パリティは乗法的な量子数です。

量子力学において、ハミルトニアンはパリティ変換の下で不変（対称）であるのは、${\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}}$ハミルトニアンと可換である。非相対論的量子力学では、これは任意のスカラーポテンシャルに対して起こる。${\displaystyle V=V{\left(r\right)}}$したがって、ポテンシャルは球対称である。以下の事実は容易に証明できる。

• もし${\displaystyle |\varphi \rangle }$そして${\displaystyle |\psi \rangle }$同じパリティを持つ場合、${\displaystyle \langle \varphi |{\hat {X}}|\psi \rangle =0}$どこ${\displaystyle {\hat {X}}}$は位置演算子です。
• 州にとって${\displaystyle {\bigl |}{\vec {L}},L_{z}{\bigr \rangle }}$軌道角運動量の${\displaystyle {\vec {L}}}$z軸投影${\displaystyle L_{z}}$、 それから${\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}{\bigl |}{\vec {L}},L_{z}{\bigr \rangle }=\left(-1\right)^{L}{\bigl |}{\vec {L}},L_{z}{\bigr \rangle }}$。
• もし${\displaystyle {\bigl [}{\hat {H}},{\hat {\mathcal {P}}}{\bigr ]}=0}$すると、原子双極子遷移は反対のパリティの状態間でのみ起こる。^{[ 5 ]}
• もし${\displaystyle {\bigl [}{\hat {H}},{\hat {\mathcal {P}}}{\bigr ]}=0}$すると、非縮退固有状態は${\displaystyle {\hat {H}}}$はパリティ演算子の固有状態でもある。すなわち、 の非退化固有関数である。${\displaystyle {\hat {H}}}$不変である${\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}}$または、${\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}}$。

非退化固有関数のいくつか${\displaystyle {\hat {H}}}$パリティの影響を受けない（不変である）${\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}}$ハミルトニアン演算子とパリティ演算子が可換な場合、他の演算子は単に符号が反転するだけである。 $${\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}|\psi \rangle =c\left|\psi \right\rangle ,}$$

どこ${\displaystyle c}$は定数であり、の固有値は${\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}}$、 $${\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}^{2}\left|\psi \right\rangle =c\,{\hat {\mathcal {P}}}\left|\psi \right\rangle .}$$

原子軌道はパリティ(−1) ^ℓを持ち、ここで指数ℓは方位量子数である。軌道p、f、…ではℓ = 1、3、…のパリティは奇数であり、これらの軌道に奇数個の電子が占有している場合、原子状態は奇パリティを持つ。例えば、窒素原子の基底状態は電子配置1s²2s²2p³を持ち^、項記号4Soで識別される。ここ^で上付き文字o^は奇パリティを表す。しかし、基底状態から約83,300 cm⁻¹上にある第3励起項は電子配置^{1s²2s²2p²3sを持ち、2p電子}が2個しかないため偶パリティであり、その項記号は4P ^（上付き文字oなし）で^{ある。 [ 6 ]} 

任意の分子の完全な（回転振動電子スピン核スピン）電磁ハミルトニアンは、パリティ操作P（またはLonguet-Higgins ^{[ 7 ]}によって導入された表記ではE *）と可換（または不変）であり、その固有値は偶数または奇数であるため、それぞれパリティ対称性ラベル+または−を与えることができる。パリティ操作は、分子の重心における電子および核の空間座標の反転を伴う。

平衡状態にある中心対称分子は、その中心点（原子核の重心）に対称中心を持ちます。これには、すべての同核二原子分子と、エチレン、 ベンゼン、四フッ化キセノン、六フッ化硫黄などの特定の対称分子が含まれます。中心対称分子の場合、点群にはパリティ操作と混同してはならない操作i が含まれます。操作iは、原子核の重心における電子および振動変位座標の反転を伴います。中心対称分子の場合、操作iは回転振動電子ハミルトニアンと可換であり、このような状態にラベルを付けるために使用できます。中心対称分子の電子状態と振動状態は、操作iによって変化しないか、またはiによって符号が変わります。前者は添え字gで表され、gerade と呼ばれ、後者は添え字uで表され、ungerade と呼ばれます。中心対称分子の完全な電磁ハミルトニアンは、核超微細ハミルトニアンの影響により、点群反転操作iと可換ではありません。核超微細ハミルトニアンは、 gおよびu振動電子状態の回転レベルを混合し (オルト-パラ混合と呼ばれる)、オルト-パラ遷移を引き起こす可能性があります^{[ 8 ] [ 9 ]}

原子核では、各核子（陽子または中性子）の状態は偶数または奇数のパリティを持ち、核子の配置は核殻モデルを使用して予測できます。原子内の電子に関しては、核子の状態は、奇数パリティの状態にある核子の数が奇数である場合に限り、全体として奇数のパリティを持ちます。パリティは通常、核スピン値の後に +（偶数）または −（奇数）として記述されます。たとえば、酸素同位体¹⁷ O(5/2+) はスピン⁠ 5 / 2 ⁠で偶数パリティを持ちます。殻モデルは、最初の 16 個の核子がペアになっていて、各ペアがスピン 0 で偶数パリティを持ち、最後の核子が 1d _5/2殻にあり、 ad 軌道ではℓ = 2 なので偶数パリティを持つことを説明しています。^{[ 10 ]}

パリティ演算子を2回適用しても座標は変化しないため、P ^{2 は}理論の内部対称性の1つとして作用し、せいぜい状態の位相を変えるだけである。^{[ 11 ]}例えば、標準模型には、バリオン数B、レプトン数L、電荷Qに等しい電荷を持つ3 つのグローバルU(1)対称性がある。したがって、パリティ演算子は、α、β、γの何らかの選択に対してP ² = e ^{iαB + iβL + iγQ}を満たす。この演算子は一意ではなく、P' = P e ^iαBのような内部対称性を乗じることで、常に新しいパリティ演算子P' を構築できる。

パリティ演算子が常にP ² = 1を満たすように定義できるかどうかを確認するために、理論に存在する何らかの内部対称性Qに対してP ² = Qとなる一般の場合を考えます。望ましいパリティ演算子はP' = P Q ^−1/2となります。Qが連続対称群の一部である場合、 Q ^−1/2は存在しますが、離散対称群の一部である場合、この要素は必ずしも存在せず、このような再定義は不可能かもしれません。^{[ 12 ]}

標準模型は(−1) ^F対称性を示し、ここでFはある状態にあるフェルミオンの数を数えるフェルミオン数演算子です。標準模型のすべての粒子はF = B + Lを満たすため、離散対称性はe ^{i α ( B + L )}連続対称群の一部でもあります。パリティ演算子がP ² = (−1) ^Fを満たす場合、 P ² = 1を満たす新しいパリティ演算子を与えるように再定義できます。しかし、 F = 1かつB + L = 0であるマヨラナニュートリノを組み込むことで標準模型を拡張すると、離散対称性(−1) ^{F は}もはや連続対称群の一部ではなくなり、パリティ演算子の望ましい再定義は実行できません。代わりにP ⁴ = 1を満たすため、マヨラナニュートリノは± iの固有パリティを持つことになります。

1954年、ウィリアム・チノウスキーとジャック・スタインバーガーによる論文で、パイ中間子が負のパリティを持つことが実証された。 ^{[ 13 ]}彼らは重水素（² ₁ H ^+） から作られた「原子」の崩壊を研究した。）と負電荷を持つパイ中間子（π ⁻軌道角運動量がゼロの状態${\displaystyle ~\mathbf {L} ={\boldsymbol {0}}~}$2つの中性子に（${\displaystyle n}$)

中性子はフェルミオンであるため、フェルミ・ディラック統計に従う。これは最終状態が反対称であることを意味する。重水素のスピンが1でパイ中間子のスピンが0であるという事実と最終状態の反対称性を用いて、2つの中性子は軌道角運動量を持つ必要があると結論付けた。${\displaystyle ~L=1~.}$全パリティは、粒子の固有パリティと球面調和関数の外因パリティの積である。${\displaystyle ~\left(-1\right)^{L}~.}$この過程では軌道運動量がゼロから１に変化するので、全パリティを保存するためには、初期粒子と最終粒子の固有パリティの積は反対の符号を持たなければならない。重水素原子核は陽子と中性子からできており、陽子と中性子の固有パリティが等しいという前述の慣例を用いると、${\displaystyle ~+1~}$彼らは、パイ中間子のパリティは、2つのニュートロンのパリティの積を重水素中の陽子とニュートロンのパリティで割った値のマイナスに等しいと主張した。${\textstyle {\frac {(-1)(1)^{2}}{(1)^{2}}}=-1~,}$そこから彼らは、パイ中間子は擬似スカラー粒子であると結論付けた。

P対称性：鏡像のように作られた時計は、元の時計の鏡像のように振る舞う。

P非対称性：鏡像のように作られた時計でありながら、元の時計の鏡像とは異なる挙動を示す時計。

電磁気学と重力ではパリティは保存されるが、弱い相互作用ではパリティは破れ、おそらく強い相互作用でもある程度破れる。^{[ 14 ] [ 15 ]}標準模型では、弱い相互作用をカイラルゲージ相互作用として表現することでパリティの破れを組み込んでいる。標準模型では、荷電した弱い相互作用には粒子の左巻き成分と反粒子の右巻き成分のみが関与する。これは、パリティが反対の方法で破れる隠れた鏡面セクターが存在しない限り、パリティが我々の宇宙の対称性ではないことを意味する。

1928年にRT Cox、GC McIlwraith、B. Kurrelmeyerによって行われたあまり知られていない実験は、弱い崩壊におけるパリティの破れを事実上報告していたが、適切な概念がまだ開発されていなかったため、その結果は影響を与えなかった。^{[ 16 ]} 1929年、ヘルマン・ワイルは、何の証拠もなく、スピン1/2の2成分質量ゼロ粒子の存在を探求した。この考えはパリティの破れを意味するため、パウリによって却下された。^{[ 17 ]}

20 世紀半ばまでに、パリティは (さまざまな文脈で) 保存されない可能性があると複数の科学者によって示唆されていましたが、確固たる証拠がなかったため、これらの示唆は重要視されませんでした。その後、1956 年に理論物理学者のTsung-Dao LeeとChen-Ning Yang ^{[ 18 ]}による綿密なレビューと分析により、パリティの保存は強い相互作用または電磁相互作用による崩壊では検証されているものの、弱い相互作用ではテストされていないことが示されました。彼らはいくつかの可能な直接的な実験的テストを提案しました。それらはほとんど無視されましたが、 Lee はコロンビア大学の同僚であるChien-Shiung Wu を説得して試すことができました。彼女は特別な極低温設備と専門知識が必要だったので、実験は国立標準局で行われました。

Wu、Ambler 、Hayward、Hoppes、およびHudson（1957）は、コバルト60のベータ崩壊でパリティ保存則の明らかな違反を発見した。^{[ 19 ]}実験が終わりに近づき、二重チェックが行われている最中、WuはLeeとYangに肯定的な結果を伝え、結果はさらに検証する必要があるとして、まず結果を公表しないように頼んだ。しかし、Leeは 1957年1月4日、コロンビア大学物理学科の「金曜昼食会」でコロンビア大学の同僚に結果を明らかにした。^{[ 20 ]}そのうちの3人、RL Garwin、LM Lederman、およびRM Weinrichは、既存のサイクロトロン実験を改良し、すぐにパリティ違反を確認した。^{[ 21 ]}彼らはWuのグループが準備できるまで結果の発表を遅らせ、2つの論文は同じ物理学雑誌に連続して掲載された。

パリティ違反の発見は、カオン物理学における未解決のτ–θパズルを解明した。

2010年、相対論的重イオン衝突型加速器（RHI）で研究している物理学者たちが、クォークグルーオンプラズマ中に短命なパリティ対称性の破れバブルを作り出したと報告された。STARコラボレーションの複数の物理学者によって行われた実験では、強い相互作用でもパリティが破れる可能性があることが示唆された。^{[ 15 ]}この局所的なパリティ破れは、カイラル磁気効果として現れると予測されている。^{[ 22 ] [ 23 ]}

自然界がパリティを保持する限り、あらゆる粒子に固有のパリティを割り当てることができる。弱い相互作用はパリティを保持しないが、ハドロンを生成する強い相互作用反応を調べたり、弱い相互作用を伴わない崩壊（例えば、ロー中間子からパイ中間子への崩壊）を通して、任意のハドロンにパリティを割り当てることができる。

• パーキンス、ドナルド・H. (2000).高エネルギー物理学入門. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 9780521621960。
• Sozzi, MS (2008).離散対称性とCP違反.オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-929666-8。
• Bigi, II; Sanda, AI (2000). CP違反. Cambridge Monographs on Particle Physics, Nuclear Physics and Cosmology. Cambridge University Press . ISBN 0-521-44349-0。
• ワインバーグ、S. (1995).場の量子論.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-67053-5。