偏光密度

古典電磁気学では、分極密度（または電気分極、あるいは単に分極）は、誘電体内の永久または誘導電気双極子モーメントの体積密度を表すベクトル場です。誘電体が外部電場内に置かれると、その分子は電気双極子モーメントを獲得し、誘電体は分極していると言われます。

与えられた誘電体サンプルの電気分極は、電気双極子モーメント（SI単位ではクーロン*メートル（C*m）で表されるベクトル量）を体積（メートルの3乗）で割った商として定義されます。^{[1] [2]分極密度は数学的には}P で表され、^[2] SI単位ではクーロン毎平方メートル（C/m ²）で表されます。

分極密度は、物質が印加された電界にどのように反応するか、また物質が電界をどのように変化させるかを説明するもので、それらの相互作用から生じる力を計算するために使用できます。分極密度は、磁気学における物質の磁界に対する対応する反応の尺度である磁化と比較できます。

外部磁場が印加されない場合でもゼロ以外の永久磁化を持つ強磁性体と同様に、強誘電体材料は外部電場が存在しない場合でもゼロ以外の分極を持ちます。

誘電体に適用される外部電界は、結合した荷電元素の変位を引き起こします。

束縛電荷は、物質内の原子または分子に関連付けられた電荷です。自由電荷のように物質内を自由に移動できないため、「束縛」と呼ばれます。正に帯電した要素は電場の方向に変位し、負に帯電した要素は電場の方向と反対方向に変位します。分子は電荷が中性のままである場合もありますが、電気双極子モーメントが形成されます。^{[3] [4]}

物質内の特定の体積要素が双極子モーメントを持つ場合、分極密度P を定義します。 ${\displaystyle \Delta V}$${\displaystyle \Delta \mathbf {p} }$$${\displaystyle \mathbf {P} ={\frac {\Delta \mathbf {p} }{\Delta V}}}$$

一般に、双極子モーメントは誘電体内の点ごとに変化します。したがって、無限小体積 d V内の、無限小双極子モーメントd pを持つ誘電体の分極密度P は次のようになります。 ${\displaystyle \Delta \mathbf {p} }$

分極の結果として現れる正味電荷は束縛電荷と呼ばれ、 と表記されます。 ${\displaystyle Q_{b}}$

この分極密度の定義は「単位体積あたりの双極子モーメント」として広く採用されていますが、場合によっては曖昧さや矛盾が生じる可能性があります。^[5]

誘電体内部に孤立した体積d Vがあるとする。分極により、正の束縛電荷は負の束縛電荷に対して距離だけ移動し、双極子モーメントが生じる。この式を（1） に代入すると、${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}}$${\displaystyle \mathbf {d} }$${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}}$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {p} =\mathrm {d} q_{b}\mathbf {d} }$$${\displaystyle \mathbf {P} ={\mathrm {d} q_{b} \over \mathrm {d} V}\mathbf {d} }$$

体積d Vに束縛された電荷はPの式に等しいので、次の式は次のようになる。^[3]${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}}$${\displaystyle \rho _{b}\mathrm {d} V}$

ここで、は検討中の体積内の束縛電荷の密度です。上記の定義から、双極子は全体的に中性であり、したがって体積内の反対電荷の密度が等しいことでバランスが取れていることは明らかです。バランスが取れていない電荷は、以下で説明する自由電荷の一部です。 ${\displaystyle \rho _{b}}$${\displaystyle \rho _{b}}$

表面Sに囲まれた体積V が与えられた場合、その内部の束縛電荷は、負の符号をとった Sを通るPの流束に等しい。つまり、${\displaystyle Q_{b}}$

証拠

表面積S が誘電体の一部を包んでいるとします。分極すると、負と正の束縛電荷が移動します。分極後の面積 d Aの要素によって形成される平面からの束縛電荷との距離をそれぞれd 1 と d 2 とします。_また、面積_d Aの下と上に囲まれた体積をd V ₁とd V ₂とします。 ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}}$${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}}$

その結果、負の束縛電荷は表面 d Aの外側部分から内側に移動し、正の束縛電荷は表面の内側部分から外側に移動しました。 ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}=\rho _{b}^{-}\ \mathrm {d} V_{1}=\rho _{b}^{-}d_{1}\ \mathrm {d} A}$${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}=\rho _{b}\ \mathrm {d} V_{2}=\rho _{b}d_{2}\ \mathrm {d} A}$

電荷保存の法則により、分極後に体積内に残る総束縛電荷は次のようになります。 ${\displaystyle \mathrm {d} Q_{b}}$${\displaystyle \mathrm {d} V}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=\mathrm {d} q_{\text{in}}-\mathrm {d} q_{\text{out}}\\&=\mathrm {d} q_{b}^{-}-\mathrm {d} q_{b}^{+}\\&=\rho _{b}^{-}d_{1}\ \mathrm {d} A-\rho _{b}d_{2}\ \mathrm {d} A\end{aligned}}}$$

（右の画像を参照 ）$${\displaystyle \rho _{b}^{-}=-\rho _{b}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&=(d-a)\cos(\theta )\\d_{2}&=a\cos(\theta )\end{aligned}}}$$

上記の式は $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=-\rho _{b}(d-a)\cos(\theta )\ \mathrm {d} A-\rho _{b}a\cos(\theta )\ \mathrm {d} A\\&=-\rho _{b}d\ \mathrm {d} A\cos(\theta )\end{aligned}}}$$

( 2 ) より、 となり、次の式が得られます。 ${\displaystyle \rho _{b}d=P}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=-P\ \mathrm {d} A\cos(\theta )\\-\mathrm {d} Q_{b}&=\mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \end{aligned}}}$$

そしてこの式を閉曲面S全体に渡って積分すると、次の式が得られる。

${\displaystyle -Q_{b}=}$ ${\displaystyle \scriptstyle {S}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

これで証明は完了です。

発散定理により、場Pに対するガウスの法則は、次のように微分形式で表すことができます。 ここで、∇ · P は、束縛電荷密度を含む特定の表面を通る場Pの発散です。 $${\displaystyle -\rho _{b}=\nabla \cdot \mathbf {P} ,}$$${\displaystyle \rho _{b}}$

均質で線形、非分散性、等方性の 誘電体媒体では、分極は電界Eと一致し、それに比例する。^[7] $${\displaystyle \mathbf {P} =\chi \varepsilon _{0}\mathbf {E} ,}$$

ここで、ε ₀は電気定数、χ は媒体の電気感受率です。この場合、χ はスカラーに簡略化されますが、より一般的にはテンソルになります。これは、誘電体の 等方性による特殊なケースです。

PとEの関係を考慮すると、式（3）は次のようになる。^[3]

${\displaystyle -Q_{b}=\chi \varepsilon _{0}\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle {S}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

積分中の表現は、場Eに対するガウスの法則であり、 Sに囲まれた体積V内の自由電荷と束縛電荷の両方の総量を与える。^[3]したがって、 ${\displaystyle (Q_{f})}$${\displaystyle (Q_{b})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}-Q_{b}&=\chi Q_{\text{total}}\\&=\chi \left(Q_{f}+Q_{b}\right)\\[3pt]\Rightarrow Q_{b}&=-{\frac {\chi }{1+\chi }}Q_{f},\end{aligned}}}$$

これは自由電荷密度と束縛電荷密度で表すことができます（電荷、その体積電荷密度、および与えられた体積の関係を考慮することにより）。 $${\displaystyle \rho _{b}=-{\frac {\chi }{1+\chi }}\rho _{f}}$$

均質な誘電体内には自由電荷は存在しないため、最後の式から、材料内には体積束縛電荷は存在しないということになります。また、自由電荷は誘電体の最表面と同じくらい誘電体に近づくことができるため、分極によって表面束縛電荷密度（体積束縛電荷密度との曖昧さを避けるために表記）のみが生じることになります。^[3]${\displaystyle (\rho _{f}=0)}$${\displaystyle (\rho _{b}=0)}$${\displaystyle \sigma _{b}}$${\displaystyle \rho _{b}}$

${\displaystyle \sigma _{b}}$Pと次の式で関係付けられる： ^[8] ここで、S面の法線ベクトルは外側を向いている。（厳密な証明については 電荷密度を参照）$${\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {P} }$$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}}$

分極密度と電界が同じ方向ではない誘電体のクラスは、異方性材料として知られています。

このような材料では、分極のi番目の成分は電界のj番目の成分と次の式で関係している： ^[7]

$${\displaystyle P_{i}=\sum _{j}\epsilon _{0}\chi _{ij}E_{j},}$$

この関係は、例えば、物質がZ方向に場を印加することによってX方向に分極できることなどを示しています。異方性誘電体媒体の場合は、結晶光学の分野で説明されます。

ほとんどの電磁気学と同様に、この関係は場と双極子密度のマクロ平均を扱うため、原子スケールの挙動を無視した誘電体の連続近似が得られます。媒体内の個々の粒子の分極率は、クラウジウス-モソッティ関係によって平均磁化率と分極密度に関連付けることができます。

一般に、磁化率は印加磁場の周波数 ωの関数です。磁場が時間tの任意の関数である場合、分極はχ ( ω )のフーリエ変換とE ( t )の畳み込みです。これは、物質内の双極子が印加磁場に瞬時に反応できないという事実を反映しており、因果関係を考慮するとクラマース・クローニッヒの関係が導かれます。

分極P が電場Eに比例しない場合、その媒体は非線形と呼ばれ、非線形光学の分野で記述されます。良好な近似として (十分に弱い場の場合、永久双極子モーメントが存在しないと仮定)、Pは通常、係数が非線形感受率である Eのテイラー級数で与えられます。

$${\displaystyle {\frac {P_{i}}{\epsilon _{0}}}=\sum _{j}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\sum _{jk}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\sum _{jk\ell }\chi _{ijk\ell }^{(3)}E_{j}E_{k}E_{\ell }+\cdots }$$

ここで、は線形感受率、は2次感受率（ポッケルス効果、光整流、第2高調波発生などの現象を記述）、は3次感受率（カー効果や電場誘起光整流などの3次効果を記述）です。 ${\displaystyle \chi ^{(1)}}$${\displaystyle \chi ^{(2)}}$${\displaystyle \chi ^{(3)}}$

強誘電体材料では、ヒステリシスのため、 PとEの間に 1 対 1 の対応はまったくありません。

電場( E、D )、磁場( B、H )、電荷密度( ρ )、電流密度( J )の挙動は、物質におけるマクスウェル方程式によって記述されます。

体積電荷密度の観点から、自由電荷密度は次のように表される。 ${\displaystyle \rho _{f}}$

$${\displaystyle \rho _{f}=\rho -\rho _{b}}$$

ここで、は全電荷密度である。上式の各項と、対応する電界（電界D、E、Pの順に）の発散との関係を考慮すると、次のように表すことができる。^[9]${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} .}$$

これは電界の構成方程式として知られています。ここで、 ε ₀は空の空間の誘電率です。この方程式で、 P は「固定」電荷である双極子が基礎となる全電界Eに応じてシフトするときに物質に誘導される電界（の負）であり、Dは「自由」電荷として知られる残りの電荷による電界です。^{[5] [10]}

一般に、Pは媒体に応じてEの関数として変化します。これについては、この記事の後半で説明します。多くの問題では、 Eと全電荷よりもDと自由電荷を扱う方が便利です。 ^[1]

したがって、偏光媒体は、グリーンの定理によって4 つの成分に分割できます。

• 結合体積電荷密度:${\displaystyle \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} }$
• 結合表面電荷密度:${\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {P} }$
• 自由体積電荷密度:${\displaystyle \rho _{f}=\nabla \cdot \mathbf {D} }$
• 自由表面電荷密度:${\displaystyle \sigma _{f}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {D} }$

分極密度が時間とともに変化すると、時間依存の束縛電荷密度は分極電流密度を生成する。

$${\displaystyle \mathbf {J} _{p}={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$$

したがって、マクスウェル方程式に入る全電流密度は次のように表される。

$${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$$

ここで、J _{f は}自由電荷電流密度であり、2 番目の項は磁化電流密度 (束縛電流密度とも呼ばれる) であり、原子スケールの磁気双極子(存在する場合) からの寄与です。

固体内部の分極は、一般に一意に定義されません。バルク固体は周期的であるため、分極を計算する単位格子を選択しなければなりません（図を参照）。^{[11] [12]}言い換えれば、同じ固体を見て、アリスとボブの2人が異なる値のP を計算する場合でも、どちらも間違いではありません。たとえば、アリスが上部に正イオンがある単位格子を選択し、ボブが上部に負イオンがある単位格子を選択した場合、計算されたPベクトルは反対方向になります。アリスとボブは固体内の微視的電場Eについては同意しますが、変位場 の値については意見が一致しません。 ${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$

一方、バルク固体ではPの値が一意に定義されない場合でも、 Pの変化は一意に定義されます。^[11]結晶が徐々にある構造から別の構造に変化すると、原子核と電子の動きにより、各単位セル内に電流が発生します。この電流は、結晶の片側からもう一方の側への巨視的な電荷の移動をもたらすため、ワイヤを結晶の反対側に接続すると、電流計で測定できます（他の電流と同様に）。電流の時間積分は、Pの変化に比例します。電流は、コンピューターシミュレーション（密度汎関数理論など）で計算できます。積分電流の式は、ベリーの位相の一種であることがわかります。^[11]

Pが唯一でないことは問題ではない。なぜなら、Pの測定可能な結果はすべて、実際にはPの連続的な変化の結果だからである。^[11]たとえば、物質がゼロから有限値まで徐々に増加する電場Eに置かれると、物質の電子およびイオンの位置はわずかにシフトする。これによりPが変化し、結果として電気感受性（したがって誘電率）が生じる。別の例として、いくつかの結晶が加熱されると、その電子およびイオンの位置がわずかにシフトし、P が変化する。その結果、焦電性が生じる。すべての場合において、関心のある特性はPの変化と関連している。

偏光は原理的には一意ではありませんが、実際には慣例により特定の一意の方法で定義されることがよくあります (常にそうとは限りません)。たとえば、完全に中心対称の結晶では、対称性の理由により P は正確にゼロになります。

これは焦電材料で確認できます。キュリー温度を超えると、材料は分極せず、中心対称構成になります。キュリー温度以下に温度を下げると、中心対称性が崩れる構造相転移が誘発されます。材料のP は歪みに比例して増加するため、明確に定義できます。

Pの定義におけるもう一つの問題は、「単位体積」の恣意的な選択、より正確にはシステムのスケールに関係している。^[5]例えば、ミクロスケールではプラズマは自由電荷のガスとみなすことができるため、Pはゼロになるはずである。対照的に、マクロスケールでは、同じプラズマは連続媒体として記述することができ、誘電率を示し、したがって正味の分極はP ≠ 0となる。 ${\displaystyle \varepsilon (\omega )\neq 1}$

• 結晶構造
• 強誘電性
• エレクトレット
• 二極化（曖昧さ回避）

• ウィキメディア・コモンズの電気分極に関するメディア