良い量子数

水素原子の場合（スピン軌道結合がないと仮定すると）、ハミルトニアンと可換な観測量は、軌道角運動量、スピン角運動量、スピン角運動量と軌道角運動量の和、および${\displaystyle z}$上記の角運動量の成分。したがって、この場合の良量子数（これらの観測量の固有値）は次のようになります。${\displaystyle l,j,m_{\text{l}},m_{s},m_{j}}$[ ^{6 ]} 省略しまし^た${\displaystyle s}$なぜなら、それは電子にとって常に一定であり、状態のラベル付けに関しては何の意味も持たないからである。

しかし、上記の水素原子の場合（スピン軌道結合が無視できる場合）、すなわちすべての良い量子数は、${\displaystyle l,j,m_{\text{l}},m_{s},m_{j}}$状態を指定するために同時に使用することはできません。ここで、CSCO（完全な可換観測量の集合）が重要になります。以下に、一般的に有効な一般的な結果をいくつか示します 。

1. 特定の量子状態を一意に指定するために一定数の良量子数を用いることができるのは、それらの良量子数に対応する観測量がCSCOを形成する場合に限られる。
2. 観測量が可換であるが、CSCOを形成しない場合、それらの良い量子数は状態の集合を参照する。この場合、それらは一意の状態を参照するわけではない。
3. 観測量が可換でない場合、それらは状態の集合を参照するために使用することさえできず、ましてや単一の状態を参照するために使用することはできません。

水素原子の場合、${\displaystyle L^{2},J^{2},L_{z},J_{z}}$可換集合を形成しない。しかし${\displaystyle n,l,m_{\text{l}},m_{s}}$は CSCO の量子数です。したがって、この場合、これらは良い量子数のセットを形成します。同様に、 ${\displaystyle n,l,j,m_{\text{j}}}$良い量子数のセットを形成するため。

スピン軌道相互作用を考慮するには、ハミルトニアンに項を追加する必要があります^{[ 7 ]}

${\displaystyle \Delta H_{\text{SO}}={\frac {\alpha }{r^{3}}}\,{\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {L}}}$、

前因子${\displaystyle \alpha }$スピン軌道結合の強さを決定します。${\displaystyle \Delta H_{\text{SO}}}$用語は交換しない${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$そして${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$通勤は${\displaystyle L^{2}}$、${\displaystyle S^{2}}$、${\displaystyle J^{2}}$そして${\displaystyle {\boldsymbol {J}}={\boldsymbol {L}}+{\boldsymbol {S}}}$これは全角運動量演算子です。言い換えれば、${\displaystyle m_{\text{l}},m_{s}}$もはや良い量子数ではないが、${\displaystyle l,s,j,m_{\text{j}}}$主量子数に加えて${\displaystyle n}$)

また、固有状態をラベル付けするために良い量子数が使用されるため、関連する式はそれらを用いて表現されます。たとえば、スピン軌道相互作用エネルギーの期待値は^{[ 8 ]で与えられます。}

${\displaystyle \langle n,l,s,j,m_{j}|\Delta H_{\text{SO}}|n,l,s,j,m_{j}\rangle ={\beta \over 2}(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1))}$

どこ

${\displaystyle \beta =\beta (n,l)=Z^{4}{\mu _{0} \over 4{\pi }^{4}}g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}^{2}{1 \over n^{3}a_{0}^{3}l(l+1/2)(l+1)}}$

上記の式には、固有状態を特徴づける良い量子数が含まれている。