軌道磁化

量子力学では、軌道磁化M _orbは、荷電粒子(通常は固体中の電子)の軌道運動によって誘導される磁化を指します。「軌道」という用語は、スピン自由度M _{spin が全体の磁化に与える寄与とは区別されます。非ゼロの軌道磁化には、時間反転対称性の破れが必要です。これは、}強磁性体およびフェリ磁性体で自然に発生する場合があり、非磁性体では印加磁場によって誘導される場合があります。

分子のような有限系の軌道磁気モーメントは、古典的には^{[1]で与えられる。}

${\displaystyle \mathbf {m} _{\rm {orb}}={\frac {1}{2}}\int \mathbf {r} \times \mathbf {J} (\mathbf {r} )\ d^{3}\mathbf {r} }$

ここで、J ( r ) は点rにおける電流密度です。（ここではSI 単位系が使用されていますが、ガウス単位では、前係数は 1/2 cになります。ここでcは光速です。）量子力学の文脈では、これは次のようにも書けます。

${\displaystyle \mathbf {m} _{\rm {orb}}={\frac {-e}{2m_{e}}}\langle \Psi \vert \mathbf {L} \vert \Psi \rangle }$

ここで、eとm _eは電子の電荷と質量、Ψは基底状態の波動関数、Lは角運動量演算子である。全磁気モーメントは

${\displaystyle \mathbf {m} =\mathbf {m} _{\rm {orb}}+\mathbf {m} _{\rm {spin}}}$

ここでスピンの寄与は本質的に量子力学的であり、次のように与えられる。

${\displaystyle \mathbf {m} _{\rm {spin}}={\frac {-g_{s}\mu _{\rm {B}}}{\hbar }}\,\langle \Psi \vert \mathbf {S} \vert \Psi \rangle }$

ここで、g _sは電子スピンg因子、μ _Bはボーア磁子、ħは換算プランク定数、S は電子スピン演算子です。

軌道磁化Mは軌道モーメント密度、すなわち単位体積あたりの軌道モーメントとして定義される。体積Vの結晶が磁気モーメントm _{orb, jを}持つインデックスjでラベル付けされた孤立した実体（例えば分子）から構成される場合、これは

${\displaystyle \mathbf {M} _{\rm {orb}}={\frac {1}{V}}\sum _{j\in V}\mathbf {m} _{{\rm {orb}},j}\;.}$

しかし、実際の結晶は電荷雲が重なり合った原子または分子の構成要素から構成されているため、上記の式を軌道磁化の基本的な定義としてとらえることはできません。^[2] 結晶における軌道磁化の適切な理論が確立したのはごく最近の理論の発展によるもので、以下に説明します。

磁性結晶の場合、定義しようとすると、

${\displaystyle \mathbf {M} _{\rm {orb}}={\frac {1}{2V}}\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {J} (\mathbf {r} )\ d^{3}\mathbf {r} }$

ここで、系の体積Vが大きくなるにつれて極限がとられる。しかし、積分関数のrの因子のため、積分には無視できない表面電流の寄与があり、結果として上記の式は軌道磁化のバルク定義にはつながらない。^[2]

困難があることを確認する別の方法は、バンドnと結晶運動量kの占有単一粒子ブロッホ関数 | ψ _{n k} ⟩の観点から軌道磁化の量子力学的表現を書き下してみることです。

${\displaystyle \mathbf {M} _{\rm {orb}}={\frac {-e}{2m_{e}}}\sum _{n}\int _{\rm {BZ}}{\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\,\langle \psi _{n\mathbf {k} }\vert \mathbf {r} \times \mathbf {p} \vert \psi _{n\mathbf {k} }\rangle \,d^{3}k\,,}$

ここでpは運動量演算子、L = r × pであり、積分はブリルアンゾーン（BZ）上で評価されます。しかし、ブロッホ関数は拡張されているため、r演算子を含む量の行列要素は定義が不十分であり、この式は実際には定義が不十分です。^[3]

実際には、軌道磁化は、空間を原子を中心とした重なり合わない球に分解し（マフィンティン近似に似た考え方）、各球内のr × J ( r )の積分を計算し、寄与を合計することによって計算されることが多い。^{[4]この近似では、原子球間の格子間領域の電流の寄与は無視される。しかし、部分的に満たされた}d殻とf殻 に関連する軌道電流は通常、これらの原子球内に強く局在するため、この近似は多くの場合良好である。しかし、これは近似的なアプローチにすぎない。

軌道磁化理論の一般的かつ正確な定式化は、2000年代半ばに複数の著者によって開発され、最初は半古典的なアプローチに基づいて^[5]、次にワニエ表現からの導出に基づいて^{[6] [7]}、最後に長波長展開に基づいて開発されました。^[8]結果として得られた軌道磁化の式は、零温度に特化されており、

${\displaystyle \mathbf {M} _{\rm {orb}}={\frac {e}{2\hbar }}\sum _{n}\int _{\rm {BZ}}{\frac {1 }{(2\pi )^{3}}}\,f_{n\mathbf {k} }\;\演算子名 {Im} \;\left\langle {\frac {\partial u_{n\mathbf {k} }}{\partial {\mathbf {k} }}}\right|\times \left(H_{\mathbf {k} }+E_{n\mathbf {k} }-2 \mu \right)\left|{\frac {\partial u_{n\mathbf {k} }}{\partial {\mathbf {k} }}}\right\rangle \,d^{3}k\,,}$

ここで、バンドエネルギーE _{n kが}フェルミエネルギーμを上回るか下回るかに応じて、 f _{n kは}それぞれ0または1となる。

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }He^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$

は波数ベクトル kにおける有効ハミルトニアンであり、

${\displaystyle u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\psi _{n\mathbf {k} }( \mathbf {r} )}$

セル周期ブロッホ関数は、

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }\left|u_{n\mathbf {k} }\right\rangle =E_{n\mathbf {k} }\left|u_{n\mathbf {k} }\右\rangle \;.}$

有限温度への一般化も可能である。^{[3] [8]}この式のバンドエネルギーE _{n k}を含む項は、実際にはバンドエネルギーとベリー曲率の積分にすぎないことに注意する。上記の式を使用して計算された結果は文献に掲載されている。^[9]最近のレビューではこれらの開発についてまとめている。^[10]

物質の軌道磁化は、磁気回転比 γ 、すなわち物体の磁気双極子モーメントとその角運動量の比を測定することによって正確に決定することができる。磁気回転比は、スピンと軌道磁化に次のように関係している。

${\displaystyle \gamma =1+{\frac {M_{\mathrm {orb} }}{(M_{\mathrm {spin} }+M_{\mathrm {orb} })}}$

2つの主な実験技術は、バーネット効果またはアインシュタイン・ド・ハース効果に基づいています。Fe、Co、Ni、およびそれらの合金の実験データがまとめられています。^[11]