トロイダルモーメント

電磁気学において、トロイダル モーメントは、磁気および電気の多極子以外の電磁場の多極子展開における独立した項です。静電多極子展開では、すべての電荷および電流分布を電気および磁気の多極子係数の完全なセットに展開できます。ただし、電気力学的多極子展開では追加の項が発生します。これらの項の係数は、トロイダル多極子モーメント、および電気および磁気多極子モーメントの時間微分によって与えられます。電気双極子は分離された電荷として、磁気双極子は円形の電流として理解できますが、軸方向 (または電気) トロイダル双極子はトロイダル(ドーナツ型) の電荷配置を表しますが、極性 (または磁気) トロイダル双極子 (アナポールとも呼ばれる) はトーラスに曲げられたソレノイドの場に対応します。

複雑な表現により、電流密度 Jは、直交座標^[1]または球面^[2]の微分演算子を使用して、電気モーメント、磁気モーメント、およびトロイダルモーメントの合計として表すことができます。最も低い次のトロイダル項はトロイダル双極子です。その方向iに沿った大きさは次のように表されます。

${\displaystyle T_{i}={\frac {1}{10c}}\int [r_{i}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {J} )-2r^{2}J_{i}]\mathrm {d} ^{3}x.}$

この項は電流密度を 2 次まで拡張した場合にのみ発生するため、長波長近似では一般に消えます。

しかし、最近の研究では、トロイダル多重極モーメントは別個の多重極子族ではなく、むしろ電気多重極モーメントの高次項であるという結果が得られています。^[3]

1957年、ヤコフ・ゼルドビッチは、弱い相互作用が パリティ対称性を破るため、スピン-1/2ディラック 粒子は、通常の電気双極子と磁気双極子に加えて、アナポールモーメントとしても知られるトロイダル双極子モーメントを持たなければなりません。^[4] この項の相互作用は、非相対論的極限で最も簡単に理解できます。ここで、ハミルトニアンは、 d 、 μ 、 aがそれぞれ電気モーメント、磁気モーメント、アナポールモーメントであり、σがパウリ行列のベクトルです。^[5]$${\displaystyle {\mathcal {H}}\propto -d(\mathbf {\sigma } \cdot \mathbf {E} )-\mu (\mathbf {\sigma } \cdot \mathbf {B} )-a( \mathbf {\sigma } \cdot \nabla \times \mathbf {B} ),}$$

セシウムの原子核トロイダルモーメントは1997年にウッドらによって測定された。 [ ^6]

すべての双極子モーメントは、空間反転( P : r ↦ − r ) および時間反転( T : t ↦ − t )における異なる対称性によって区別できるベクトルです。双極子モーメントは対称変換 ("+1") に対して不変のままであるか、または方向が変わります ("−1")。

凝縮物質では磁気トロイダル秩序は様々なメカニズムによって誘発される：^[7]

• 空間反転と時間反転を破る局在スピンの順序。結果として生じるトロイダルモーメントは、磁性イオンのスピンS _iと磁気単位セル内の位置r _iの積の合計で記述されます。 ^[8] T = Σ _i  r _i  ×  S _i
• 非局在化磁気モーメントによる渦の形成。
• オンサイト軌道電流（マルチフェロイック CuOに見られるもの）^[9]
• 軌道ループ電流は銅酸化物超伝導体において提案されており^[10]、高温超伝導を理解する上で重要となる可能性がある。このような軌道電流による対称性の破れは、偏極中性子散乱を通じて銅酸化物において実験的に検証されていると主張されている^{[11] 。}

凝縮物質における磁気トロイダル双極子モーメントTの存在は、磁気電気効果の存在によるものです。トロイダルソレノイドの平面に磁場Hを適用すると、ローレンツ力によって電流ループが蓄積され、TとHの両方に垂直な電気分極が生じます。結果として生じる分極は、 P _i = ε _ijk T _j H _kという形式になります( εはレヴィ・チヴィタ記号)。したがって、相互相関応答を記述する結果として生じる磁気電気テンソルは反対称です。

微視的磁気トロイダルモーメントの自発的な長距離秩序への相転移は、フェロトロイディシティと呼ばれている。^{[12]空間奇数、時間奇数のマクロ的秩序パラメータで、一次}フェロイックの対称性スキーム（自発的な点対称性の破れを伴う相転移）を満たすことが期待されている。フェロトロイディック材料は、適切なフィールド（例えば磁場のカール）によって切り替えることができるドメインを示す。フェロイック状態のこれらの特徴的な特性は両方とも、ナノ磁性アレイに基づく人工フェロトロイディックモデルシステムで実証されている^[13]

フェロトロイディシティの存在は依然として議論の的となっており、明確な証拠はまだ提示されていない。これは主に、フェロトロイディシティと反強磁性秩序を区別することが難しいためである。なぜなら、どちらも正味の磁化がなく、秩序パラメータの 対称性は同じであるからである。^{[引用が必要]}

すべてのCPT自己共役粒子、特にマヨラナフェルミオンは、トロイダルモーメント以外の多重極モーメントを持つことが禁じられています。^{[14]ツリーレベル（つまり、}ファインマン図 のループを許可しないレベル）では、アナポールのみの粒子は外部電流とのみ相互作用し、自由空間の電磁場とは相互作用しません。また、相互作用断面積は粒子速度が遅くなるにつれて減少します。このため、重いマヨラナフェルミオンは冷たい暗黒物質の有力な候補として提案されています。^{[15] [16]}

• スフェロマック
• ダイナミックトロイダルダイポール
• アナポール

• ステファン・ナンツ：古典電気力学におけるトロイダル多極モーメント。Springer 2016。ISBN 978-3-658-12548-6